Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Analisi e Geometria 1 Primo appello, 18 febbraio 2013 Punteggi degli esercizi: Es.1: 9 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 9 punti. 1. (a) Scrivere la de nizione di:g(x) =o(h(x)), perx!a. (b) Siafuna funzione derivabilenvolte in un intorno di un puntox 02 R. Scrivere la formula di Taylor di ordinendif, con il centro inx 0e il resto nella forma di Peano. (c) Calcolando le opportune derivate, trovare lo sviluppo di Taylor dif(x) = tanx, con centro inx 0= 0, arrestato al terzo ordine, con il resto di Peano. (d) Calcolare il limitelim x→0e x 1 + ln(1x) tanxx Soluzione.(d) Utilizziamo gli sviluppi: ex = 1 +x+x 2 2!+ x 3 3!+ o(x3 ) ln(1 +x) =xx 2 2+ x 3 3+ o(x3 ) (1) da cui ricaviamoe− x = 1x+x 2 2! x 3 3!+ o(x3 ) ln(1x) =xx 2 2 x 3 3+ o(x3 ) (2) etanx=x+x 3 3+ o(x3 ) arctanx=xx 3 3+ o(x3 ) Allora: Versione A lim x→0e x 1 + ln(1x) tanxx= lim x→0x +x 2 2!+x 3 3!+ o(x3 )xx 2 2x 3 3+ o(x3 ) x3 3+ o(x3 ) = x 3 6+ o(x3 ) x3 3+ o(x3 ) =1 2 Versione Blim x→0e x 1 + ln(1x) arctanxx= lim x→0x +x 2 2!+x 3 3!+ o(x3 )xx 2 2x 3 3+ o(x3 ) x 3 3+ o(x3 ) = x 3 6+ o(x3 ) x 3 3+ o(x3 ) =1 2 Versione Clim x→0e − x 1 + ln(1 +x) tanxx= lim x→0 x+x 2 2!x 3 3!+ o(x3 ) +xx 2 2+x 3 3+ o(x3 ) x3 3+ o(x3 ) =x 3 6+ o(x3 ) x3 3+ o(x3 ) =1 2 Versione Dlim x→0e − x 1 + ln(1 +x) arctanxx= lim x→0 x+x 2 2!x 3 3!+ o(x3 ) +xx 2 2+x 3 3+ o(x3 ) x 3 3+ o(x3 ) =x 3 6+ o(x3 ) x 3 3+ o(x3 ) =1 2 2. (a)Trovare la soluzione f=f(t) del problema di Cauchy:{ x′ (t) = 4t3 x(t) x(1) =1 (b) Trovare il valore minimo e il valore massimo difsull'intervallo [1;3]. Soluzione.Versione A (a) L'equazionex′ (t) = 4t3 x(t) e a variabili separabili, e anche lineare omogenea del primo ordine. Risolviamola come equazione a variabili separabili. L'equazionex′ (t) = 4t3 x(t) ha la soluzione identicamente nullax(t) = 0,t2R, che pero non soddisfa la condizione iniziale x(1) =1. Vicinox 0= 1, la soluzione x(t) del problema di Cauchy si manterra sicuramente diversa da zero (piu precisamente si manterra negativa, poichex(1) =1). Allora, dividendo perx(t), si ha x′ (t) x(t)= 4 t3 da cui si ricavalnjx(t)j=t4 +c;jx(t)j=C et 4 ; conCcostante positiva, ossia x(t) =K et 4 conKcostante arbitraria. La condizionex(1) =1 imponeK=1=e. Quindi la soluzione del problema di Cauchy e x(t) =1 ee t 4 (Controllare la soluzione con un calcolo diretto). (b) Sull'intervalloI= [1;3] la funzionex(t) =1 ee t 4 e decrescente (perchex′ (t)0) munito della densita di massa() =e . Trovare la massa totaleMe il baricentroBdel lo. Risposta:M= (e 1)e reB( e + 1 e 1r 2; e  + 1 e 1r 2) . Versione C Sia il lo di equazioni parametriche {x=rcos y=rsin 2[0; ] (conr >0) munito della densita di massa() =e−  . Trovare la massa totaleMe il baricentroBdel lo. Risposta:M= (1e−  )reB( 1 + e−  1e− r 2; 1 + e −  1e− r 2) . Versione D Sia il lo di equazioni parametriche {x=rcos y=rsin 2[;2] (conr >0) munito della densita di massa() =e−  . Trovare la massa totaleMe il baricentroBdel lo. Risposta:M= (e 1)e− 2 reB( 1 + e 1er 2; 1 + e  1er 2) . 