Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano  Ingegneria Aerospaziale/Energetica/Meccanica Analisi e Geometria 1, A.A. 2021-2022, Scaglione RE-STEL Secondo appello  31 Gennaio 2022  Durata: 2 ore e 15 minuti Cognome e Nome:N o iscrizione:Numero di matricola (6 cifre): Questionario(Totale = 20 punti) 1. (1 risposta corretta, 1 punto) Siaa nuna successione in R. (a) Sea n! 0pern!+1, allora necessariamentea n! 0+ oppurea n! 0 . (b) Non esiste il limite:lim n!+1sin 1n
. (c) Sefa ng è una qualunque successione di numeri reali positivi tale chea n+1a n! 1per n!+1, allorafa ng non tende a zero. (d) Sea nè crescente, allora ammette limite (nito o +1).X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 2. (1 risposta corretta, 2 punti) L'equazione in C jzj=z+ 1 (a) Ammette una soluzione e una soltanto.X (b) Non ha soluzioni. (c) Ha esattamete due soluzioni. (d) Ammette innite soluzioni. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 3. (1 risposta corretta, 2 punti) Deniamo la funzione: g(x) = 1 +px
px x2[0;+1) (a) Perx!0; g(x)!0. (b)gè limitata. (c)gnon è monotòna. (d) Esiste (nita) la derivata destra diginx 0= 0 .X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 4. (1 risposta corretta, 2 punti) Dato il parametro  >0, il limite lim x!0sin x(1 cosx) (a) Vale0se e solo se 12 . (c) Vale0se e solo se 0. (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 1 5. (1 risposta corretta, 2 punti) Deniamo: Rf !R 8x2Rf(x) =esin x sinx1 (a)fammette uno e un solo zero. (b)x==4è un punto di minimo locale dif. (c)fammette inniti zeri.X (d)fè illimitata. (e)f0 (x) =ecos x cosx 6. (1 risposta corretta, 1 punto) Sia Fla funzione integrale così denita: F(x) =Z x 1t 500( t+ 1)502 dt : Allora:(a)Fha un asintoto verticale in(1;+1). (b)Fha un asintoto obliquo perx!+1. (c)Fcambia segno in(1;+1). (d)Fha un asintoto orizzontale perx!+1.X (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 7. (1 risposta corretta, 2 punti) L'integrale denito Z1 0arctan( x)dx è uguale a:(a)14 ( log 2) (b)14 ( log 4)X (c)12 ( log 2) (d)log 2 (e) Nessuna delle altre aermazioni è corretta. 2 8. [1 risposta corretta, 2 punti]La serie 1 X n=1n  sin 2 n
(a) converge se e solo se0 (b) converge per ogni2R.X (c) converge se e solo se >1 (d) converge se e solo se < > :x = 1 +t ; y= 2 + 2t ; z= 3 + 3t ;t 2Rr 2:8 > < > :x = 2 +s ; y= 2; z= 6 + 3s ;s 2R (a)r 1e r 2sono sghembe. (b)r 1e r 2sono incidenti e non perpendicolari tra loro. X (c)r 1e r 2sono ortogonali. (d) Il piano di equazionex3z= 0è perpendicolare alla rettar 2. (e)r 1e r 2sono incidenti e perpendicolari tra loro. 3 Esercizio e questioni teoriche(Totale = 12 punti) Riportare le risposte nali nel le casel line. Scrivere a parte le spiegazioni e i calcoli suquesti fogli, riportando la numerazione(a),(b),...,(e). Poniamo:f(x) = log(logx)log(x) +e :(1) (doveedenota la costante di Nepero elogil logaritmo in basee.) (a) Determinare il più grande sottoinsiemeJRin cui l'espressionef(x)è denita. Calcolare i limiti difagli estremi diJ. (Riportare a parte il calcolo dei limiti) Risposte:J =Limiti:(b) Trovare un punto x 02 Jin cuifassuma il valore massimo. Oppure barrare Non esiste (Motivare a parte le risposta.) Risposta:x 0= f(x 0) =, oppure:Non esiste (c) Determinare il numero degli zeri di fnell'intervallo(1; e)e il numero degli zeri difnel- l'intervallo(e;+1). (Motivare a parte le risposte. Non si chiede di determinare il valore numerico degli zeri.) Risposte:Numero degli zeri di fin(1; e):Numero degli zeri di fin(e;+1):(d) Poniamo: f(x) =( 1sex2[0;1] 2sex2(1;2]g (x) =jxj; x2[1;1] (i)fè integrabile su[0;2]?(ii) F(x) =R x 0f (t)dtè derivabile su[0;2]?(iii) G(x) =R x 0g (t)dtè derivabile in[1;1]?(Motivare a parte ogni risposta.) (e) (i) Enunciare e dimostrare il teorema dei valori intermedi (dando per acquisito il teoremadegli zeri). (ii) SiaIf !Runa funzione il cui dominioIsia un intervallo diR. Supponiamo chef(I) (l'immagine dif) sia un intervallo. Possiamo concludere chefsia continua? (Risposte nella pagina seguente.) 4 Risposte (a)J= (1;+1) lim x!1+f (x) =1lim x!+1f (x) =1 (b) L'unico punto in cui la derivata f0 (x) = 1 + logxx logx si annulla, ossiax 0= e, è punto di massimo assoluto. Il valore massimo èf(x 0) = 1 +e(>0).(c) Sull'intervallo (1; e)la funzionefè strettamente crescente, perchéf0 >0su(1; e), e quindi ha al più 1 zero. Siccome vicino aa= 1fassume valori negativi e vicino ax 0= eassume valori positivi (f(e) =1 +e >0), per il teorema degli zerifha almeno uno zero. Pertanto,fha uno zero, e uno soltanto, nell'intervallo(1; e). In modo del tutto analogo si dimostra chefha uno zero, e uno soltanto, nell'intervallo(e;+1). (d) (i) Sull'intervallo (limitato)[0;1]la (restrizione della) funzionefè continua e limitata, quindi integrabile. Analogamente,fè integrabile sull'intervallo(1;2]. Pertantofè integrabile su[0;2] = [0;1][(1;2](anche sefnon è continua nel punto1). Si ha:R 2 0f =R 1 0f +R 2 1f : (d) (ii)F(x) =R x 0f (t)dt=( xsex2[0;1] 2x1sex2(1;2]è continua su [0;2], ma non è derivabile su[0;2], perché non è derivabile nel punto1. (d) (iii) Sicome la funzioneg(x) =jxjè continua in[1;1], la sua funzione integraleG(x) = Rx 0g (t)dtè derivabile in[1;1]per il teorema fondamentale del calcolo integrale. (e)(i) (e)(ii) La risposta è negativa. Controesempio: la funzione[0;2]h !Rdenita da h(x) =( xsex2[0;1] x1sex2(1;2] ha come dominio l'intervalloJ= [0;2]e come immagine l'intervallof(J) = [0;1], ma non è continua. 5