Energy Engineering - Analisi e geometria 2

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Analisi Geometria 2 - 2 Maggio 2016 Svolgimento a cura di R.Notari.Versione 1 Tutte le risposte devono essere motivate ed i calcoli riportati. Esercizi Esercizio 1.SiaF:R3 →R3 l’applicazione lineare che sui vettorie 1, e 2, e 3della base canonica diR3 `e definita da F(e 1) = e 1+ e 2+ 2 e 3, F (e 2) = −2e 3, F (e 3) = e 3. (a) Scrivere la matriceA=M C,C( F) che rappresentaFrispetto alla base canonicaC (fissata sia nel domino sia nel codominio). (b) Determinare una base per il nucleo ker(F) diFe una base per l’immagine Im(F) diF. Studiare l’iniettivit`a, la suriettivit`a e l’invertibilit`a diF. Calcolare la dimensione del sottospazio diR3 che `e l’intersezione tra il nucleo di Fe l’immagine diF. (c) Stabilire se la matriceA`e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonaleDe una matrice invertibileHtali cheA=H DH− 1 . Soluzione.Le immagini dei vettori diCpossono essere facilmente scritte in componenti rispetto aCed abbiamo [F(e 1)] C=  1 1 2  [F(e 2)] C=  0 0 −2  [F(e 3)] C=  0 0 1  . Quindi,A=M C,C( F) =  1 0 0 1 0 0 2 −2 1  . PostoX= [v] C, i vettori del nucleo sono tutti e soli quelli le cui componentiXrisolvono il sistema lineare omogeneoAX= 0. Riducendo la matrice per righe con le operazioni elementariR 2− R 1→ R 2, R 3− 2R 1→ R 3, otteniamo la matrice  1 0 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0  . Quindi le soluzioni del sistemaAX= 0 sono X=  0 t 2t  , t∈R. Abbiamo allora che (e 2+ 2 e 3) `e una base del nucleo, e la dimensione del nucleo `e 1. Ne consegue cheFnon `e iniettiva. Il teorema del Rango fornisce dim(Im(F)) = 2, e visto cheF(e 2) , F(e 3) sono linear- mente dipendenti, una base dell’ immagine diF`e (F(e 1) , F(e 2)). Essendo Im( F)6 =R3 , Fnon `e suriettiva. Fnon `e invertibile, non essendo n´e iniettiva, n´e suriettiva. Calcoliamo una base di ker(F) + Im(F), scrivendo le componenti dei vettori delle basi dei due sottospazi in un’unica matrice. Otteniamo quindi 1 0 0 1 0 1 2 −2 2  . Scambiando la seconda e la terza colonna, otteniamo una matrice ridotta per colonne, e quindi dim(ker(F) + Im(F)) = 3. La formula di Grassmann fornisce allora dim(ker(F)∩ Im(F)) = 0 e quindi l’intersezione dei due sottospazi `e il sottospazio nullo. Osserviamo che gli stessi calcoli fatti forniscono che la somma dei due sottospazi `e diretta. Infine, il polinomio caratteristico diF`ep(t) = det(A−tI) =−t(1−t)2 , e quindi le radici sonot 1= 0 , t 2= 1. Essendo entrambe reali, sono entrambi autovalori di F. Le molteplicit`a sonom(0) = 1, m(1) = 2, rispettivamente, e quindi dim(V(0)) = 1. Tra l’altro,V(0) = ker(F) e quindi una base diV(0) `e (e 2+ 2 e 3). Le componentiXdei vettori diV(1) si calcolano risolvendo il sistema lineare omogeneo (A−I)X= 0 ossia  0 0 0 1 −1 0 2−2 0 0 0 0  le cui soluzioni sonoX=  u u v  , u, v∈R. Una base diV(1) `e allora (e 1+ e 2, e 3). Essendo anche dim( V(1)) = 2, alloraF`e diago- nalizzabile, e una matrice che diagonalizzaA`e H=  0 1 0 1 1 0 2 0 1  . Per tale scelta diH, la matrice diagonale che si ottiene `e D=  0 0 0 0 1 0 0 0 1  . Esercizio 2.Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′ −5y′ + 6y= 3ex . Soluzione.. L’equazione caratteristica dell’ equazione omogenea associata `ez2 −5z+6 = 0 le cui radici sonoz 1= 2 , z 2= 3 entrambe reali, e distinte tra loro. Quindi, l’equazione differenziale omogenea associata ha integrale generale yo= c 1e2 x +c 2e3 x , c1, c 2∈ R. z= 1 non risolve l’equazione caratteristica, e quindi cerchiamo una soluzione particolare dell’equazione completa nella formay p= Aex . Derivando, otteniamoy′ p= y′′ p= Aex . Sostituendo nell’ equazione differenziale data, otteniamo 2A= 3 ossiaA= 3/2. L’integrale generale dell’equazione differenziale completa `e allora y(x) =3 2e x +c 1e2 x +c 2e3 x . Esercizio 3.Siaf:R→Rla funzione 2π-periodica che sull’intervallo (−π, π] `e definita daf(x) = 2(x+|x|). (a) Disegnare il grafico difsull’intervallo [−2π,2π]. (b) Indicata conS fla serie di Fourier dif, stabilire per qualix∈Rla serieS f(x) converge puntualmente, precisandone l’eventuale limite. (c) Scrivere il polinomio di FourierS 1f (x) =a 0 2+ a 1cos x+b 1sin xdifdi ordine 1. Soluzione.Con facili calcoli, abbiamof(x) = 0 sex∈(−π,0), mentref(x) = 4xse x∈[0, π]. Prolungandola per periodicit`a in [−2π,2π], si ha il seguente grafico y x −2π− π0π 2π Figure 1.Grafico difin [−2π,2π] La funzionef`e continua in (−π, π) e presenta una discontinuit`a di prima specie in ±π. Con facili calcoli, si ha chef(−π− ) +f(−π+ ) =f(π− ) +f(π+ ) = 4π. Inoltre,f`e derivabile in (−π,0) con derivata nulla, e derivabile in (0, π) con derivata costante uguale a 4. Quindi, la derivata `e prolungabile per continuit`a sia in [−π,0], sia in [0, π] e quindi f`e regolare a tratti. Definiamo la funzione F(x) =   0 se −π < x 0, ef′ (x) = 5(12−x2 )/(12 +x2 )2 . Quindi,f′ (x)√ 12 e quindi la successione `e decrescente pern≥4. Per il Teorema di Leibniz, la serie data `e convergente.La serie presa in valore assoluto `eP n≥0b n. Ma, b n∼ 5/ne quindi la serie diverge per confronto con la serie armonica. Quindi, la serie data non converge assolutamente. Analisi Geometria 2 - 2 Maggio 2016Versione 2 Tutte le risposte devono essere motivate ed i calcoli riportati. Esercizi Esercizio 1.SiaF:R3 →R3 l’applicazione lineare che sui vettorie 1, e 2, e 3della base canonica diR3 `e definita da F(e 1) = e 1+ e 2+ 3 e 3, F (e 2) = −3e 3, F (e 3) = e 3. (a) Scrivere la matriceA=M C,C( F) che rappresentaFrispetto alla base canonicaC (fissata sia nel domino sia nel codominio). (b) Determinare una base per il nucleo ker(F) diFe una base per l’immagine Im(F) diF. Studiare l’iniettivit`a, la suriettivit`a e l’invertibilit`a diF. Calcolare la dimensione del sottospazio diR3 che `e l’intersezione tra il nucleo di Fe l’immagine diF. (c) Stabilire se la matriceA`e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonaleDe una matrice invertibileHtali cheA=H DH− 1 . Esercizio 2.Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′ −6y′ + 8y= 4ex . Esercizio 3.Siaf:R→Rla funzione 2π-periodica che sull’intervallo (−π, π] `e definita daf(x) = 3(x+|x|). (a) Disegnare il grafico difsull’intervallo [−2π,2π]. (b) Indicata conS fla serie di Fourier dif, stabilire per qualix∈Rla serieS f(x) converge puntualmente, precisandone l’eventuale limite. (c) Scrivere il polinomio di FourierS 1f (x) =a 0 2+ a 1cos x+b 1sin xdifdi ordine 1. Esercizio 4.Stabilire se la serie X n≥0( −1)n 4 n n2 + 20 (a) converge semplicemente; (b) converge assolutamente. Analisi Geometria 2 - 2 Maggio 2016Versione 3 Tutte le risposte devono essere motivate ed i calcoli riportati. Esercizi Esercizio 1.SiaF:R3 →R3 l’applicazione lineare che sui vettorie 1, e 2, e 3della base canonica diR3 `e definita da F(e 1) = e 1+ e 2+ 4 e 3, F (e 2) = −4e 3, F (e 3) = e 3. (a) Scrivere la matriceA=M C,C( F) che rappresentaFrispetto alla base canonicaC (fissata sia nel domino sia nel codominio). (b) Determinare una base per il nucleo ker(F) diFe una base per l’immagine Im(F) diF. Studiare l’iniettivit`a, la suriettivit`a e l’invertibilit`a diF. Calcolare la dimensione del sottospazio diR3 che `e l’intersezione tra il nucleo di Fe l’immagine diF. (c) Stabilire se la matriceA`e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonaleDe una matrice invertibileHtali cheA=H DH− 1 . Esercizio 2.Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′ −7y′ + 10y= 5ex . Esercizio 3.Siaf:R→Rla funzione 2π-periodica che sull’intervallo (−π, π] `e definita daf(x) = 4(x+|x|). (a) Disegnare il grafico difsull’intervallo [−2π,2π]. (b) Indicata conS fla serie di Fourier dif, stabilire per qualix∈Rla serieS f(x) converge puntualmente, precisandone l’eventuale limite. (c) Scrivere il polinomio di FourierS 1f (x) =a 0 2+ a 1cos x+b 1sin xdifdi ordine 1. Esercizio 4.Stabilire se la serie X n≥0( −1)n 3 n n2 + 24 (a) converge semplicemente; (b) converge assolutamente. Analisi Geometria 2 - 2 Maggio 2016Versione 4 Tutte le risposte devono essere motivate ed i calcoli riportati. Esercizi Esercizio 1.SiaF:R3 →R3 l’applicazione lineare che sui vettorie 1, e 2, e 3della base canonica diR3 `e definita da F(e 1) = e 1+ e 2+ 5 e 3, F (e 2) = −5e 3, F (e 3) = e 3. (a) Scrivere la matriceA=M C,C( F) che rappresentaFrispetto alla base canonicaC (fissata sia nel domino sia nel codominio). (b) Determinare una base per il nucleo ker(F) diFe una base per l’immagine Im(F) diF. Studiare l’iniettivit`a, la suriettivit`a e l’invertibilit`a diF. Calcolare la dimensione del sottospazio diR3 che `e l’intersezione tra il nucleo di Fe l’immagine diF. (c) Stabilire se la matriceA`e diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare una matrice diagonaleDe una matrice invertibileHtali cheA=H DH− 1 . Esercizio 2.Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′ −8y′ + 12y= 6ex . Esercizio 3.Siaf:R→Rla funzione 2π-periodica che sull’intervallo (−π, π] `e definita daf(x) = 5(x+|x|). (a) Disegnare il grafico difsull’intervallo [−2π,2π]. (b) Indicata conS fla serie di Fourier dif, stabilire per qualix∈Rla serieS f(x) converge puntualmente, precisandone l’eventuale limite. (c) Scrivere il polinomio di FourierS 1f (x) =a 0 2+ a 1cos x+b 1sin xdifdi ordine 1. Esercizio 4.Stabilire se la serie X n≥0( −1)n 2 n n2 + 28 (a) converge semplicemente; (b) converge assolutamente. Analisi e Geometria 2 - 2 Maggio 2016Teoria - Versione 1 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare il Teorema d’Interpolazione per le applicazioni lin- eari. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per le serie numeriche. Analisi e Geometria 2 - 2 Maggio 2016Teoria - Versione 2 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare il Teorema Spettrale. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare il criterio della radice per le serie numeriche. Analisi e Geometria 2 - 2 Maggio 2016Teoria - Versione 3 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare le condizioni equivalenti per la diagonalizzabilit`a di un’applicazione lineare. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz. Analisi e Geometria 2 - 2 Maggio 2016Teoria - Versione 4 Esercizio 1.Enunciare e dimostrare la formula per la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Esercizio 2.Dare la definizione di matrice invertibile e dimostrare che una matriceA`e invertibile se, e solo se, det(A)6 = 0. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016 Svolgimento a cura di R.Notari.Versione 1 Esercizio 1.Si consideri la funzionef(x, y) =x2 + 16y2 sul dominio D={(x, y)∈R2 :x2 −4xy+ 16y2 ≤16} delimitato dall’ellisse di equazionex2 −4xy+ 16y2 = 16. Si trovino e classifichino i punti stazionari dif. Si trovino poi il massimo e il minimo assoluti dif(x, y) nel dominioD. Soluzione.La funzionef`e un polinomio e quindi `e di classeC∞ (R2 ). Il suo gradiente `e ∇f= 2x~ i+ 32y~ je si annulla nel solo puntoO(0,0). La matrice hessiana dif`e H(f) = 2 0 0 32 e non dipende dal punto scelto. Essa `e definita positiva avendo 2 e 32 come autovalori. QuindiO`e punto di minimo locale perf, ef(O) = 0. Essendo poif(x, y)≥0 per ogni (x, y)∈R2 perch´e somma di quadrati, alloraO`e anche minimo assoluto perf. Osserviamo infine cheO∈Dperch´e le sue coordinate verificano la disequazione che definisceD. Calcoliamo ora i punti di minimo e massimo perfsu∂D. Osserviamo cheD`e chiuso e limitato, ossia compatto, e che quindifha inDmassimo e minimo assoluto per il Teorema di Weierstrass.Primo modo: usiamo i moltiplicatori di Lagrange. La funzione lagrangiana `e L(x, y, λ) =x2 + 16y2 +λ(x2 −4xy+ 16y2 −16). Derivando, otteniamo il sistema  2 x+λ(2x−4y) = 0 32y+λ(−4x+ 32y) = 0 x2 −4xy+ 16y2 −16 = 0 Le soluzioni di tale sistema sonoA(4,1), B(−4,−1), C(−4/√ 3 ,1/√ 3) , D(4/√ 3 ,−1/√ 3). f(A) =f(B) = 32, f(C) =f(D) = 32/3 e quindi max Df = 32, conA, Bpunti che lo realizzano, mentre minDf = 0 conOpunto che lo realizza. Secondo modo: parametrizziamo∂D. Sianoy=mxle rette per il centro di simmetria dell’ ellisse∂D. Esse la incontrano nei punti di coordinate  x(m) =±4 √16 m2 −4m+ 1, y (m) =±4 m √ 16m2 −4m+ 1 che quindi forniscono la parametrizzazione