Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Cognome:Nome:N o iscrizione:Matricola:Analisi e Geometria 1A Appello 2 (30/01/2023)Punteggio totale: Questionario(Totale: 10 punti) Segnare le aermazioni corrette (una e una sola per ogni quesito) 1. Pern2N, poniamoI n= 0;1n + 1 eJ=\ n2NI n(intersezione di tutti gli I n). (a)Jè l'insieme vuoto. (b)Jcontiene esattamente 1 punto.X (c)Jcontiene inniti punti. (d) Per ognin2Nvale l'inclusioneI n I n+1 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 2. Deniamo le successioni inR:a n= nlog e 1 +2n  ;b n= 2n+ 12 n 2n (n1). Poniamo:` 1= lim n!+1a n; ` 2= lim n!+1b n. (a)` 1= + 1e` 2= 1 . (b)` 1= 2 e` 2= 1 . (c)` 1= 0 e` 2= e2 . (d)` 1= 2 e` 2= e.X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 3. Per ognin2N, siau n=n X i=013 i= 1 +13 +


+13 ne S= lim n!+1u n. (a)S=32 X (b)S=23 (c)S= 0 (d)S= +1 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 4. Siaf: [a; b]!R(a; b2R; a < b) una qualunque funzione continua. (a) Sef(a)f(b)>0, allorafnon ha zeri in[a; b]. (b) Postom=f (a)+f(b)2 , la funzione g(x) =f(x)mha uno zero in[a; b].X (c) Sef(a)f(b) 0 x2 +ax+ 1x0 (a) Per ognia2R,f aè derivabile. (b) Per ognia2R,f anon è derivabile. X (c) Per ognia2R,f aè continua e non derivabile. (d) Sea=12 , f aè derivabile. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 6. Siaf:R!Runa funzione derivabile tale chef(0) = 0; f0 (0) = 3. Poniamo:L= lim x!0f (x) 1 +p1 + 2 x (a)L= 3X (b) I dati non sono sucienti per determinareL. (c)L= +1 (d)L=32 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 7. Deniamo:G(x) =R x2 0log(1 + t4 )dt; x2R. La derivataG0 (x)è data da: (a)G0 (x) = log(1 +x4 ). (b)G0 (x) = log(1 +x8 ). (c)G0 (x) = log(1 +x6 ). (d)G0 (x) = 2xlog(1 +x8 ).X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 8. Datoz=x+iy2C(x; y2R), la parte immaginaria diw=z 3i 5è: (a)3xy2 +x3 (b)3xy2 x3 X (c)3x2 yy3 (d)0 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 9. Nel triangolo di verticiA= (3;0;3); B= (2;1;3); C= (1;3;4), la misura in radianti dell'angolo di verticeBè: (a)6 (b)4 (c)56  X (d)2 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 10. L'integrale (generalizzato)Z 1 0arctan 1x 2
x aè convergente se, e solo se: (a)a 1 (c)0< a :x =t2 + cost y=t2 sint z=t2 +tt 2 2 ; 3 2  (a) Determinare la terna intrinseca di nel puntoP(1;0;0). (b) Determinare i puntiQ2 in cui la retta tangente è ortogonale alla retta tangente in P. Soluzione degli esercizi 1. (a) i. I limiti al bordo del dominio sonolim x!1f (x) =1;lim x!0f (x) =1;lim x!0+f (x) = +1: Inoltre, si ha m= lim x!1f (x)x = 1eq= lim x!1( f(x)mx) = 0: Pertanto, la funzionefammette la rettar:y=xcome asintoto obliquo per x! 1. ii. Essendo illimitata in un intorno destro di0, la funzionefnon può essere estesa con continiutà a tuttoR. (b) i. Si ha f0 (x) =1x 2e1x 1 =e1x +x2x 2: Poichéf0 (x)