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Energy Engineering - Analisi e geometria 2

Full exam

Analisi e Geometria 2 - 19 Luglio 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportati. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non devono essere conseg- nati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1.Siaf k: R3 −→R3 la trasformazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice Ak=  − 3 0k 0−5 0 −4 0 3  k∈R. a) Determinare, al variare dik, la dimensione ed una base sia dell’immagine sia del nucleo dif k; dire per quali valori di kla trasformazione `e suriettiva, iniettiva, biiettiva. b) Per quali valori dikesiste una base ortonormale diR3 di autovettori perf k? Nel caso, trovarla. Soluzione.Riduciamo la matriceA kper righe, effettuando l’operazione R 3→ R 3−4 3 R 1, ed otteniamo  -3 0k 0 -5 0 −4 0 3−4 3 k  , con gli elementi speciali in riquadro. Se 3−4 3 k 6 = 0, allorar(A k) = 3, altrimenti r(A k) = 2. In conclusione, essendo dim(Im(f k)) = r(A k), abbiamo che dim(Im(f k)) = 3 sek6 =9 4 2 sek=9 4. Dal Teorema del Rango, si ha che dim(ker(f k)) = 0 sek6 =9 4 1 sek=9 4. Sapendo chef k`e iniettiva se, e solo se, dim( ker(f k)) = 0 ed `e suriettiva se, e solo se, dim(Im(f k)) = dim( R3 ) = 3, ed `e invertibile se, e solo se, si verificano entrambe le condizioni, possiamo affermare che le tre propriet`a sono vere se, esolo se,k6 =9 4 . Per quanto riguarda le basi dell’immagine, prendiamo le colonne su cui compaiono gli elementi speciali, e quindi, sek6 =9 4 ,una base `e BIm(f k)= (( −3,0,−4),(0,−5,0),(k,0,3)), mentre, sek=9 4 , allora una base `e BIm(f k)= (( −3,0,−4),(0,−5,0)). Per quanto riguarda il nucleo, sek6 =9 4 , allora B ker(f k)= ∅. Perk=9 4 , dobbiamo risovere il sistema lineare omogeneo −4x+ 3z= 0 y= 0 ottenuto prendendo le ultime due righe diA k. Le soluzioni del sistema sono t(3,0,4) con t∈R, e quindi una base `e Bker(f k)= ((3 ,0,4)). fk`e diagonalizzabile ortogonalmente se, e solo se, f k`e simmetrico, ossia la matrice associata adf krispetto ad una base ortonormale (come la base canonica, visto che usiamo il prodotto scalare euclideo) `e simmetrica. L’unico valore per cuiA k`e simmetrica `e k=−4. Per tale valore, il polinomio caratteristico `ep(t) = det(A −4− tI) =−(t+5)2 (t−5) e quindi gli autovalori sonot 1= −5 conm(−5) = 2, et 2= 5, con m(5) = 1. Con facili calcoli, una base ortonormale diV(5) `e ~e1= 1 √5, 0,−2 √5 , mentre una base ortonormale diV(−5) `e ~e2= (0 ,1,0), ~e 3= 2 √5, 0,1 √5 . Una base ortonormale diR3 di autovettori dif −4`e allora ( ~e 1, ~e 2, ~e 3). Esercizio 2.Classificare i punti stazionari, trovando i massimi e minimi locali e globali della funzione f(x, y) =xy2 (x+y−2). Soluzione.Essendo un polinomio,f`e di classeC∞ (R2 ) e quindi possiamo applicare le condizioni sufficienti per lo studio dei punti stazionari. Inoltre,f(2, y) = 2y3 e quindi Im(f) =R. In conclusione,fnon ha massimi e minimi assoluti. Per il calcolo dei punti stazionari, calcoliamo il gradiente:∇(f) = (2xy2 +y3 −2y2 )~ i+ (2x2 y+ 3xy2 −4xy)~ je quindi risolviamo il sistema y2 (2x+y−2) = 0 xy(2x+ 3y−4) = 0. Ovviamente, sey= 0, entrambe le equazioni sono soddisfatte, e quindi otteniamo che tutti i punti di coordinate (x,0), x∈R, sono stazionari. Posto quindiy6 = 0, il sistema si spezza come x= 0 2x+y−2 = 0 2x+ 3y−4 = 0 2x+y−2 = 0. Il primo ha l’unica soluzioneA(0,2), il secondo l’unica soluzioneB(1 2 , 1). La matrice hessiana `e simmetrrica per il Teorema di Schwarz, applicabile visto chef∈C∞ (R2 ),ed `e H(f) = 2y2 4xy+ 3y2 −4y 4xy+ 3y2 −4y2x2 + 6xy−4x . Valutata nei punti stazionari, diventaH(f)(x,0) = 0 0 0 2x2 −4x H(f)(A) = 8 4 4 0 H(f)(B) = 2 1 13 2 . La prima `e semidefinita e quindi non ci d`a informazioni, la seconda `enon definita in segno, essendo det(H(f)(A)) 1, ossia seα >3 2 . Quindi, la serie data converge assolutamente se α >3 2 . Resta il caso1 2 < α ≤3 2 , in cui sappiamo che a n`e infinitesimo e positivo. Per usare il Teorema di Leibniz, dobbiamo verificare la decrescenza dia n. La funzioneg(x) =√ x x α +ln(x)`e definita, continua e derivabile con derivata continua in [1,+∞), ed ha la propriet`a chea n= g(n). Calcoliamo la derivata prima dig(x). Con le regole opportune, otteniamo g′ (x) =ln( x) + (1−2α)xα −2 2√ x (xα + ln(x))2 e quindig(x) `e decrescente se ln(x)2, diverge positi- vamente seβ≤2. Esercizio 4.Dato il campo vettoriale ~ F(x, y, z) =z3 ~ i+xyz~ j+ 3xy2 ~ k, si calcoli il flusso di~ Fuscente dalla superficie che delimita il solido Ω ={(x, y, z)∈R3 :x≥0, y≥0, x+ 7y≤2,0≤z≤3}. Soluzione.Usiamo il Teorema della divergenza per calcolare il flusso di~ Fuscente da +∂Ω. Quindi abbiamo Φ =Z Z +∂Ω~ F·~ N dσ=Z Z Z Ωdiv( ~ F)dxdydz. Il solido Ω si descrive comeΩ ={(x, y, z)∈R3 |(x, y)∈T ,0≤z≤3}, conT= (x, y)∈R2 |0≤x≤2,0≤y≤2 −x 7 , mentre, con calcoli immediati, div(~ F) =xz. Il flusso cercato `e allora Φ =Z Z TxdxdyZ 3 0zdz =9 2Z 2 0xdxZ (2−x)/7 0dy = =9 14Z 2 0(2 x−x2 )dx=9 14 x2 −1 3x 3 2 0 = 6 7. Il flusso poteva anche essere calcolato usando la definizione attraverso i tre rettangoli ed i due triangoli che costituiscono +∂Ω, ma il calcolo risulta molto pi`u lungo, anche se non pi`u difficile. In questo secondo svolgimento, si osserva che i flussi attraverso le due basi triangolari del prisma Ω sono opposti, e quello attraverso il rettangolo contenuto nel piano y= 0 `e nullo. Restano quindi da calcolare i flussi attraverso due solirettangoli. Analisi e Geometria 2 - 28 Giugno 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportati. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non devono essere conseg- nati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 2 Esercizio 1.Siaf k: R3 −→R3 la trasformazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice Ak=  − 3 0 4 0 5 0 k0 3  k∈R. a) Determinare, al variare dik, la dimensione ed una base sia dell’immagine sia del nucleo dif k; dire per quali valori di kla trasformazione `e suriettiva, iniettiva, biiettiva. b) Per quali valori dikesiste una base ortonormale diR3 di autovettori perf k? Nel caso, trovarla. Esercizio 2.Classificare i punti stazionari, trovando i massimi e minimi locali e globali della funzionef(x, y) =xy2 (y−x−2). Esercizio 3.a) Dire per quali valori diα∈R+ la serie +∞ X n=1( −1)n√ n n α + lnn converge assolutamente o semplicemente. b) Dire per quali valori diβ∈R+ la serie +∞ X n=1(2 n)! (n!)β converge. Esercizio 4.Dato il campo vettoriale ~ F(x, y, z) =z3 ~ i+xyz~ j+ 3xy2 ~ k, si calcoli il flusso di~ Fuscente dalla superficie che delimita il solido Ω ={(x, y, z)∈R3 :x≥0, y≥0, x+ 7y≤3,0≤z≤2} Analisi e Geometria 2 - 28 Giugno 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportati. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non devono essere conseg- nati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili. Esercizio 2.Data la funzionef(x, y) definita in un apertoA⊆R2 , definire cosa vuol dire chef`e differenziabile in (x 0, y 0) ∈A, e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico difin (x 0, y 0, f (x 0, y 0)). Dimostrare poi che, se f`e differenziabile in (x 0, y 0) ∈A, alloraf`e continua in (x 0, y 0). Analisi e Geometria 2 - 28 Giugno 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportati. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non devono essere conseg- nati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 2 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare il teorema di caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili. Esercizio 2.Data la funzionef(x, y) definita in un apertoA⊆R2 , definire cosa vuol dire chef`e differenziabile in (x 0, y 0) ∈A, e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico difin (x 0, y 0, f (x 0, y 0)). Dimostrare poi che, se f`e differenziabile in (x 0, y 0) ∈A, alloraf`e continua in (x 0, y 0).