richiesta. Notiamo che se scegliamo il segno + otteniamo i punti del bordo del quarto e del primo quadrante, mentre se scegliamo il segnoo−, otteniamo quelli del secondo e del terzo quadrante. Infine, i punti (0,±1) intersezione del bordo con l’asseynon sono ottenibili dalla parametrizzazione scelta. Sostituendo nella funzione, otteniamo g(m) = 1616 m2 −1 16m2 −4m+ 1, la cui derivata `eg′ (m) = 641 −16m2 (16 m2 −4m+ 1)2. Essa si annulla inm=±1/4, che corrispondo ai puntiA, B, C, Ddello svolgimento precedente. Valutando la funzione nei punti precedenti ed in (0,±1) otteniamo ancora che il massimo sul bordo `e 32 ottenuto inA, B, mentre il minimo sul bordo `e 32/3 ottenuto inC, D. Terzo modo: Le curve di livello sono ellissi di equazionix2 + 16y2 =k. Il bordo diD`e un’ellisse con centro di simmetria coincidente con quello delle curve di livello, ma avente assi di simmetria ruotati rispetto agli assi coordinati. Si hanno minimi e massimi sul bordo quando le due ellissi sono tangenti. Mettendo a sistema le due equazioni, otteniamo  x2 + 16y2 =k x2 −4xy+ 16y2 = 16. Sostituendo, si ha 4xy=k−16 e quindi 4y= (k−16)/x. Sostituendo nella prima equazione, si ha x4 −kx2 + (k−16)2 = 0. Le due ellissi sono tangenti se il discriminante si annulla, e quindik2 −4(k−16)2 = 0 Le due soluzioni sonok= 32, k= 32/3 che danno i valori minimo e massimo della funzione fsu∂D. I punti in cui si realizzano tali valori si ottengono risolvendo il sistema. Esercizio 2.SiaPil parallelogramma P={(x, y)∈R2 : 2x≤y≤2x+ 5,−3x≤y≤15 2− 3x}. Si calcoli l’integrale doppioZ Z Pe 2 x−y dx dy. Soluzione.I vertici del parallelogramma sonoO(0,0), A(3/2,3), B(1/2,6), C(−1,3). Pos- siamo decomporre il dominioPin vari modi. Dominix–normali: in tal caso, i domini sono 3 e sono P1= {(x, y)∈R2 | −1≤x≤0,−3x≤y≤2x+ 5}, P2= {(x, y)∈R2 |0≤x≤1/2,2x≤y≤2x+ 5}, P3= {(x, y)∈R2 |1/2≤x≤3/2,2x≤y≤ −3x+ 15/2}. Dominiy–normali: in tal caso i domini sono P4= {(x, y)∈R2 |0≤y≤3,−y/3≤x≤y/2}, P5= {(x, y)∈R2 vert3≤y≤6,(y−5)/2≤x≤(15−2y)/6}. Cambio di variabili: 0≤u≤5,0≤v≤15/2, y= 2x+u, y=−3x+vda cui x=−1 5 u +1 5 v y=3 5 u +2 5 v det ∂(x, y) ∂(u, v) =1 5. L’integrale da calcolare diventaZ Z Pe 2 x−y dx dy=Z 15/2 0dvZ 5 01 5 e − u du=3 2(1 −e− 5 ). Esercizio 3.Data la superficie regolareS:x= 2 cos(u), y= sin(u) +v, z=v,(u, v)∈ [0,2π]×R, calcolare il piano tangenteαadSnel puntoA(−2,1,1). Determinare poi gli altri eventuali punti in cuiαintersecaS. Soluzione.Imponendo 2 cos(u) =−2,sin(u) +v= 1, v= 1,otteniamou=π, v= 1, e quindiA`e un punto della superficie. Il vettore normale ad piano tangente `e parallelo aP u∧ P v( π,1). Con facili calcoli, si haP u( π,1) =−~ j , Pv( π,1) =~ j+~ ke quindiP u∧ P v( π,1) =−~ i. In conclusione, il piano αha equazione−(x+ 2) = 0 ossiax=−2. Sostituendo le equazioni diSinαsi ha cos(u) =−1,ossiau=π. Quindi,α∩S:x=−2, y=v, z=ved `e quindi una retta. Esercizio 4.Sia dato il campo vettoriale~ Fk= kxy+1 x ~i+ x2 +1 y ~j, conk∈R, e sia dato l’arcoγdella parabolay=x2 −2x+ 2 percorso daB(2,2) adA(1,1). (1) Determinare i valori