Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Primo appello Ingegneria Industriale 15 Febbraio 2010 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni:Riportare le soluzioni nel le casel le. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in casodi necessit`a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri l’equazionez4 + 2z= 0, nel campo complessoC. (a) Scrivere tutte le soluzioni nella formaa+ib. (b) Siab zla soluzione che verifica Re(b z)>0 eIm(b z)0 eIm(b z)0 per ognix >0, x6 = 5, dunquef`e convessa in [0,5) e (5,+∞). Grafico dif: 5 π /2 π/4 -π/4 -π/2 3. Si consideri il seguente problema di Cauchyy′ (x) = 16e1 −4x −4y(x), y(0) = 0. (a) Calcolare la soluzioney(x). (b) Calcolare il polinomio di MacLaurin di ordine 3 diy(x). Giustificare le risposte, riportando i calcoli. Dobbiamo risolvere un problema di Cauchy relativo a un’equazione differenziale linerare del primo ordine completa. Applicando la formula risolutiva si ottiene y(x) =e− 4xZ x 016 e1 −4t dt = 16xe1 −4x . Il polinomio di MacLaurin di ordine 3 diy(x) `e dato da 42 ex−43 ex2 +4 4 2ex 3 . 4. Data la curvaγdi equazioni parametriche γ(t) =      x (t) = 1−cos(t) + (4−t) sin(t) y(t) = sin(t) + (4−t) cos(t) z(t) =1 2(4 −t)2t ∈[−4,4]. (a) Calcolare la lunghezza diγ. (b) Calcolare i vettori tangente, normale e binormale nel puntoP 0= (0 ,4,8). (c) Calcolare le equazioni del piano individuato dai vettori tangente e binormale nel puntoP 0. Motivare le risposte, riportando i calcoli: Si ha γ′ (t) =    x ′ (t) = (4−t) cos(t) y′ (t) =−(4−t) sin(t) z′ (t) =−(4−t)t ∈[−4,4], e quindi la lunghezza della curvaγ`e data da L(γ) =Z 4 −4p x ′ (t)2 +y′ (t)2 +z′ (t)2 =Z 4 −4p 2(4 −t)2 =√ 2Z 4 −4(4 −t) = 2∗√ 2 ∗42 . Il puntoP 0corrisponde al valore t= 0 del parametro:γ(0) =P 0. Quindi il vettore tangente a γnel puntoP 0`e T=γ′ (0) = (4,0,−4). Inoltre, si ha γ′′ (t) =    x ′′ (t) =−cos(t)−(4−t) sin(t) y′′ (t) = sin(t)−(4−t) cos(t) z′′ (t) = 1t ∈[−4,4]. Quindiγ′′ (0) = (−1,−4,1), e il vettore normale aγnel puntoP 0`e N=γ′′ (0)−(T
γ′′ (0))T=  − 1 −4 1  + 8  4 0 −4  =  31 −4 −31  . Il vettore binormale aγnel puntoP 0`e B=T∧N=  − 16 0 −16  . Infine, il piano indivituato dai vettori tangente e binormale nel puntoP 0corrisponde al piano passante perP 0e ortogonale al vettore N. Quindi, l’equazione del piano `e (31)x−4(y−4) + (−31)(z−8) = 0. Domanda di teoria Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Primo appello Ingegneria Industriale 15 Febbraio 2010 Compito C Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni:Riportare le soluzioni nel le casel le. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in casodi necessit`a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri l’equazionez4 + 4z= 0, nel campo complessoC. (a) Scrivere tutte le soluzioni nella formaa+ib. (b) Siab zla soluzione che verifica Re(b z)>0 eIm(b z)0 eIm(b z)0 per ognix >0, x6 = 1, dunquef`e convessa in [0,1) e (1,+∞). Grafico dif: 1 π /2 π/4 -π/4 -π/2 3. Si consideri il seguente problema di Cauchyy′ (x) = 4e1 −2x −2y(x), y(0) = 0. (a) Calcolare la soluzioney(x). (b) Calcolare il polinomio di MacLaurin di ordine 3 diy(x). Giustificare le risposte, riportando i calcoli. Dobbiamo risolvere un problema di Cauchy relativo a un’equazione differenziale linerare del primo ordine completa. Applicando la formula risolutiva si ottiene y(x) =e− 2xZ x 04 e1 −2t dt = 4xe1 −2x . Il polinomio di MacLaurin di ordine 3 diy(x) `e dato da 22 ex−23 ex2 +2 4 2ex 3 . 4. Data la curvaγdi equazioni parametriche γ(t) =      x (t) = 1−cos(t) + (8−t) sin(t) y(t) = sin(t) + (8−t) cos(t) z(t) =1 2(8 −t)2t ∈[−8,8]. (a) Calcolare la lunghezza diγ (b) Calcolare i vettori tangente, normale e binormale nel puntoP 0= (0 ,8,32). (c) Calcolare le equazioni del piano individuato dai vettori tangente e binormale nel puntoP 0. Motivare le risposte, riportando i calcoli: Si ha γ′ (t) =    x ′ (t) = (8−t) cos(t) y′ (t) =−(8−t) sin(t) z′ (t) =−(8−t)t ∈[−8,8], e quindi la lunghezza della curvaγ`e data da L(γ) =Z 8 −8p x ′ (t)2 +y′ (t)2 +z′ (t)2 =Z 8 −8p 2(8 −t)2 =√ 2Z 8 −8(8 −t) = 2∗√ 2 ∗82 . Il puntoP 0corrisponde al valore t= 0 del parametro:γ(0) =P 0. Quindi il vettore tangente a γnel puntoP 0`e T=γ′ (0) = (8,0,−8). Inoltre, si ha γ′′ (t) =    x ′′ (t) =−cos(t)−(8−t) sin(t) y′′ (t) = sin(t)−(8−t) cos(t) z′′ (t) = 1t ∈[−8,8]. Quindiγ′′ (0) = (−1,−8,1), e il vettore normale aγnel puntoP 0`e N=γ′′ (0)−(T
γ′′ (0))T=  − 1 −8 1  + 18  8 0 −8  =  127 −8 −127  . Il vettore binormale aγnel puntoP 0`e B=T∧N=  − 64 0 −64  . Infine, il piano indivituato dai vettori tangente e binormale nel puntoP 0corrisponde al piano passante perP 0e ortogonale al vettore N. Quindi, l’equazione del piano `e (127)x−8(y−8) + (−127)(z−32) = 0. Domanda di teoria