Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Analisi e Geometria 1 Terzo appello 4 settembre 2017 Compito FDocente:Numero di iscri- zione all'appello:Cognome:Nome:Matricola: Prima parte Scrivere le risposte ai due seguenti quesitiAeBsu questa facciata e sul retro di questo foglio. A.Enunciare e dimostrare ilTeorema del Valore Medio(di Lagrange). (3 punti) B.Scrivere e dimostrare la formula che esprime il prodotto di due numeri complessi scritti in coordinate polari.(3 punti) Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Primo appello 4 Settembre 2017 Compito FDocente:Numero di iscri- zione all'appello:Cognome:Nome:Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 ; Es.2: 7 ; Es.3: 5 ; Es.4: 6. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. (a)Calcolare il limitelim x!0+x  sin(x )x 6 +x6 2: nei tre casi seguenti:=14 , = 1 e= 2. Soluzione Osserviamo che, perx!0+ e >0, abbiamo x sin(x )x 6 +x6 2=x  (x 13! x3  +o(x3  )x 6 +x6 216 x3 x 6 +x6 2: Primo caso:=14 . Perx!0+ , 16 x3 x 6 +x6 2=16 x3 =4x 6 +x3 =816 x3 =4x 3 =8=16 x 3 =8 !0 Secondo caso:= 1. Perx!0+ , 16 x3 x 6 +x6 2=16 x3x 6 +x6112 x3! +1 Terzo caso:= 2. Perx!0+ , 16 x3 x 6 +x6 2=16 x6x 6 +x2416 x6x 6!16 (b)Si consideri la funzione ( 1;+1)f !R, f(x) =x10 ln(1 +x): i.Determinare gli eventuali asintoti dif. ii.Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale dif. iii.Calcolare il polinomio di Taylor difcon centro inx 0= 0 e ordine 3 . iv.Disegnare il gra co qualitativo dif. Soluzione La funzionefha l'asintoto verticalex=1 perx!(1)+ . Infatti: lim x!(1)+f (x) = +1 Perx!+1, la funzionefnon presenta ne asintoti orizzontali, ne asintoti obliqui. La derivata dif(x) =x10 ln(1 +x) e f0 (x) =x 91 + x Quindi si deduce che la funzionefha un minimo locale (e globale) inx= 9, e non ha altri minimi o massimi locali. Lo sviluppo di MacLaurin difdi ordine 3 e f(x) =x10 ln(1 +x) =x10 xx2 =2 +x3 =3 +o(x3 )
=9x+ 5x2 103 x 3 +o(x3 ) Quindi il polinomio di Taylor difcon centro inx 0= 0 e ordine 3 e 9x+ 5x2 103 x 3 Il gra co qualitativo dife (c)(i) Disegnare sul piano di Gauss i tre insiemi A,BeCde niti nel modo seguente: A=n z2C:jz+ 1ij=jzjo ; B=n z2C: Re(z) + Im(z) = 0o C=A\B (ii) Risolvere il sistema: ()( jz+ 1ij=jzj Re(z) + Im(z) = 0: (iii) Poniamoz 0= 12 + 12 i . Scrivere in coordinate polari i numeri1z 0e (1 + i)z 0 Soluzione: L'insiemeAe il luogo dei punti equidistanti daz=1 +i(il punto (1;1)) e daz= 0 (il punto (0;0)). QuindiAe l'asse del segmento di estremi (1;1) e (0;0), ossia e la rettay=x+ 1. L'insiemeBe la rettax+y= 0 del piano di Gauss. L'insiemeC=A\B(l'intersezione diAeB) e il punto12 +12 i . Si vede infatti facilmente che il sistema ()( jz+ 1ij=jzj Re(z) + Im(z) = 0: si scrive( y=x+ 1 x+y= 0 la cui unica soluzione e12 +12 i . 5 4 3 2 112345 4 3 2 112345 0B A C Figure 1: L'insiemeAe l'asse del segmento di estremi (0;0) e (1;1), cioe la rettay=x+ 1; l'insiemeBe la rettax+y= 0; l'insiemeC=A\Be il punto (12 ;12 ). Il numeroz 0= 12 + 12 i si scrive, in forma polare, come 1p 2  cos34  +isin34  Allora, 1z 0=p2  cos 34  +isin 34  e(1 +i)z 0= cos +isin(=1) (d)Si consideri la curva f:8 > < > :x =t+ cost y=t+ sint z= 1 +tt 2[; ]: i.Determinare i versori della terna intrinseca difnel puntoP= (1;0;1) . ii.Determinare la curvatura difnel puntoP. Soluzione Si ha8 > < > :x 0 = 1sint y0 = 1 + cost z0 = 1e8 > < > :x 00 =cost y00 =sint z00 = 0: Si noti che la curva e regolare, cioe il vettore tangentef0 non e mai nullo. Si vede subito che il puntoP(1;0;1) appartiene afe che corrisponde al punto che si ottiene pert= 0 . Inoltre, si haf0 (0) = (1;2;1) ef00 (0) = (1;0;0) . Quindi f0 (0)^f00 (0) = i j k 1 2 1 1 0 0 = (0 ;1;2) ekf0 (0)^f00 (0)k=p5 . Si hanno cos i versori t(0) =f 0 (0)k f0 (0)k= (1 ;2;1)p 6 e b(0) =f 0 (0)^f00 (0)k f0 (0)^f00 (0)k= (0 ;1;2)p 5 : In ne, il versore normale e dato da n(0) =b(0)^t(0) =1p 30 i j k 01 2 1 2 1 = ( 5;2;1)p 30 : La curvatura e il raggio di curvatura di inPsono dati da (0) =k f0 (0)^f00 (0)kk f0 (0)k3=p5 6 p6 e (0) =1 (0)= 6p6 p 5 :