Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Cognome:Nome:N o iscrizione:Matricola:Analisi e Geometria 1A Appello 1 (09/01/2023)Punteggio: Questionario(Totale: 10 punti) Segnare le risposte corrette 1. Poniamo:(0;+1)f !R, per ognix2(0;+1)f(x) = arctan 1x  . (a) Imf= 0;2
X (b) Imf= 0;2  (c) Imf= 0;2
(d) Imf= (0;+1) (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 2. Il numero complesso(1 +ip3) 6 è uguale a (a)(26 ) (b)23 (c)i(23 ) (d)26 X (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 3. Il limite:lim n!+1sin( n) log 1 +1n  (a) non esiste. (b) vale12 . (c) vale1. (d)0.X (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 4. Poniamo:f(x) =( x3 cos 1x 2
sex6 = 0 0sex= 0 (a)fnon è continua in0. (b)fin0è continua ma non derivabile. (c)fè derivabile in0ef0 (0) = 0.X (d)fè derivabile in0ef0 (0) = 1. (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 5. Sia[a; b]f !Runa qualunque funzione limitata. (a) Sefè integrabile eR b af (x)dx= 0, alloraR b a( f(x))2 dx= 0 (b) Sefnon è continua, allorafnon è integrabile. (c) Sefè strettamente monotòna, allorafè integrabile.X (d) Sefè integrabile, allorafè strettamente monotòna. (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 1 6. La funzione G(x) =R x2 0t dt ,x2R: (a) non è derivabile in0. (b) non è continua in0. (c) per ognix2Rè derivabile eG0 (x) =x2 . (d) per ognix2Rè derivabile eG0 (x) =x3 . (e) Nessuna delle altre risposte è corretta.X 7. La serie numerica+ 1 X 1 1cos1n a , cona >0, converge se, e solo se: (a)a 1=2.X (c)a >1. (d)a1. (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 8. La funzionef(x) =x 2 +x( x4 + 1)(px 2 +x), sull'intervallo (0;+1), (a) è integrabile in senso generalizzato in un intorno destro di0, ma non a+1. (b) è integrabile in senso generalizzato a+1, ma non in un intorno destro di0. (c) è integrabile in senso generalizzato sia in un intorno destro di0sia a+1.X (d) non è integrabile in senso generalizzato né in un intorno destro di0, né a+1. 9. InR3 , il piano passante per il puntoP 0= (1 ;1;1)e perpendicolare alla retta passante per i puntiA= (1;0;2)eB= (0;1;3), ha equazione cartesiana: (a)x+yz+ 2 = 0 (b)x+ 2y5 = 0 (c)x+yz1 = 0X (d)x+yz= 0 (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 10. Sia(e 1; e 2; e 3) la base canonica diR3 . Il prodotto vettoriale(e 2 e 1) (e 3 e 2) è: (a)e 1+ e 2+ e 3 (b)e 1 e 2+ e 3 (c)e 1 e 2 e 3 (d)e 1+ e 2+ e 3X (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. 2 Esercizi(Totale: 12 punti) Inserire le risposte nali nelle 6 caselle.Riportare sinteticamentei calcoli e le moti- vazioni di ogni eserciziosul retro di questo foglio e sul retro del foglio precedente, se necessario. (Riferitevi ai quesiti nominandoli: Esercizio 1,...,Esercizio 6). Esercizio1Deniamo: f(x) = (1 +x) log(1 +x) + (1x) log(1x)4x2 ; x2(1;1) Scrivere il polinomio di Taylor di ordine2difcentrato inx 0= 0 . Risposta: 3x2Esercizio 2Scrivere in forma algebricaa+ib(a; b2R) le radici inCdell'equazione: z(z3 + 1) = 0 Risposta:0 ;1;1 +ip3 2 ; 1ip3 2 Esercizio 3Calcolare il valore del limite:lim x!0sin xx+13 x3ln(1 + x3 ) Risposta:1 =6Esercizio 4Dire per qualia2Rl'integrale generalizzatoZ +1 0x + log(1 + 3x)(1 + x2 )xadx è convergente. (Cioè, converge sia in un intorno destro di0sia a+1.) Risposta:0 < a 0la serie+ 1 X n=0n !a nè convergente. Risposta:Per ogni a >0la serie diverge. (Usare il criterio del rapporto).Esercizio 6Scrivere un'equazione cartesiana per il pianoPpassante per il puntoA= (0;2;0) e parallelo alle due direzioni individuate dai vettoriv 1= (2 ;1;0)ev 2= ( 1;0;1). Risposta:x 2y+z+ 4 = 03 Teoria(Totale: 10 punti) 1. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema che aerma che la derivabilità implica lacontinuità. 2. a) Enunciare con precisione e dimostrare ilTeorema Fondamentale del Calcolo Integrale. (L'e- nunciato deve includere: la derivata della funzione integrale; laFormula di Newton-Leibniz per l'integrale denito.) b) Dare un esempio esplicito (con denizione analitica precisa e graco) di una funzionef che sia integrabile sull'intervallo[0;1], ma la cui funzione integraleG(x) =R x af (t)dtnon sia derivabile. Si devedimostrareche la funzione integraleGnon è derivabile in[0;1]. Oppure, si spieghi perché un tale esempio non esiste.Scrivere qui sotto (e sul retro di questo foglio, se necessario). 4