Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Analisi e Geometria 1 Secondo appello 8 Luglio 2015 Compito ADocente:Politecnico di Milano Ingegneria IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri l'equazione dierenzialey0 =y1 + x2+ e arctanx ln(x+ 1) a) Trovare l'integrale generale. b) Trovare la soluzione che veri ca la condizioney(0) = 1. Soluzione a) L'equazione e lineare del primo ordine. L'integrale generale e:y=e arctanx Z ln(x+ 1)dx+C = e arctanx xln(x+ 1)Z xx + 1+ C =e arctanx (x+ 1) ln(x+ 1)x+C
. y=e arctanx (x+ 1) ln(x+ 1)x+C
: b) La soluzione del problema di Cauchy e la funzioney=e arctanx (x+ 1) ln(x+ 1)x+ 1
: (C= 1) 2. Sia fla funzione de nita nel modo seguente: [0; ]f !R;8x2[0; ]f(x) = cosx3 psin x a) Stabilire in quali punti del suo dominiofe derivabile e trovare i limiti della derivata agli estremi del dominio. b) Determinare le ascisse dei punti di minimo e di massimo (locali e assoluti) difnel suo dominio. c) Disegnare il gra co dif. Soluzione a) Si ha che f0 (x) =1 4 sin2 x3 3 psin 2 x; quindife derivabile nel suo dominio esclusi i puntix= 0; x=. Si ha che lim x!0+f 0 (x) = lim x!f 0 (x) = +1: b) La derivata prima si annulla sex=6 e se x=5 6 , ed e positiva in 0;6
)[ 56 ; 
. Quindi x= 0 e punto di minimo locale, x=6 e punto di massimo assoluto, x=5 6 e punto di minimo assoluto, x=e punto di massimo locale. 3. Si consideri la curva parametrizzata C:R!R3 , C(t) = (et cost)i+ (et sint)j+ 2kt2R a) Trovare i vettoriT;N;Bdel riferimento di Frenet nel puntoC(t 0), dove t 0= =2.T = 1p 2 ; 1p 2 ; 0 N= 1p 2 ; 1p 2 ; 0 B= (0;0;1)b) Trovare il valore della curvatura int 0= =2.k =1p 2 1e = 2c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano normale alla curva Cnel punto corrispondente al valore t0= =2. x+ye= 2 = 0Soluzione C0 (t) = (et (costsint); et (sint+ cost);0) jC0 (t)j=v(t) = e2 t (costsint)2 +e2 t (sint+ cost)2
1=2 =p2 et T(t) =C 0 (t)j C0 (t)j= costsintp 2 ; cos t+ sintp 2 ; 0 Sese il parametro lunghezza d'arco (s(t) =R t t0v (t)dt;ds=dt=v(t)), kN=d Tds = d Tdt dtds = d Tdt 1ds=dt = d Tdt 1v = sintcostp 2 ; sint+ costp 2 ; 0 1p 2 et Poiche d Tdt =  sintcostp 2 ; sint+costp 2 ; 0 = 1, N(t) = sintcostp 2 ; sint+ costp 2 ; 0 ; k=1p 2 et eB= (0;0;1) =k Soluzione alternativa: TrovareC00 ; B=C0 C00 =jC0 C00 j; N=BT; k=j C0 C00 jv 3 . Il piano normale nel puntoP 0= C(=2) = (0; e= 2 ;2) e ortogonale al vettoreTe quindi ha equazione vettorialeT
(XP 0) = 0. Poiche Te multiplo di (1;1;0), un'equazione cartesiana del piano normale ex+ye= 2 = 0 4. Si consideri il solido generato dalla rotazione attorno all'asse delle xdel gra co della funzione [e;+1)f !Rf(x) =1p x lnx Calcolare il volume del solidoZ +1 ej f(x)j2 dx o dimostrare che tale volume e in nito.Il volume del solido e Soluzione Il volune del solido generato dalla rotazione attorno all'assexdel gra co della funzionef, de nita sull'intervallo illimitato [e;+1), e dato dall'integrale improprio Z +1 e[ f(x)]2 dx=Z +1 e1x (lnx)2dx = lim b!+1Z b e1x (lnx)2dx Si puo calcolare l'integrale de nitoR b e1x (lnx)2 dx con la sostituzione: lnx=t; x=et ; dx=et dt Si ottiene Z b e1x (lnx)2dx =Z lnb 11e t t2et dt=Z lnb 11t 2dt = 1t  lnb 1=  1ln b+ 1 Poichelim b!+1 1ln b+ 1 = concludiamo che il volume cercato e nito e vale.