Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Politecnico di Milano { Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Prima prova in itinere { 19 Novembre 2012 Cognome:Compito A Nome: Matricola: Es. 1 : 6 puntiEs. 2 : 6 puntiEs. 3 : 12 puntiEs. 4 : 6 puntiTotale 1. Poniamo z 0=1 + ip3 2 : (a) Scrivere (z 0)28 nella forma algebricaa+ib(a; b2R). (b) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A=fw2C: 0Rew1;0Imw1g B=z 0A =fw0 2C:w0 =z 0w; w 2Ag: 2. Siafla funzione de nita daf(x) =x2 artgx. (a) Determinare gli eventuali asintoti dif. (b) Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo locali. 3. Siafla funzione de nita da f(x) = 1 +rx 2 x ep1 x : (a) Determinare il campo di esistenzaDdella funzionef, (b) Dimostrare che la funzionefe crescente suD. (c) Determinare l'immagine dif. 4. Siafla funzione de nita nel modo seguente: f(x) =8 < :e x 1 1x 1se x >1 (x1)2 +a(x1) + 1 sex1 doveaun parametro reale. (a) Per quali valori dia2Rla funzionefe continua nel puntox 0= 1? (b) Per quali valori dia2Rla funzionefe derivabile nel puntox 0= 1? Punteggio minimo per superare la prova= 18 punti. Tempo: due ore. Soluzioni del compito A 1. (a) Si haz= cos3 + sin3 . (b) Utilizzando la forma trigonometrica dize la formula di De Moivre, si ha z28 = cos3 + sin 3  28 = cos28 3 + sin 28 3 : Poiche283 = (4 + 24) 3 = 4 3 + 8  ; si haz28 = cos4 3 + sin 4 3 = cos3 sin3 = z : (c) L'insiemeAe il quadrato di verticiz 0= 0 , z 1= 1 , z 2= 1 + i,z 3= i.L'insieme Bsi ottiene moltiplicando ogni elemento diAper il numero complessoz, che ha modulo 1 e argomento==3 , ossiaBe l'insieme che si ottiene ruotando di un angolo==3 , in senso antiorario attorno all'origine, l'insiemeA:y xz 0z 1z 2z 3A y x z 0 0= z 0z 1z 2z 3z 0 1z 0 2z 0 3A B Quindi Be il quadrato di vertici z0 0= 0 z0 1= cos3 + isin3 = 1 + ip3 2 z0 2=p2  cos7 12 + isin7 12  =1 p3 2 + 1 +p3 2 i z0 3= cos5 6 + isin5 6 = p3 + i2 :2. (a) Asintoto obliquo per x!+1:y=x. Asintoto obliquo perx! 1:y=x+ (b) f0 (x) = 121 + x2=x 2 1x 2 + 1: Quindi,x 1= 1 e l'unico punto di massimo locale (il massimo locale ef(1) =1 +=2) ex 1= 1 e l'unico punto di minimo locale (il minimo locale e f(1) = 1=2). Gra co funzione:y x z 0 0z 0 1z 0 2z 0 3B 3. (a) Anche la funzione data sia de nita si deve avere (x2 x 0 1x0ossia( 0x