del parametro realekper cui~ Fkconservativo nel primo quadrante, e per tali valori calcolare un potenziale del campo. Sempre per tali valori dik, calcolareR γ~ Fk·~ t ds. (2) Postok= 0, calcolare Z γ~ F0·~ t ds. Soluzione.Il campo `e definito inR2 \ {(x, y)∈R2 vert xy= 0}ossia nel piano esclusi gli assi cartesiani. Ognuna delle 4 regioni ottenute `e un aperto semplicemente connesso, ed n particolare lo `e il primo quadrante, ovviamente assi esclusi. Quindi,~ Fk`e conservativo nel primo quadrante se, e solo se, ∂ ∂y kxy+1 x =∂ ∂x x2 +1 y ossia se, e solo se,kx= 2x. In conclusione,~ Fk`e conservativo nel primo quadrante solo sek= 2. SiaU(x, y) un suo potenziale sul primo quadrante. AlloraU y= x2 +1 y e quindiU=x2 y+ lny+c(x) (sia pu`o non usare il valore assoluto con il logaritmo perch´e y >0). Quindi,U x= 2 xy+c′ (x) = 2xy+1 x da cui c(x) = lnx. In conclusione, si haU(x, y) =x2 y+ lnx+ lny=x2 y+ ln(xy) avendo scelto il potenziale che si annulla nell’origine. Il lavoro richiesto `eR γ~ F2·~ t ds=U(A)−U(B) =−7−ln(4). Per il calcolo del secondo lavoro, si pu`o procedere in vari modi. Usiamo la definizione:γ:x(t) =t, y(t) =t2 −2t+ 2, tin[1,2]. Osserviamo che l’arco `e percorso in senso opposto a quello richiesto. QuindiZ γ~ F0·~ t ds=−Z 2 1~ F0( x(t), y(t))·P′ (t)dt. Decomponiamo il campo:~ F0=~ F2− 2xy~ ie quindi Z γ~ F0·~ t ds=U(A)−U(B)−Z γ2 xy~ i·~ tdt=−7−ln 4 +Z 2 12 t(t2 −2t+ 2)dt=−17 6 − ln 4. Osserviamo che~ F0=1 x~ i+1 y~ j+x2 ~ j. Il campo1 x~ i+1 y~ j`e conservativo sul primo quadrante con potenzialeV(x, y) = ln(xy). Si pu`o usare allora un argomento simile al precedente per calcolare il lavoro richiesto. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016Versione 2 Esercizio 1.Si consideri la funzionef(x, y) =x2 + 9y2 sul dominio D={(x, y)∈R2 :x2 −3xy+ 9y2 ≤9} delimitato dall’ellisse di equazionex2 −3xy+ 9y2 = 9. Si trovino e classifichino i punti stazionari dif. Si trovino poi il massimo e il minimo assoluti dif(x, y) nel dominioD. Esercizio 2.SiaPil parallelogramma P={(x, y)∈R2 : 4x≤y≤4x+ 3,−3x≤y≤9 4− 3x}. Si calcoli l’integrale doppioZ Z Pe 4 x−y dx dy Esercizio 3.Data la superficie regolareS:x=v, y= cos(u)−v, z= 2 sin(u),(u, v)∈ [0,2π]×R, calcolare il piano tangenteαadSnel puntoA(1,−1,2). Determinare poi gli altri eventuali punti in cuiαintersecaS. Esercizio 4.Sia dato il campo vettoriale~ Fk= y2 +1 x ~i+ kxy+1 y ~j, conk∈R, e sia dato l’arcoγdella parabolax=y2 −2y+ 2 percorso daB(2,2) adA(1,1). (1) Determinare i valori del parametro realekper cui~ Fkconservativo nel primo quadrante, e per tali valori calcolare un potenziale del campo. Sempre per tali valori dik, calcolareR γ~ Fk·~ t ds. (2) Postok= 0, calcolare Z γ~ F0·~ t ds. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016Versione 3 Esercizio 1.Si consideri la funzionef(x, y) = 16x2 +y2 sul dominio D={(x, y)∈R2 : 16x2 −4xy+y2 ≤16} delimitato dall’ellisse di equazione 16x2 −4xy+y2 = 16. Si trovino e classifichino i punti stazionari dif. Si trovino poi il massimo e il minimo assoluti dif(x, y) nel dominioD. