Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Integrali

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Analisi e Geometria 1 Esercizi sugli integrali Integrali propri1. Calcolare i seguenti integrali immediati: I1=Z 4 1e px p x d x I 2=Z 4 1e e x +x1 dx I3=Z ln 2 0e x + e2 x1 + 6e x + 3e2 xd x I 4=Z 2 11x 2r1 1x d x I5=Z e 1artg ln xx (1 + ln2 x)d x I 6=Z p2 0x artg3 p1 + 3 x23 p(1 + 3 x2 )2 (1 +3 p(1 + 3 x2 )2 )d x 2. Calcolare i seguenti integrali:I1=Z 4 1j x2jdx I 2=Z 3 0j x2 3x+ 2jdx I3=Z ln 2 ln 1=2e j xj dx I 4=Z 1 1j xjex dx I5=Z 3 2j xj1 + x2d x I 6=Z 1 2j 1 +xj1 + jxjd x 3. Calcolare i seguenti integrali razionali:(a)I=Z 12x(1 + x)(1 + 2x)d x (b)I=Z 3x+x2(1 + x)(1x)2d x (c)I=Z 3x+ 12( x2)2 (x+ 1)2d x (d)I=Z 12x1 + x+ 2x2d x 4. Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali: I1=Z 1 0x artgxdx I 2=Z 1 0x 2 artgxdx I3=Z 1 0x 2 lnxdx I 4=Z  0x 2 sinxdx 5. Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali:(a)I=Z e2 x cos ex dx (b)I=Z e2 x sin ex dx 1 6. Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali: (a)I=Z ln2 xdx (b)I=Z ln3 xdx (c)I=Z ln4 xdx 7. Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali:(a)I=Z arcsinxdx (b)I=Z xarcsinxdx (c)I=Z x2 arcsinxdx 8. Calcolare, integrando per parti, l'integrale I=Z  artgx+x1 + x2 lnxdx 9. Calcolare, integrando per sostituzione, gli integrali(a)I=Z 1 + ex1 exd x (b)I=Z 2 11 + 2 ln(1 + x)3 + ln(1 + x)d x1 + x (c)I=Z 1 11 + artg x1 + artg 2 xd x1 + x2 10. Calcolare, integrando per sostituzione, gli integrali (a)I=Z 1 +px +3 px 1 + px d xx 5 =6 (b)I=Z p1 + x+3 p1 + x1 6 p1 + xd x1 + x (c)I=Z 1 01 + px 1 + 3 px d x 11. Calcolare, integrando per sostituzione, l'integrale I=Z 1 + sinx2 + 3 cos x2 sinxd x 2 Integrali impropri 1. Calcolare i seguenti integrali impropri immediati. I1=Z 1 01p 1 x2d x I 2=Z 1 0rarcsin x1 x2d x I3=Z +1 0e x1 + e xd x I 4=Z +1 0e x(1 + e x )3 =2d x I5=Z +1 0e artg x1 + x2d x I 6=Z +1 0e x1 + e 2 xartg ex dx I7=Z +1 0pln(artg x)(1 + x2 )artgxd x I 8=Z 0 1e x1 + e xln(1 + ex ) dx I9=Z 1 12(1 + x2 )p 2 4 artg2 xd x I 10=Z e 01 + ln x1 + xlnxd x I11=Z 1 0(1 + ln x)xx dx I 12=Z +1 1p1 + ln xx d x I13=Z =2 =41 + tan 2 x(tan x)3 =2d x I 14=Z =2 =41cos 2 x(tanx)4 =3d x 2. Stabilire se i seguenti integrali impropri convergono.(a)I=Z +1 0x +xpx + artgx(1 + e x ) (1 +x2p1 + x2 )d x (b)I=Z +1 11 + xex +x2 lnx(1 + e x ) (x3 +xp1 + x)d x (c)I=Z +1 13 px +xp1 + xln(1 + e x )p1 + x3d x (d)I=Z 1 0x p1 + x(e 2 x 12xx2 )psin xd x (e)I=Z +1 02 + 6 px p 1 + x3 px d x (f )I=Z +1 0e xp1 + xp x +3 px d x (g)I=Z +1 0e x artgxdx (h)I=Z +1 0px p 1 + xpx d x 3. Calcolare i seguenti integrali impropri.