Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 11 luglio 2011 Compito ADocente:Politecnico di Milano Ingegneria IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 12 punti. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione:z2 zz + 4i= 0 (1) Soluzione. Postoz=x+iy, si haz =xiyezz =x2 +y2 . Quindi l'equazione (1) si scrive: x2 + 2ixyy2 x2 y2 + 4i= 0 ossia2y2 + 2ixy=4 +i Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, otteniamo il sistema:2y2 =4 2xy= 1 Questo sistema ha due soluzioni: (x 1; y 1) = (12 p2 ;p2) ;(x 2; y 2) = ( 12 p2 ; p2) Quindi le soluzioni dell'equazione (1) sonoz1=12 p2 + ip2 ; z 2= 12 p2 ip2 2. (a) Determinare i valori del parametro a2Rper i quali il seguente integrale generalizzato e convergente: +1 Z 0x 3 e ax2 +1 dx(2) (b) Calcolare il valore dell'integrale quandoa= 1. Soluzione. (a) Pera0, la funzione integranda tende all'in nito perx!+1e quindi l'integrale diverge a +1. Se invecea