Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Politecnico di Milano  Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere  8 Novembre 2021 Cognome:Compito A Nome:Matricola: Punteggio Totale:Nr. di iscrizione: 1. (1 aermazione corretta, 1 punto) Quale delle seguenti aermazioni è vera? (a) InR, una successione di numeri razionali non può convergere ap2 . (b) Sex; y2R,x < y, esistec2Qtale chex < c < y.X (c) Sex; y2R,x < y, esistec2Ztale chex < c < y. (d) InR, ogni successione convergente è monotòna. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 2. (1 aermazione corretta, 1 punto) Siano (a n) ;(b n) le successioni reali denite (pernintero positivo) nel modo seguente:a n= nlog e 1 +1n  ,b n= 112 n n . (a)lim n!+1a n= + 1elim n!+1b n= 1 (b)lim n!+1a n= 0 elim n!+1b n=e2 (c)lim n!+1a n= 1 elim n!+1b n= 0 (d)lim n!+1a n= 1 elim n!+1b n= e 1=2 X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 3. (1 aermazione corretta, 1 punto) Poniamo: Cf !C,f(z) =z4 per ogniz2C. (a) Esiste un elemento nel codominio che ha esattamente 2 controimmagini. (b) Esiste un elemento del codominio che ha innite controimmagini. (c)fè invertibile. (d)fè suriettiva.X (e)fè iniettiva. 4. (1 aermazione corretta, 1 punto) Consideriamo il numero complesso z=(1 i)6(1 + i p3) 2. (a)jzj= 2X (b)jzj=12 (c)argz=4 (d)argz=2 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 1 5. (1 aermazione corretta, 1 punto) Siano IRun intervallo,If !Runa funzione continua,J=f(I)l'immagine dif. (a) SeIè limitato superiormente, alloraJè limitato superiormente. (b) SeJ=R,fè invertibile. (c)fassume massimo assoluto e minimo assoluto. (d)Jè un intervallo.X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 6. (1 aermazione corretta, 1 punto) Il limite lim x!0sin( x2 )log e(1 + x2 ) + ex 2 1vale: (a)0 (b)1 (c)2 (d)12 X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 7. (2 aermazioni corrette; 2 punti) Deniamo: Rf !R, per ognix2R f(x) =8 > < > :3 x+x2 sin1x se x6 = 0 0sex= 0 (a)fnon è derivabile in0.(b) fè derivabile in0ef0 (0) = 0.(c) fè derivabile in0ef0 (0) = 3.X (d) Per x6 = 0,f0 (x) = 3 + 2xsin1x cos1x .X (e) Per x6 = 0,f0 (x) = 3 + 2xsin1x + x2 cos1x .8. (2 aermazioni corrette; 2 punti) Sia fla funzione così denita: Rf !R;8x2Rf(x) = e3 x4 4x3 (a)8x2Rf00 (x)>0(b) x 0= 1 è un punto di minimo locale perf.X (c) x 0= 1 è un punto di massimo locale perf.(d) Esiste un punto a2(0;1)in cuif00 (a) = 0.X (e) fè strettamente crescente suR.2