Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Studio di funzioni

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Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano { IngegneriaEsercizi { Funzioni 1. Calcolare la derivata delle funzioni:(a)f(x) =12 ln tg x2 cos x2 sin 2 x (b)f(x) =px 2 +xln(px +p1 + x) 2. Dimostrare che la funzione f(x) = arctan1 x21 + x2+ arctan1 + x21 x2 e costante a tratti. 3. Mostrare che l'equazione2px 1 + px xpe xp 2 + e x= 0 possiede almeno una soluzione nell'intervallo [0;1] . 4. Mostrare che la funzionef(x) =2 (1 +x)ex1 + e x possiede esattamente uno zero sull'intervallo [0;1] . 5. Siaf:R!Rla funzione de nita da f(x) =1 + 3 x+ 4x21 + x2: (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagine dif. (c) Stabilire se i punti di esso difsono allineati. (d) Scrivere l'equazione della retta tangente perx= 1 e perx=1 . (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine dif, con resto secondo Peano. 6. Siaf:R!Rla funzione de nita da f(x) =r8 + x22 + 4 x2: (a) Mediante la de nizione, dimostrare chefe decrescente sull'intervallo (0;+1) . (b) Dimostrare che l'immaginef(I) dell'intervalloI= [2;1] e in intervallo chiuso e limitato. (c) Determinare l'immagine dif. 1 7. Sia f:R!Rla funzione de nita da f(x) =2 e x +x24 e x +x2: (a) Studiare la funzionef(senza studiare la derivata seconda). (b) Determinare l'immagine dif. (c) Determinare (se esistono) l'estremo inferiore e l'estremo superiore dif. (d) Dimostrare che l'equazionef(x) + (x1) ex = 0 possiede almeno una soluzione sull'intervallo [0;1] . (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine dif, con resto secondo Peano. 8. Siaf:R!Rla funzione de nita da earctan x1 + x2: (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagine dif. (c) Determinare (se esistono) l'estremo inferiore e l'estremo superiore dif. (d) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine dif, con resto secondo Peano. (e) Calcolare il limite L= lim x!0f (x)exf (x)xex cosx: 9. Siaf:R!Rla funzione de nita da f(x) =6 + x2p 1 + x2: (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagine dif. (c) Determinare (se esistono) l'estremo inferiore e l'estremo superiore dif. (d) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine dif, con resto secondo Peano. (e) Calcolare il limite L= lim x!0f (x)6ex + sin 6xf (2x)ex + ln(1 +x)5: 10. Studiare la funzionef:R!Rde nita da f(x) = 2xp1 + x2 ; 11. Siaf:R!Rla funzione de nita da f(x) = ex artgx : (a) Studiare la funzionef. 2 (b) Determinare l'immagine Idif. (c) Stabilire se la funzionef:R!Ie invertibile. In caso aermativo, disegnare il gra co della funzione inversab f:I!Re stabilire i punti in cui la funzioneb fe derivabile. In ne, calcolare (se esiste)b f0 (y 0) , dove y 0= f(x 0) e x 0= 1 . (d) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin troncato al terzo ordine dif, con resto secondo Peano. (e) Calcolare il limite L= lim x!0f (x)1cos xsinxln(1x)f(x): 12. Studiare la funzionef:R!Rde nita da f(x) = ex x2 2x+ 1: 13. Siafla funzione de nita da f(x) = 2p3 x2 ln(2p3 x2 ): (a) Determinare il campo di esistenza dif. (b) Dimostrare che l'immagine dife un intervallo chiuso e limitato. (c) Studiare la funzionef(senza studiare la derivata seconda). (d) Dedurre il numero minimo di punti di esso della funzionef. (e) Determinare l'immagine dif. 14. Siaf: [0;+1)!Rla funzione de nita da f(x) =8 < :x + lnxx lnxper x >0 perx= 0: (a) Dimostrare che la funzione e ben de nita per ognix >0 . (b) Determinare il valore del parametroin modo che la funzionefsia continua (da destra) nel puntox 0= 0 . (c) Stabilire se esistono dei valori del parametroin corrispondenza dei quali la funzionefe derivabile (da destra) nel puntox 0= 0 . (d) Studiare la funzionef(senza studiare la derivata seconda). (e) Dedurre il numero minimo di punti di esso della funzionef. (f ) Determinare l'immagine dif. (g) Determinare l'immagine dell'intervalloI= [e;+1) . 