Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Esercizi in preparazione alla prima prova in itinere

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Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano { IngegneriaPreparazione al primo compito in itinere 1. Risolvere nel campo complesso l'equazionejzj2 z2 = 4z 2 . 2. Siafla funzione a valori complessi de nita da f(z) =z 3 +zz 2 (2i)z+ 3i per ogniz2D, doveD= Dom(f)C. (a) Determinare il campo di esistenzaDdif. (b) Determinare gli zeri dif. (c) Determinare i punti ssi dif. (d) Calcolaref(z 0) , dove z 0= e12 ln 2 i4 . 3. Si considerino le trasformazioni T:C!C;doveT(z) =z+ 3 + i R:C!C;doveR(z) =1 + ip 2 z D:C!C;doveD(z) = 3z : (a) Riconoscere le trasformazioniT,ReDnel piano di Gauss. (b) Stabilire se le tre trasformazioni date commutano tra di loro.(c) SiaA=fz2C: 1 jzj 2;argz==4g. Disegnare nel piano di Gauss l'insieme Ae i suoi trasformatiT(A) ,R(A) eD(A) . 4. Fissato2[0;2] , siaR : C!Cla trasformazione de nita daR ( z) =ei  zper ogni z2C. Sia A=fz=ei ' 2C:3 22 + 20;cos 2'= 0g: Determinare i valori del parametroper i qualiR ( A) =A. 5. Utilizzando la de nizione, dimostrare che la funzionef:R!Rde nita da f(x) =x +x31 + 6 x2 +x4 e limitata. 6. Utilizzando la de nizione, dimostrare che la funzione coshxe decrescente sull'intervallo (1;0) . 7. Calcolare i limiti L1= lim n!+1n p2 n + 3n L2= lim n!+1n r2 n + 5n3 n + 4n L3= lim n!+1n r2 n + lnn3 n +enL 4= lim n!+1n s 2n n : 8. Determinare l'immagine della funzionef:R!Rde nita da f(x) =1 + x21 + x+x2 per ognix2R. 1 9. Si consideri la funzione f: [0;e 1 ]!Rde nita da f(x) =8 < :r1 + ln xln xper 0 < xe 1 1 perx= 0: (a) Veri care che la funzionefe de nita su tutto l'intervallo [0;e 1 ] . (b) Stabilire se la funzionefe continua su tutto l'intervallo [0;e 1 ] . (c) Stabilire se la funzionefe derivabile su tutto l'intervallo [0;e 1 ] . (d) Determinare l'immagine dif. 10. Si consideri la funzionef:R!Rde nita da f(x) =x 2 ex1 + x2 ex per ognix2R. (a) Studiare la funzionef(senza studiare la derivata seconda). (b) Determinare l'immagineIdif. (c) In base allo studio precedente, stabilire il numero minimo di essi che la funzione deveavere. (d) Dimostrare che la funzionefe localmente invertibile inx 0= 1 e calcolare la derivata prima della funzione inversab finy 0= f(x 0) . 11. Si consideri la funzionef:D!Rde nita da f(x) =e xpe x 1 per ognix2D, doveD= Dom(f) . (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagineIdif. (c) Stabilire se la funzionef:D!Ie invertibile. (d) Scrivere lo sviluppo di Taylor della funzionef, centrato inx 0= 1 , troncato al secondo ordine, con resto secondo Peano. 12. Si consideri la funzionef:D!Rde nita da f(x) =e xpe 2 x 1 per ognix2D, doveD= Dom(f) . (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagineIdif. (c) Stabilire se la funzionef:D!Ie invertibile. In caso aermativo, disegnare il gra co qualitativo della funzione inversab f:I!D. In ne, se possibile, determinare esplicitamente la funzioneb f. 13. Si consideri la funzionef:D!Rde nita da f(x) =e xpx 2 e2 x + 1 per ognix2D, doveD= Dom(f) . (a) Studiare la funzionef. (b) Determinare l'immagineIdif. 2 (c) Stabilire se la funzione fe invertibile. (d) Stabilire se la funzionefe invertibile in un opportuno intorno dix 0= 0 . (e) Scrivere lo sviluppo di Taylor della funzionef, centrato inx 0= 0 , troncato al secondo ordine, con resto secondo Peano. (f ) Calcolare il limite L= lim x!0f (x)1 + sinxx sin(f(x)1): 14. Si consideri la funzionef:D!Rde nita da f(x) =x exp e 2 x + 1 per ognix2D, doveD= Dom(f) . (a) Studiare la funzionef(senza studiare la derivata seconda). (b) Determinare l'immagineIdif. (c) Stabilire se la funzionefe invertibile. (d) Stabilire se la funzionef: [0;+1)![0;+1) e invertibile. In caso aermativo, disegnare il gra co qualitativo della funzione inversab f: [0;+1)![0;+1) . 15. Calcolare i limiti L0= lim x!0artg(sin x)ln(cos x); L 1= lim x!0artg(sin x)ln(cos x); L 2= lim x!0artg(sin x)ln(cos x): 16. (a) Determinare il parametro2Rin modo che le funzioni f(x) =x  ex1 + px e g(x) =3 px (x+ex )3 + x2 siano asintoticamente equivalenti perx!+1. (b) Determinare il parametro2Rin modo che le funzioni f(x) =p1 + x4 tg(x2 ) eg(x) =x artg(ex 1) cosx siano asintoticamente equivalenti perx!0+ . (c) Determinare il parametro2Rin modo che le funzioni f(x) =p3 ( x1) lnxeg(x) =px 2 +x2 siano asintoticamente equivalenti perx!1+ . 17. Calcolare i limiti (a)L= lim x!0e x 2p1 + x+p1 + x2e 2 x cosxln(1 + 2x) (b)L= lim x!0x ex 2 ln(1 +x) +x2x2( ex p1 + 2 x)(cosxp1 x) (c)L= lim x!0( p1 x2p1 2x+p1 3x)(px + 12px + 4 +px + 9)( ex e2 x )(ln(1 +x)2 ln(1 + 2x) + ln(1 + 3x)) 18. Si consideri la funzionef: [1; =4]!Rde nita da f(x) =8 > > > < > > > :e x 1xx ln(1 +x)se 1x 0 per ognix2R. In particolare, si haf(0) = 1 . iii. Limiti agli estremi e asintoti: si ha lim x!+1f (x) = lim x!+1x exe x= + 1 lim x!1f (x) = lim x!11e x= + 1: Non ci sono asintoti orizzontali. Inoltre, si ha lim x!+1f (x)x = lim x!+1x exx ex= 1 lim x!+1( f(x)x) = lim x!1px 2 e2 x + 1xexe x= lim x!11e x (px 2 e2 x + 1 +xex )= 0 : Pertanto, la funzione ammette la retta di equazioney=xcome asintoto obliquo perx!+1. In ne, si haf(x)e x perx! 1, e quindi non possiede asintoto obliquo. iv. Derivata prima e derivabilita dif: si ha f0 (x) =e x (xe2 x 1)p x 2 e2 x + 1: La funzione e derivabile su tuttoR. 12y x1 1 v. Segno della derivata prima e punti di massimo e di minimo di f: si haf0 (x)0 ssexe2 x 10 , ossia ssexe 2x . Dal confronto gra co delle due funzioni y=xey=e 2xsi vede che xe 2x ssex, dovee un numero reale compreso tra 0 e 1 . Pertanto, la funzione possiede un punto di minimo (assoluto) inm(;p +2 ) . vi. Derivata seconda dif: si ha f00 (x) =e x (1 + (1 + 2x+ 2x2 )e2 x )( x2 e2 x + 1)3 =2: vii. Segno della derivata seconda e essi dif: si dimostra facilmente chef00 (x)0 per ognix2D. Quindi, la funzione ha concavita sempre rivolta verso l'alto. viii. Gra co dif:(b) Dallo studio precedente della funzione f, si haI= Imf= [p +2 ;+1) . (c) La funzionefnon e invertibile (non e iniettiva in un intorno del minimo). (d) In un intornoU= (; ) dix 0= 0 , con  < , si haf0 (x)