Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano { Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo Appello { 13 Febbraio 2017 Cognome:Compito A Nome: Matricola: T.1 : 5 puntiT.2 : 3 puntiTotaleEs.1 : 5 puntiEs.2 : 7 puntiEs.3 : 6 puntiEs.4 : 6 puntiTotale Prima Parte 1. Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni. 2. Dare la de nizione di prodotto vettoriale e di norma per vettori diR3 e scrivere l'uguaglianza di Lagrange. Seconda Parte 1. Calcolare il limiteL= lim x!0e x2 1sin2 xcos 3 x1: 2. Si consideri la funzione de nita daf(x) =e 4x2 +2xx 1 per ognix2(1;1)[(1;+1) . (a) Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale dif. (b) Disegnare un gra co qualitativo dif. (c) Scrivere il polinomio di Taylor dif, centrato inx 0= 0 , di ordine 2. (d) Stabilire se l'integrale generalizzato I=Z +1 2f (x) dx e convergente o divergente. 3. (a) Trovare tutte le soluzioni dell'equazione dierenzialey0 = 2yy2 (b) Siay la soluzione particolare che soddisfa la condizioney (0) = 1 . Calcolare le derivatey 0 (0) ,y 00 (0) ,y 000 (0) . (Non si richiede di trovare esplicitamente la soluzioney ). Stabilire sex 0= 0 e, pery , un punto di estremo relativo, un punto di esso, o ne l'uno ne l'altro. 4. Si consideri la curva :8 > < > :x = 1t y=t2 +t z=t3t 2R: (a) Determinare un'equazione cartesiana del pianoche contiene la retta tangente a nel punto P(0;2;1) e che passa per il puntoQ(1;0;1) . (b) Trovare un'equazione del piano osculatore a nel puntoP(0;2;1) .Istruzioni. Ogni risposta deve essere giusti cata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme al la bel la, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo.Prima parte:15 minuti. Seconda parte:120 minuti.1 Soluzioni 1. Perx!0 , si hanno gli sviluppi e x2 = 1x2 +o(x2 ) sin2 x= (x+o(x))2 =x2 +o(x2 ) cos 3x= 192 x 2 +o(x2 ): Pertanto, perx!0 , si ha e x2 1sin2 x= 1x2 +o(x2 )1x2 +o(x2 ) =2x2 +o(x2 ) cos 3x1 = 192 x 2 +o(x2 )1 =92 x 2 +o(x2 ) eL= lim x!0 2x2 +o(x2 ) 92 x 2 +o(x2 )= lim x!0 2 +o(1) 92 + o(1)= 49 : 2. (a) La funzionefe derivabile in ogni punto del suo dominio, l'insieme aperto (1;1)[(1;+1) . Quindi gli eventuali punti di massimo o di minimo locali vanno ricercati tra i punti in cui la derivata prima difsi annulla. Gli zeri della derivata f0 (x) = 8x2 + 10x3( x1)2e 4x2 +2x sono gli zeri del polinomio 8x2 10x+ 3 , ossiax 1= 1 =2 ex 2= 3 =4 . Si haf0 (x)