3 Soluzioni 1. (a) Usando le proprieta delle derivate, si haf0 (x) =12  ln tgx2  0 12  cosxsin 2 x 0 =14 1tg x2 1cos 2 x2 12 sin3 x2 sinxcos2 xsin 4 x =14 cos 2 x2 sin x2 1cos 2 x2 12 sin2 x2 cos2 xsin 3 x =12 12 sin x2 cos 2 x2 + 12 1 + cos 2 xsin 3 x =12 1sin x+ 12 1 + cos 2 xsin 3 x =12 sin 2 x+ 1 + cos2 xsin 3 x =12 2sin 3 x; ossiaf0 (x) =1sin 3 x: (b) tenuto conto che la funzione e de nita perx0 , si ha f0 (x) =2 x+ 12 px 2 +x 1p x +p1 + x 12 px + 1p 1 + x =2 x+ 12 px 2 +x 1p x +p1 + xpx +p1 + x2 px p1 + x =2 x+ 12 px 2 +x 12 px 2 +x =2 x2 px 2 +x; ossiaf0 (x) =xp x 2 +x=rx x + 1: 2. La funzionefe de nita solo perx6 =1 . Pertanto, il suo campo di esistenza D= (1;1)[(1;1)[(1;+1) si spezza in tre intervalli disgiunti. La derivata prima difef0 (x) = 0 per ognix2D. Pertanto, la funzionefe costante su ognuno dei tre intervalli in cuiDsi spezza. Poichef(0) = 2 artg 1 =2 e lim x!(1)f (x) = lim x!1+f (x) =2 ; si haf(x) =( 2 per 1< x 0 eF(1) =12 pe p 2+e = p2+e 2pe 2 p2+e < 0 . Quindi, per il teorema degli zeri, la funzioneFpossiede almeno uno zero sull'intervallo (0;1) , ossia l'equazioneF(x) = 0 possiede almeno una soluzione nell'intervallo (0;1) . 4. La funzionef: [0;1]!Re continua. Inoltre, si haf(0) =12 > 0 ef(1) = 2(1e)1+e < 0 . Quindi, per il teorema degli zeri, la funzionefpossiede almeno uno zero sull'intervallo (0;1) . Poiche la derivata prima dife f0 (x) =(4 + x+ ex ) ex(1 + e x )2; la funzionefe strettamente decrescente su tutto l'intervallo [0;1] . Di conseguenza, fpossiede esattamente uno zero sull'intervallo (0;1) . 5. (a) i. Segno dif: poiche il numeratore e il denominatore sono sempre positivi, si haf(x)0 per ognix2R. In particolare,f(0) = 1 . ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim x!1f (x) = 4: Pertanto, la funzione ammette la retta di equazioney= 4 come asintoto orizzontale perx! 1. iii. Derivata prima e derivabilita dif: si ha f0 (x) =3(1 + 2 xx2 )(1 + x2 )2: La funzione e derivabile su tuttoR. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo dif: si ha f0 (x)0 sse 1 + 2xx2 0 ssex2 2x10 sse 1p2 x1 +p2 . Pertanto, la funzione possiede un minimo (assoluto) perx= 1p2 e un massimo (assoluto) perx= 1 +p2 . Piu precisamente, il massimo e m 1p2 ;5 3p2 2  e il massimo eM 1 +p2 ;5+3p2 2  . v. Derivata seconda dif: si ha f00 (x) =6(1 3x3x2 +x3 )(1 + x2 )3=6(1 + x)(14x+x2 )(1 + x2 )3: vi. Segno della derivata seconda, concavita e essi dif: si haf00 (x)0 sse (1 +x)(14x+x2 )0 sse1x2p3 o x2 +p3 . Quindi, la funzione presenta concavita rivolta verso l'alto per1< x 2 +p3 , mentre presenta concavita rivolta verso il basso per x 0 . Per il teorema degli zeri, esiste almeno un puntox 02 (0;1) tale cheF(x 0) = 0 , ossia tale che f(x 0) + ( x 0 1) ex 0 = 0 . (e) Lo sviluppo di MacLaurin troncato al secondo ordine dif, con resto secondo Peano, e f(x) =f(0) +f0 (0)x+f 00 (0)2 x 2 +o(x2 ): La derivata seconda dife f00 (x) =2(4(2 4x+x2 )ex 6x2 + 4x3 x4 ) ex(4e x +x2 )3: Pertanto, si haf(0) = 1=2 ,f0 (0) = 0 ,f00 (0) = 1=4 e f(x) =12 + x 28 + o(x2 ): 8. (a) i. Segno dif: si haf(x)0 per ognix2R. In particolare,f(0) = 1 . ii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim x!1f (x) = 0: Pertanto, la funzione ammette la retta di equazioney= 0 come asintoto orizzontale perx! 1. iii. Derivata prima e derivabilita dif: si ha f0 (x) =(1 2x) eartg x(1 + x2 )2: La funzione e derivabile su tuttoR. iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo dif: si haf0 (x) 0 sse 12x0 ssex1=2 . Pertanto, la funzione possiede un massimo (assoluto) perx= 1=2 . Piu precisamente, il massimo eM 12 ;45 eartg 12  . 