Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano { Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo Appello { 4 Settembre 2017 Cognome:Nome: Matricola: Es.1 : 5 puntiEs.2 : 6 puntiEs.3 : 7 puntiEs.4 : 6 puntiTotale 1. (a) Disegnare sul piano di Gauss gli insiemi A=n z2C:jz+ 1ij=jzjo B=n z2C: Rez+ Imz= 0o : (b) Tenendo conto del punto precedente, risolvere il sistema( jz+ 1ij=jzj Rez+ Imz= 0: (c) Dettaz 0la soluzione del sistema precedente, determinare z1= 1 + i + z 0e z 2= (1 + i) z 0: Disegnare sul piano di Gauss i puntiz 1e z 2. 2. Calcolare, per=14 , per = 1 e per= 2 , il limite L= lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2: 3. Si consideri la funzione de nita daf(x) =x23 ln(1 + x3 ): (a) Determinare il campo di esistenza dif. (b) Determinare gli eventuali asintoti dif. (c) Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale dif. (d) Disegnare il gra co qualitativo dif. (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin difdi ordine 6 . 4. Si consideri la curva :8 > < > :x =t+ cost y=t+ sint z= 1 +tt 2[; ]: (a) Veri care che la curva e regolare. (b) Determinare i versori della terna intrinseca di nel puntoP(1;0;1) . (c) Determinare la curvatura di nel puntoP.Istruzioni. Ogni risposta deve essere giusti cata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme al la bel la, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo.2 ore. Prima Parte Es.1 : 5 puntiEs.2 : 3 puntiTotale 1. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. 2. (a) Dire come si calcola l'area di un parallelogrammo inR2 i cui vettori associati a 2 lati contigui sonoaeb. (b) Dire come si calcola il volume di un parallelepipedo inR3 i cui vettori associati a 3 lati contigui sonoa,bec.Istruzioni. Le risposte devono essere scritte sul foglio di bel la. Non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo.15 minuti. Punteggio minimo per la sucienza: 4 (prima parte) + 14 (seconda parte). Soluzioni 1. (a) Siaz=x+ iy, conx; y;2R. L'insiemeAe il luogo dei punti tali chejx+ 1 + i(y1)j= jx+ iyj, ossia (x+ 1)2 + (y1)2 =x2 +y2 . QuindiAcorrisponde alla retta di equazione y=x+ 1 del piano di Gauss. Analogamente, l'insiemeBe il luogo dei punti tali che x+y= 0 . QuindiBcorrisponde alla retta di equazioney=xdel piano di Gauss. (b) La soluzione del sistema e data dall'intersezioneA\B, ossia dall'intersezione delle due rette corrispondenti, ossia dal sistema (y=x+ 1 y=x dal quale si hax=12 e y=12 , e quindi z 0= 12 +12 i . (c) Si ha z1= 1 + i 12 + 12 i = 12 + 32 i z2= (1 + i) 12 + 12 i =1: 2. Perx!0+ , si ha x sinxx 6 +x6 2=x  (x x 3 3! + o(x3  ))x 6 +x6 216 x3 x 6 +x6 2: Se2(0;1) , allora x6 +x6 2 x6 2 : In questo caso, quindi, si ha lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2=8 > < > :0 2(0;1=2] 16  = 1=2 +12(1=2;1): Se invece1 , allora x6 +x6 2 x6 : In questo caso, quindi, si ha lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2=8 > < > :+ 12[1;2) 16  = 2 02(2;+1): Da qui si ricavano i valori per i tre valori dirichiesti: =14 : lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2= 0 = 1 : lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2= + 1 = 2 : lim x!0+x  sinxx 6 +x6 2=16 : 3. (a) La funzionefe de nita per 1 +x3 >0 , ossia perx >1 . Pertanto il campo di esistenza difeD= (1;+1) . (b) La funzione fha un asintoto verticale perx!(1)+ , essendo lim x!(1)+f (x) = lim x!(1)+ x23 ln(1 + x3 ) = +1: Inoltre, essendolim x!+1f (x) = lim x!+1 x23 ln(1 + x3 ) = +1 lim x!+1f (x)x = lim x!+1 123 ln(1 + x3 )x  = 1 lim x!+1( f(x)x) = lim x!+123 ln(1 + x3 ) =1 la funzionefnon presenta ne asintoto orizzontale ne asintoto obliquo perx!+1. (c) La derivata prima dife f0 (x) = 123 3 x21 + x3=x 3 + 2x2 + 11 + x3=( x1)(x2 x1)1 + x3 essendo x3 + 2x2 + 1 =x3 + 2x2 +xx+ 1 =x(x1)2 (x1) = (x1)(x2 x1): Poiche 1 +x3 >0 suD, si haf0 (x)0 se e solo se (x1)(x2 x1)0 . Pertanto, la funzionefe decrescente perx