Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Analisi e Geometria 1 Primo appello { 3 Febbraio 2020 Compito ADocente: LANZARONECognome:Nome:Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Domanda di teoria 1 (5 punti) Enunciare e dimostrare il test di monotonia. Fornire un esempio di funzione strettamente crescente e derivabile con derivata prima nulla in almeno un punto. 1 Domanda di teoria 2 (3 punti) Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Dare le de nizioni di parallelismo e di ortogonalita tra due vettori usando il prodotto scalare. 2 Analisi e Geometria 1 Primo appello { 3 Febbraio 2020 Compito ADocente: LANZARONECognome:Nome:Matricola: Esercizio 1 (6 punti) Trovare l'integrale generale dell'equazione dierenziale ordinaria y0 =x 23 e 2 x3y : Determinare la soluzione dell'equazione che soddisfa la condizione y(1) =23 : 3 Esercizio 2 (6 punti) Si consideri la seguente equazione nel campo complesso (z+ 2010i)4 = (5p3 + 5 i)8 : Scrivere le soluzioni dell'equazione e rappresentarle nel piano di Gauss. DettoAl'insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss l'insiemeBcos de nito B=fz= 1 +i !:!2Ag: 4 Esercizio 3 (4 punti) Determinare la rettarperpendicolare alle rette di equazioni 8 > < > :x = 2 +t y= 2t z= 1t e8 > < > :x = 4t y= 2 +t z= 3 + 5t e passante per il puntoA= (1;2;3). Determinare quindi la distanza tra la rettartrovata e il puntoB= (0;0;4): 5 Esercizio 4 (8 punti) SiaFla funzione cos de nita F(x) =Z x 13 ( t2 1) arctant3 p( et 1)5dt dove l'integrale e da intendersi eventualmente in senso improprio. Svolgere uno studio qualitativo diFspeci cando l'insieme di de nizione, i limiti agli estremi del do- minio, la monotonia, gli eventuali estremi locali, gli eventuali punti di non derivabilita e gli eventuali asintoti. Disegnare in ne un gra co qualitativo diF. NB: non sono richieste le intersezioni con gli assi e lo studio della convessita. 6 SOLUZIONI Esercizio 1 L'equazione e a variabili separabili. Avremo quindi Z 3e3 y dy=Z x2 e2 x dx La primitiva del primo membro e immediata, quella del secondo si ricava integrando per parti due volte. Si ottiene cos e3 y =e 2 x (2x2 2x+ 1)4 + C: Pertanto l'integrale generale e: y=13 log e2 x (2x2 2x+ 1)4 + C : Imponendo la condizioney(1) =23 ricaviamo: 23 = 13 log e24 + C cioeC=34 e2 . Quindi la soluzione particolare e: y=13 log e2 x (2x2 2x+ 1) + 3e24  : 7 Esercizio 2 Ponendot=z+ 2010ila prima delle 4 soluzioni rispetto ate h5p3 + 5 ii 2 =h 10 cos6 + isin6 i 2 mentre le altre si ottengono ruotando di2 . Quindi: t1= 100 cos3 + isin3  = 50 + 50p3 i t2= 100 cos5 6 + isin5 6  =50p3 + 50 i t3= 100 cos4 3 + isin4 3  =5050p3 i t4= 100 cos11 6 + isin11 6  = 50p3 50i: Osserviamo ora chez=t20 + 10i. Pertanto le soluzioni saranno z1= 50 + 50p3 i20 + 10i= 30 +i(10 + 50p3) z2= 50p3 + 50 i20 + 10i=50p3 20 + 60i z3= 5050p3 i20 + 10i=70 +i(1050p3) z4= 50p3 50i20 + 10i= 50p3 2040i: Esse si trovano su una circonferenza di centro20 + 10i, raggio 100 e angoli pari a quelli riportati pert 1, t 2, t 3e t 4. Per passare daAaBbasta ruotare le 4 soluzioni di un angolo pari a2 e traslarle a destra di 1. 8 Esercizio 3 I parametri direttoria,becdella rettardevono essere soluzioni del sistema (a+ 2bc= 0 4a+b+ 5c= 0: Una delle in nite soluzioni ea=11,b= 9 ec= 7. Imponendo anche il passaggio perAotteniamo l'equazione dir: 8 > < > :x = 111t y= 2 + 9t z= 3 + 7t: Osserviamo ora che il pianoperpendicolare alla retta e passante perBha equazione 11x+ 9y+ 7z28 = 0: Determiniamo quindi il puntoCintersezione trare. Avremo 11(111t) + 9(2 + 9t) + 7(3 + 7t)28 = 0)t= 0: PertantoC= (1;2;3) coincide conAe la distanza richiesta e p(1 0)2 + (20)2 + (32)2 =p6 : 9 Esercizio 4 La funzione integranda f(t) =3( t2 1) arctgt3 p( et 1)5 e de nita e continua inRn f0g. Quindife integrabile secondo Riemann su ogni intervallo inRn f0g che non contienet= 0. Abbiamo allora (0;+1)dom(F) eF(1) = 0: In un intorno dit= 0 avremo f(t) 3 tt 53 = 3t 23 per t!0: Quindife integrabile in senso improprio in un intorno dit= 0. Percio dom(F) = (1;+1). Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la funzioneFe derivabile in ogni punto di continuita difcon derivataF0 (x) =f(x). Quindi F0 (x) =f(x) perx6 = 0: Analizzando gli zeri ed il segno difperx6 = 0 si trova che: F0 (1) = 0; F0 (x)>0 se e solo sex 1; F0 (x)