Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Dom. 1Dom 2Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Terzo appello 05 settembre 2016 Compito ADocente:Numero nell'elenco degli iscritti:Cognome:Nome:Matricola: Prima parte 1. Nel campo complessoC, l'equazionez =zha in nite soluzioni.V (L'insieme delle soluzioni e l'insieme Rdei numeri reali.) 2. Sianoa; b2R,a < b. Sef: [a; b]!Re continua, allora e limitata.V (Segue dal Teorema di Weierstrass.) 3. InR3 , il prodotto vettoriale dei vettori di componenti (2;1;3) e (4;2;6) e il vettore nullo.V (I due vettori sono multipli uno dell'altro.) Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 settembre 2016 Compito ADocente:Numero nell'elenco degli iscritti:Cognome:Nome:Matricola: Seconda parte a.(Continuita del la funzione integrale). Siaf: [a; b]!R,a; b2R, limitata e Riemann-integrabile. Dimostrare che la funzioneF(x) =Z x af (t)dte continua in [a; b]. (4 punti)b. Dare la de nizione dinorma(olunghezza) di un vettore diRn . (2 punti) Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 settembre 2016 Compito ADocente:Numero nell'elenco degli iscritti:Cognome:Nome:Matricola: Terza parte Punteggi degli esercizi: Es.1: 6=3+3; Es.2: 9= 3+2+1+1+2; Es.3: 6=4+1+1; Es.4: 5. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Scrivere in forma trigonometrica i tre numeri: (p3 2 + 12 i )5 ; (1i)7 ; p3 2 +12 i 5(1 i)7 . (b) Scrivere in forma trigonometrica tutti i numeri complessizche soddisfano l'equazione: z2 = p3 2 +12 i 5(1 i)7 Soluzione.Postov=p3 2 + 12 i ew= 1i, abbiamo: v=p3 2 + 12 i = 1 cos56  +isin56  w= 1i=p2  cos74  +isin74  Quindi:v5 = 1 cos256  +isin256  = 1 cos16  +isin16  w7 =p2 7 cos494  +isin494  = 8p2  cos14  +isin14  Il rapporto vale quindi:v5w 7=18 p2  cos 112  +isin 112  Le due radici quadrate div5 =w7 sono allora date da: z1=12 4 p2 3 cos 124  +isin 124  z2=12 4 p2 3 cos2324  +isin2324  2. Sia f:R!Rla funzione de nita da f(x) = 2xp1 + x2 : (a) Determinare gli eventuali asintoti dif. (b) Stabilire sefe strettamente crescente. (c) Stabilire sefe invertibile. (d) Utilizzando solo le informazioni ottenute nei punti precedenti, disegnare il gra co dif. (e) Stabilire se e convergente l'integrale improprio I=Z +1 0 xf(x) dx : Soluzione.(a) Essendo de nita e continua su tuttoR, la funzionefnon possiede asintoti verticali. Inoltre, perx! 1, si haf(x) = 2xp1 + x2 2x jxj, ossiaf(x)xper x!+1ef(x)3xperx! 1. Pertanto,fnon possiede asintoti orizzontali, essendo lim x!+1f (x) = lim x!+1x = +1e lim x!1f (x) = lim x!13 x=1; ma possiede la retta di equazioney=xcome asintoto obliquo perx!+1e la retta di equazioney= 3xcome asintoto obliquo perx! 1, essendo m1= lim x!+1f (x)x = lim x!+1xx = 1 q1= lim x!+1( f(x)x) = lim x!+1( xp1 + x2 ) = lim x!+1 1x +p1 + x2= 0 e m2= lim x!1f (x)x = lim x!+13 xx = 3 q2= lim x!1( f(x)3x) = lim x!1( xp1 + x2 ) = lim x!1 1 x+p1 + x2= 0 (b) La funzionefe derivabile su tuttoRe la sua derivata prima e f0 (x) = 2xp 1 + x2: Chiaramente,f0 (x)>0 per ognix0 . Inoltre, essendo 1 +x2 x2 per ognix2R ed essendopx una funzione crescente per ognix >0 , si hap1 + x2 px 2 =jxj=x per ognix >0 . Quindi, si ha xp 1 + x2xx = 1 per ognix >0 , ossiaf0 (x)1>0 per ognix >0 . Pertanto,f0 (x)>0 per ogni x2Redfe strettamente crescente. (c) Poiche e strettamente crescente,fe invertibile. (d) Il gra co dife (e) La funzione integranda g(x) =xf(x) =x+p1 + x2 e de nita, e continua ed e positiva su tutto l'intervallo di integrazione [0;+1) . Inoltre, perx!+1, si ha g(x) =p1 + x2 x=1p 1 + x2 +x 12 1x : Poiche la funzione 1=xnon e integrabile in senso improprio perx!+1, per il criterio del confronto asintotico nemmeno la funzionege integrabile in senso improprio per x!+1. Quindi l'integrale improprioInon e convergente (ma divergente a +1).y x1 p 3 1 3. Si consideri la curva paramerizzata :R!R3 , (t) = sin(t) cos(t);sin(t)2 ;cos(t)
; t2R: DettoP 0il punto della curva corrispondente al valoret= 0 del parametro, si trovino: (a) La terna fondamentaleT;N;Bnel puntoP 0. (b) Un'equazione cartesiana del piano osculatore inP 0. (c) La curvatura inP 0. Soluzione.(a) Il vettore velocita e dato da0 (t) = (cos 2t;sin 2t;sint). Int= 0, 0 (0) = (1;0;0) =T(0) Il vettore accelerazione e dato da00 (t) = (2 sin 2t;2 cos 2t;cost), quindi00 (0) = (0;2;1). Poiche si vede che, in questo caso particolare,00 (0) e ortogonale aT(0), otteniamo subito il vettore normaleN(0) normalizzando00 (0): N(0) =1j 00 (0)j 00 (0) =1p 5 (0 ;2;1) = 0;2p 5 ; 1p 5  (Altro modo per trovareN(0). Si normalizza0 00 , in questo modo ottenendoB. Poi si trova N=BT.) Il vettore binormale e dato dal prodotto vettoriale: B(0) =T(0)N(0) = (1;0;0) 0;2p 5 ; 1p 5  = 0;1p 5 ; 2p 5  (b) Il piano osculatore cercato e il piano che passa per(0) = (0;0;1) ed e ortogonale a (un multiplo non-nullo di)B(0). Una sua equazione cartesiana e 0(x0) + 1(y0) + 2(z1) = 0 ossiay+ 2z2 = 0. (c) La curvatura int= 0 e data da k(0) =j 0 (0)00 (0)jj 0 (0)j3=j (0;1;2)j1 3=p5 Metodo alternativo per trovare la curvatura.Il vettore derivata seconda (accelerazione)00 (t) si scrive come combinazione lineare diTeNnel modo seguente: 00 (t) =dvdt T +v2 kN dovev=v(t) =j(t)je la velocita scalare ekla curvatura. Int= 0, la componente tangenziale dvdt T e nulla, e quindi 00 (0) =v2 kN(0) Poichev=j0 (0)j= 1 ej00 (0)j=p5, si ricava k=p5. 4. Calcolare, al variare di 2R, il valore del seguente limite di successione lim n!+1arctan( n )p n + 2pn 2: Soluzione.Stimiamo pima il numeratore. Si ha arctan(n ) n!+18 > > > < > > > :2 se  >0 4 se = 0 n se > > > < > > > > :4 n 1 =2 se >0 8 n 1 =2 se= 0 12 n  +1=2 se > > < > > > :+ 1 >1=2 12 se =12 0+ se