(a)I=Z 1 0xp 1 xd x (b)I=Z +1 0x(1 + x)(1 +x2 )d x (c)I=Z +1 01(1 + x)(1 +x2 )d x 3 (d) I=Z +1 01( x+p1 + x2 )3d x (e)I=Z +1 01(1 + x)px d x (f )I=Z +1 01p x +x2d x 4. Calcolare, per ognin2N, l'integrale In=Z 1 0ln n xdx : 5. Dire per quali valori del parametro realee convergente l'integrale I=Z +1 0(1 + p1 + px )(x+p1 + xpx )x  (x+x2px )d x Applicazioni geometricheLunghezza di un arco di curva.Siaf: [a; b]!Runa funzione derivabile. La lunghezza della curva di equazioney=f(x) e L =Z b ap1 + f0 (x)2 dx : Baricentro di un arco di curva.Siaf: [a; b]!Runa funzione derivabile. Le coordinate del baricentro (geometrico)B(x b; y b) della curva di equazioney=f(x) sono xB=1L Z b ax p1 + f0 (x)2 dxey B=1L Z b af (x)p1 + f0 (x)2 dx : Area e volume di una super cie di rotazione.Siaf: [a; b]!Runa funzione derivabile. Sia la curva di equazioney=f(x) e sia  la super cie che si ottiene facendo ruotare attorno all'assey. L'area e il volume della super cie  sono date da A= 2 Z b af (x)p1 + f0 (x)2 dxeV = Z b af (x)2 dx : Integrali ellittici (completi). {Integrale ellittico completo di prima specie: K(x) =Z =2 01p 1 xsin2 #d #(x2R; x > > < > > > :A +B+D= 0 3AB+C4D= 1 A+B4C+ 3D= 2 3AB+ 3C= 1: Risolvendo questo sistema, si ottieneA=1 ,B= 4=5 ,C=2=5 ,D= 1=5 . Quindi, si ha I= 2Z  1t 1+ 45 1t 3 15 2 t1 + t2 dt =2 lnjt1j+45 ln jt3j 45 artg t+15 ln(1 + t2 ) +c : In ne, si ha I=2 ln tanx2 1 +85 ln tanx2 3 25 x +15 ln 1 + tan2 x2  +c : 9 Integrali impropri 1. Integrando in senso improprio, si ha I1= arcsinx 1 0=2 I2=Z 1 0(arcsin x)0parcsin xdx=23 h arcsin3 =2 xi 1 0= 23 arcsin 3 =2 1 =3 r 2 I3=Z +1 0(1 + e x )01 + e xd x=h ln(1 + e x )i +1 0= ln 2 I4=Z +1 0(1 + e x )0 (1 + e x ) 3=2 dx= 2h 1p 1 + e xi +1 0= 2 p2 I5=Z +1 0(artg x)0 eartg x dx= eartg x +1 0= e= 2 1 I6=Z +1 0(artg e x )0 artg ex dx=12 h artg2 exi +1 0= 332  2 I7=Z +1 0(ln(artg x))0pln(artg x) dx=23 h (ln(artgx))3 =2i +1 0= 23  ln3 =22 ln3 =24  I8=Z 0 1(ln(1 + e x ))0 ln(1 + ex ) dx=12 h ln2 (1 + ex )i 0 1= 12 ln 2 2 I9=2 Z 1 11(1 + x2 )q1 (2 artg x)2d x= arcsin 2 artg x 1 1= 2 arcsin 12 = 3 I10=Z e 0(1 + xlnx)01 + xlnxd x=h ln(1 +xlnx)i e 0= ln(1 + e) I11=Z 1 0( xx )0 xx dx=h x2 xi 1 0= 0 I12=Z +1 1(1 + ln x)0p1 + ln xdx=23 h (1 + lnx)3 =2i +1 1= + 1 I13=Z =2 =4(tan x)0(tan x)3 =2d x=2 1p tan x =2 =4= 2 I14=Z =2 =4(tan x)0(tan x)4 =3d x=3 13 ptan x =2 =4= 3 : 2. (a) La funzione integrandaf(x) e continua e positiva sull'intervallo [0;+1) . Inoltre, perx!+1, si ha f(x)xpx x 2px 2=1x px = 1x 3 =2( = 3=2>1): Per il criterio del confronto asintotico, la funzionef(x) e integrabile in senso improprio sull'intervallo di integrazione e l'integrale converge. (b) La funzione integrandaf(x) e continua e positiva sull'intervallo [1;+1) . Inoltre, perx!+1, si ha f(x)x exx 3 ex=1x 2( = 2>1): Per il criterio del confronto asintotico, la funzionef(x) e integrabile in senso improprio sull'intervallo di integrazione e l'integrale converge. 10 (c) La funzione integranda f(x) e continua e positiva sull'intervallo [1;+1) . Inoltre, perx!