Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Cognome:Nome:N o iscrizione:Matricola:Analisi e Geometria 1B Appello 2 (30/01/2023)Punteggio totale: Questionario(Totale: 10 punti) Segnare le aermazioni corrette (una e una sola per ogni quesito) 1. Pern2N, poniamoI n= 0;1n + 1 eJ=\ n2NI n(intersezione di tutti gli I n). (a) Per ognin2Nvale l'inclusioneI n I n+1 (b)Jè l'insieme vuoto. (c)Jcontiene esattamente 1 punto.X (d)Jcontiene inniti punti. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 2. Deniamo le successioni inR:a n= nlog e 1 +2n  ;b n= 3n+ 13 n 3n (n1). Poniamo:` 1= lim n!+1a n; ` 2= lim n!+1b n. (a)` 1= 2 e` 2= e.X (b)` 1= + 1e` 2= 1 . (c)` 1= 2 e` 2= 1 . (d)` 1= 0 e` 2= e2 . (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 3. Per ognin2N, siau n=n X i=015 i= 1 +15 +


+15 ne S= lim n!+1u n. (a)S= +1 (b)S=54 X (c)S=45 (d)S= 0 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 4. Siaf: [a; b]!R(a; b2R; a < b) una qualunque funzione continua. (a) Sef(a)< f(b)ec2(a; b), alloraf(c)2(f(a); f(b)). (b) Sef(a)f(b)>0, allorafnon ha zeri in[a; b]. (c) Postom=f (a)+f(b)2 , la funzione g(x) =f(x)mha uno zero in[a; b].X (d) Sef(a)f(b) 0 x2 +ax+ 1x0 (a) Sea=12 , f aè derivabile. (b) Per ognia2R,f aè derivabile. (c) Per ognia2R,f anon è derivabile. X (d) Per ognia2R,f aè continua e non derivabile. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 6. Siaf:R!Runa funzione derivabile tale chef(0) = 0; f0 (0) = 5. Poniamo:L= lim x!0f (x) 1 +p1 + 2 x (a)L=52 (b)L= 5X (c) I dati non sono sucienti per determinareL. (d)L= +1 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 7. Deniamo:G(x) =R x2 0log(1 + t4 )dt; x2R. La derivataG0 (x)è data da: (a)G0 (x) = 2xlog(1 +x8 ).X (b)G0 (x) = log(1 +x4 ). (c)G0 (x) = log(1 +x8 ). (d)G0 (x) = log(1 +x6 ). (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 8. Datoz=x+iy2C(x; y2R), la parte immaginaria diw=z 3i 5è: (a)0 (b)3xy2 +x3 (c)3xy2 x3 X (d)3x2 yy3 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 9. Nel triangolo di verticiA= (3;0;3); B= (2;1;3); C= (1;3;4), la misura in radianti dell'angolo di verticeBè: (a)2 (b)6 (c)4 (d)56  X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 10. L'integrale (generalizzato)Z +1 0arctan 1x 2
x aè convergente se, e solo se: (a)1< a :x =t2 + cost y=t2 + sint z=t2 tt 2 2 ; 3 2  (a) Determinare la terna intrinseca di nel puntoP(1;0;0). (b) Determinare i puntiQ2 in cui la retta tangente è ortogonale alla retta tangente inP. 3 Soluzione degli esercizi 1. (a) i. I limiti al bordo del dominio sonolim x!1f (x) =1;lim x!0f (x) = +1;lim x!0+f (x) =1: Inoltre, si ha m= lim x!1f (x)x = 1 eq= lim x!1( f(x)mx) = 0: Pertanto, la funzionefammette la rettar:y=xcome asintoto obliquo per x! 1. ii. Essendo illimitata in un intorno sinistro di0, la funzionefnon può essere estesa con continuità a tuttoR. (b) i. Si ha f0 (x) = 1x 2 e 1x + 1 =e 1x +x2x 2: Poichéf0 (x)>0per ognix6 = 0, la funzionefè strettamente crescente su ciascuno degli intervalli(1;0)e(0;+1)(ma non è crescente sul suo dominio). Non ci sono punti di massimo né punti di minimo locali. In particolare, si halim x!0+ f0 (0) = 1. ii. Poichéfè strettamente crescente sull'intervallo(1;0)e poichélim x!1f (x) = 1elim x!0 f (x) = +1, la funzionefpossiede esattamente uno zero sull'in- tervallo(1;0). Analogamente, poichéfè strettamente crescente sull'intervallo (0;+1)e poichélim x!+1f (x) = +1elim x!0+ f (x) =1, la funzionef possiede esattamente uno zero sull'intervallo(0;+1). (c) Si ha f00 (x) =2x 3e 1x +1x 4e 1x =1 2xx 4e 1x : Pertantof00 (x)0se e solo sex1=2. Cosìfha concavità rivolta verso l'alto per x < > :x 0 = 2tsint y0 = 2t+ cost z0 = 2t1e8 > < > :x 00 = 2cost y00 = 2sint z00 = 2; 4 si ha f0 (0) = (0;1;1),f00 (0) = (1;2;2)ef0 (0)^f00 (0) = (4;1;1). Pertanto, i vettori della terna intrinseca cercata sono t(0) =f 0 (0)k f0 (0)k= (0 ;1;1)p 2 n(0) =b(0)^t(0) =(1 ;2;2)3 b(0) =f 0 (0)^f00 (0)k f0 (0)^f00 (0)k= (4 ;1;1)3 p2 Si osservi che, essendof0 (0)?f00 (0), si ha anche n(0) =f 00 (0)k f00 (0)k= (1 ;2;2)3 : (b) SiaQ=f(t)un punto di (che risulta regolare). InQla retta tangente è ortogonale alla retta tangente inPquandof0 (t)è ortogonale af0 (0), ossia quando 0
(2tsint) + 1
(2tcost) + (1)
(2t+ 1) = 0 ossia quandocost=1, e questo lo si ha pert=. Esiste quindi un solo punto con la proprietà richiesta dato daQ(2 1; 2 ;+2 ). 5