4.Nello spazio R3 , siarla retta passante perA= (1;0;2) eB= (3;4;1) e siasla retta intersezione dei pianix2y1 = 0 ey+z= 0 . (a) Stabilire seressono incidenti, parallele o sghembe. (b) Nel fascio di piani il cui sostegno e la rettas, determinare il pianoPparallelo alla rettar. (c) Calcolare la distanza tra le retteres. SOLUZIONE (Versione A) a) Le equazioni parametriche dire dissonox= 1 + 2t; y= 4t; z= 2t; ex= 2t′ + 1; y= t′ ; z=t′ . Le rette sono sghembe. b) Il fascio di sostegnosha equazione:x2y1 +(y+z) = 0. I piani del fascio hanno vettore normalen = (1;2 +; ). Imponendo chen
(2;4;1) = 0 si trova= 2. Il piano del fascio parallelo arha equazionex+ 2z1 = 0 c) La distanza tra le due rette si puo calcolare scegliendo un punto qualunqueP2re calcolando la distanza diPda. Quindid(r; s) =d(A; ) =4 p 5. Versione B Siarla retta passante perA= (0;1;2) eB= (4;3;1) esla retta di equazione cartesiana x2z1 =y+z= 0. (a) Stabilire seressono incidenti, parallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la rettasdeterminare il pianoparallelo alla rettar. (c) Calcolare la distanza trares. SOLUZIONE (Versione B) a) Le equazioni parametriche dire dissonox= 4t; y= 1 + 2t; z= 2t; ex= 2t′ + 1; y= t′ ; z=t′ . Le rette sono sghembe. b) Il fascio di sostegnosha equazione:x2z1 +(y+z) = 0. I piani del fascio hanno vettore normalen = (1; ;2 +). Imponendo chen
(4;2;1) = 0 si trova=6. Il piano del fascio parallelo arha equazionex6y8z1 = 0 c) La distanza tra le due rette si puo calcolare scegliendo un punto qualunqueP2re calcolando la distanza diPda. SeP= (0;1;2), si ha ched(A; ) =23 p 101. Versione C Siarla retta passante perA= (1;2;0) eB= (3;1;4) esla retta di equazione cartesiana 2xy1 =x+z= 0. (a) Stabilire seressono incidenti, parallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la rettasdeterminare il pianoparallelo alla rettar. (c) Calcolare la distanza trares. SOLUZIONE (Versione C) a) Le equazioni parametriche dire dissonox= 1 + 2t; y= 2t; z= 4t; ex=t′ ; y= 2t′ + 1; z=t′ . Le rette sono sghembe. b) Il fascio di sostegnosha equazione: 2xy1 +(x+z) = 0. I piani del fascio hanno vettore normalen = (2 +;1; ). Imponendo chen
(2;1;4) = 0 si trova=5 6. Il piano del fascio parallelo arha equazione 7x6y5z6 = 0 c) La distanza tra le due rette si puo calcolare scegliendo un punto qualunqueP2re calcolando la distanza diPda. Quindid(r; s) =d(A; ) =11 p 110. Versione D Siarla retta passante perA= (2;1;0) eB= (1;4;3) esla retta di equazione cartesiana 2yz+ 1 =x+y= 0. (a) Stabilire seressono incidenti, parallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la rettasdeterminare il pianoparallelo alla rettar. (c) Calcolare la distanza trares. SOLUZIONE (Versione D) a) Le equazioni parametriche dire dissonox= 2t; y= 1 + 3t; z= 3t; ex=t′ ; y= t′ ; z=2t′ + 1. Le rette sono sghembe. b) Il fascio di sostegnosha equazione: 2yz+ 1 +(x+y) = 0. I piani del fascio hanno vettore normalen = (;2 +;1). Imponendo chen
(1;3;3) = 0 si trova=3 2. Il piano del fascio parallelo arha equazione 3xy+ 2z2 = 0 c) La distanza tra le due rette si puo calcolare scegliendo un punto qualunqueP2re calcolando la distanza diPda. Quindid(r; s) =d(A; ) =3 p 14.