Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Cognome:Nome:N o iscrizione:Matricola:Analisi e Geometria 1 Appello 4 (7/07/2023)Punteggio totale: Questionario (10 punti) Quesito 1.(1 risposta corretta) La successionea n= 1−cos 1√ n + 7 ·√n + 6Adiverge a +∞.Bconverge a 0. ✓Cnon è limitata superiormente. Dnon è limitata inferiormente. ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 2.(1 risposta corretta) SianoA={z∈C|1≤ |z| ≤2,Re(z)≤0,Im(z)≤0}eB={z∈C|z=z }.AA ∩Bè un segmento sull'asse immaginario.BA ∩Bè un segmento sull'asse reale. ✓CA ∩Bsi riduce a un unico punto.DA ∩Bè vuoto.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 3.(2 risposte corrette) Consideriamo il numero complessoz=(1 + i)3 e− iπ3  4Aarg( z) =π12 . ✓Barg( z) =−5 π12 .Carg( z) =π.D| z|= (√2) 3 . ✓E| z|= 23 . Quesito 4.(1 risposta corretta) Dettaf: (0,+∞)→Rla funzionef(x) = ln(x) +1x − 2xAtende a 0 per x→0+ .Btende a +∞perx→+∞.Cammette almeno uno zero. ✓Dè limitata superiormente. ENessuna delle altre aermazioni è corretta. 1 Quesito 5. (1 risposta corretta) Dettaf: −12 ,12
→Rla funzionef(x) =( tan(x2 ) sin 1x 3
x̸ = 0 0x= 0Af non è continua inx= 0.Bf è continua ma non derivabile inx= 0.Cf è derivabile inx= 0. ✓Dlim x→0f (x) = +∞.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 6.(1 risposta corretta) Si considerilim x→02 x2 −xsin(x)x +e2 x −e3 x.Ail limite vale 1.Bil limite vale −1.Cil limite vale 0.Dil limite non esiste in R.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. ✓ Quesito 7.(1 risposta corretta) L'integraleZ e2 e1x (ln( x))2 dxvale:A7 3 . ✓B2 e2 −e.C1 .De (e−1).ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 8.(1 risposta corretta) Si consideri la successione(a n) n∈Ncon a n=n 3 −5 sin(n)2 n +1 + 4n.Ala serie P ∞ n=0a nè convergente e il valore della somma è 0.Bla serie P ∞ n=0| a n| è convergente e la serieP ∞ n=0a nnon è convergente.Cla serie P ∞ n=0a ndiverge a +∞.Dla serie P ∞ n=0a nè convergente. ✓ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 9.(1 risposta corretta) Si consideri la curvaγparametrizzataγ(t) = 2√2 t−sin(t),2√2 sin( t) +t,3 cos(t) cont∈[0,2π].ALa lunghezza di γè72π.BLa lunghezza di γè√18 (2 π). ✓CLa lunghezza di γè√2 (2 π).DLa lunghezza di γè√18 π.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. 2 Esercizio 1. Studio di funzione (7 punti) Si consideri la funzione f(x) = arctg x1 + x2 , x∈R (1)Determinare: (i) eventuali simmetrie; (ii) limiti dif(x)perx→+∞ex→ −∞. Eventuali simmetrie:fdispari. Limiti:lim x→±∞f (x) = 0(2)Scrivere la derivata f′ (opportunamente semplicata) e determinarne l'insiemeD f′ di denizione. f′ (x) =1 −x21 + 3 x2 +x4, D f′ =RDeterminare i punti di massimo e minimo locale. x0= −1: punto di minimo locale.x 1= 1 : punto di massimo locale.(3)L'integrale generalizzato (improprio) R +∞ 0arctg x1+ x2 dxè convergente o divergente? Divergente(Per x→+∞,arctg x1+ x2 ∼1x ) (4)Tracciare il gracoqualitativodif, in modo tale che siano leggibili la pendenza nell'origine, i massimi e minimi e e gli eventuali asintoti.Esercizio 2. Geometria (5 punti) (1) Scrivere un'equazione cartesiana del pianoppassante per il puntoB= (−2,−1,4)e parallelo a entrambi i vettoriw 1= (6 ,3,2),w 2= (9 ,1,−4). 2x−6y+ 3z−14 = 0(2) Calcolare le ampiezze in radianti degli angoli del triangolo i cui vertici sono i punti A= (−1,3,−5)B= (−2,−1,4)C= (1,−3,−2) ˆ A=π/4,ˆ B=π/4,ˆ C=π/2Scrivere sinteticamente le motivazioni sul retro di questo foglio (o di uno dei precedenti). 3 Domande di teoria. (10 punti) 1.Enunciarecon precisione edimostrareilTeorema degli Zeri. 2.Enunciarecon precisione e dimostrare ilTeorema Fondamentale del Calcolo Integrale. L'enun- ciato dovrà includere: (i) la derivata della funzione integrale; (ii) laFormula di Newton-Leibniz per l'integrale denito.)Scrivere qui sotto (e sul retro di questo foglio, se necessario). 4