8y x 21 1 2 v. Derivata seconda di f: si ha f00 (x) =(6 x2 6x1) eartg x(1 + x2 )3: vi. Segno della derivata seconda, essi e concavita dif: si haf00 (x)0 sse 6x2 6x10 ssex3 p5 6 o x3+p5 6 . Pertanto, la concavita e rivolta verso l'alto perx 3+p15 6 , ed e rivolta verso il basso per3 p15 6 < x ln 2 , mentre presenta concavita rivolta verso il basso perx 0()( x2 30 p3 x2 0: Pertanto, il campo di esistenza difeD= [p3 ;p3] . (b) Poichefe una funzione continua de nita su un intervalloDchiuso e limitato, la sua immagine e un intervallo chiuso e limitato (per il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi). (c) i. Simmetrie dif: la funzione e pari. Basta studiarla sull'intervallo [0;p3] . ii. Segno dif: poichex >lnxper ognix >0 , si haf(x)>0 per ognix2D. In particolare, si haf(0) = 2p3 ln(2p3) '1:59 e f(p3) = 2 ln 2'1:31 . Pertanto, si haf(0)> f(p3) . iii. Derivata prima e derivabilita dif: si ha f0 (x) =(1 +p3 x2 )xp 3 x2 (2p3 x2 ): La funzione e derivabile su tutto l'intervallo (p3 ;p3) , tranne che agli estremi. In particolare, si ha lim x!(p3) f 0 (x) = +1e lim x!(p3) +f 0 (x) =1: Pertanto, nei puntix 1;2= p3 la tangente e verticale. 17y x 2 3 2 112F ln 2 iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f: si ha f0 (x)0 sse (1 +p3 x2 )x0 ssep2 x0 ep2 x p3 . Quindi, la funzione possiede due minimi (assoluti) per x=p2 e un massimo (assoluto) perx= 0 . Piu precisamente, il massimo eM(0;2) e i minimi sonom 1;2 (p2 ;1) . v. Gra co dif:(d) Dal gra co della funzione, si ha che il numero minimo di essi e due. (e) Dal gra co della funzione, si ha che Imf= [1;2p3 ln(2p3)] . 14. (a) Poiche il denominatore non si annulla mai, essendox >lnxper ognix >0 , la funzione e ben de nita per ognix >0 . (b) Anche la funzionefsia continua (da destra) nel puntox 0= 0 , si deve avere =f(0) = lim x!0+f (x) = lim x!0+x + lnxx lnx= 1: (c) Se la funzionefe derivabile (da destra) nel puntox 0= 0 , allora e anche continua (da destra) inx 0= 0 e quindi =1 . Ora, anchefsia derivabile (da destra) inx 0= 0 , il seguente limite deve esistere ed essere nito: lim x!0+f (x)f(0)x = lim x!0+1x  x+ lnxx lnx+ 1 = limx!0+2x lnx+ 1 = 0 : Pertanto, la funzionefe derivabile (da destra) inx 0= 0 e f0 (0) = 0 . (d) i. Segno dif: poichex >lnxper ognix >0 , si haf(x)>0 sse lnx x ssex , dove e un opportuno numero reale compreso tra 0 e 1 . ii. Limiti agli estremi e asintoti: poiche si ha lim x!+1f (x) = 1; la funzione ammette la retta di equazioney= 1 come asintoto orizzontale perx!+1. 18y xF 1F 2 p3p 312 p3 ln(2p3) 2 ln 2 iii. Derivata prima e derivabilita di f: la funzione e derivabile su tutto l'intervallo [0;+1) e si ha f0 (x) =8 < :2(1 lnx)( xlnx)2per x >0 0 perx= 0: iv. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo dif: perx >0 , si haf0 (x)0 sse 1lnx0 ssexe . Quindi, la funzione possiede un minimo (assoluto) perx= 0 e un massimo (assoluto) perx= e . Piu precisamente, il minimo em(0;1) e il massimo eM e;e+1e 1 v. Gra co dif:(e) Il numero minimo di punti di esso della funzione fe 2 . (f ) L'immagine dife Imf=h 1;e+1e 1i . (g) L'immagine dell'intervalloI= [e;+1) ef(I) = 1;e+1e 1i . 19y x 11 ee+1 e 11 F 1F 2