+1, si ha f(x)xpx x 3 =2 ln ex=1x ( = 11): Per il criterio del confronto asintotico, la funzionef(x) non e integrabile in senso improprio sull'intervallo di integrazione e l'integrale non converge. (d) La funzione integrandaf(x) e continua e positiva sull'intervallo (0;1] . Inoltre, perx!0+ , si ha e2 x 12xx2 = 1 + 2x+ 2x2 +o(x2 )12xx2 =x2 +o(x2 )x2 , e quindi f(x)xx 2px = 1x 3 =2( = 2=21): Per il criterio del confronto asintotico, la funzionef(x) non e integrabile in senso improprio sull'intervallo di integrazione e l'integrale non converge. (e) La funzione integrandaf(x) e continua e positiva sull'intervallo (0;+1) . Inoltre, agli estremi dell'intervallo, si ha: U(0) :f(x)23 px = 2x 1 =3integrabile in senso improprio (1 =3 r. La circonferenza ha equazionex2 + (yR)2 =r2 . Spezziamo ora nella semicirconferenza superiore 0 e nella semicirconferenza inferiore 00 , come in gura:Allora 0 ha equazioney=R+pr 2 x2 e 00 ha equazioney=Rpr 2 x2 . Siano 0 e 00 le super ci di rotazione generate da queste due semicirconferenze. Allora, si ha V0 =Z r r( R+pr 2 x2 )2 dxeV 00 =Z r r( Rpr 2 x2 )2 dx : 14y x r rR 0 00 Quindi, il volume del toro  e V= V 0 V 00 =Z r r( R+pr 2 x2 )2 dxZ r r( Rpr 2 x2 )2 dx =Z r rh (R+pr 2 x2 )2 (Rpr 2 x2 )2i dx =Z r r( R+pr 2 x2 R+pr 2 x2 )(R+pr 2 x2 +Rpr 2 x2 ) dx = 4RZ r rpr 2 x2 dx = 4R x2 pr 2 x2 +r 22 arcsin xr  r r = 4Rr 22 ossiaV= 2 2 Rr2 : Analogamente, si ha A0 = 2rZ r rR +pr 2 x2p r 2 x2d xeA 00 = 2rZ r rR pr 2 x2p r 2 x2d x : Quindi, l'area del toro eA= A 0 A 00 = 2rZ r rR +pr 2 x2p r 2 x2d x+ 2rZ r rR pr 2 x2p r 2 x2d x = 2rZ r r2 Rp r 2 x2d x = 4RZ r r1p 1 (x=r)2d x = 4Rh rarcsinxr i r r = 4R r ossiaA= 4 2 Rr : 8. Utilizzando le formule date, si ha A= 2 Z b af (x)p1 + f0 (x)2 dx= 2 1L Z b af (x)p1 + f0 (x)2 dx! L = 2  y bL : 9. Si haE(0) =K(0) ==2 ,E(1) = 1 . L'integraleK(1) diverge, ossiaK(x)!+1perx!1 . 10. Postot= sinx, si ha dt= cosxdx=p1 sin2 xdt=p1 t2 dx. Pertanto, gli integrali ellittici K(x) edE(x) diventano K(x) =Z 1 01p 1 xt2d tp 1 t2=Z 1 0d tp (1 t2 )(1xt2 ) 15 E (x) =Z 1 0p1 xt2d tp 1 t2=Z 1 0r1 xt21 t2d t : 11. La lunghezza dell'arco di sinusoide considerato e L =Z  0p1 + cos 2 xdx=Z  0p2 sin2 xdx=p2 Z  0r1 12 sin 2 xdx =p2 Z =2 0r1 12 sin 2 xdx+p2 Z  =2r1 12 sin 2 xdx : Postot=x, si ha dt=dxe il secondo integrale diventa Z =2r1 12 sin 2 xdx=Z 0 =2r1 12 sin 2 (t+) dt=Z =2 0r1 12 sin 2 tdt : Pertanto, si haL = 2p2 E(1=2): 12. Per simmetria, la lunghezzaLdell'ellisse in questione e quattro volte la lunghezzaL0 dell'arco di equazioney=bp1 x2 =a2 , conx2[0; a] . Postok=b=a, si ha L0 =Z a 0r1 + k 2 x2a 2 x2d x=Z a 0ra 2 (1k2 )x2a 2 x2d x=Z a 0s1 (1k2 )x2 =a21 x2 =a2d x : Postot=x=a, si ha dx=adte L0 =aZ 1 0r1 (1k2 )t21 t2d t=aE(1k2 ): Quindi, la lunghezza dell'ellisse eL= 4a E 1b 2a 2 : 13. DerivandoE(x) rispetto ax, si ha E0 (x) =Z =2 0dd xp1 xsin2 #d#=Z =2 0 sin2 #2 p1 xsin2 #d # =12 xZ =2 0(1 xsin2 #)1p 1 xsin2 #d #=12 xZ =2 0 p1 xsin2 #1p 1 xsin2 #! d# ossiaE0 (x) =E (x)K(x)2 x: 16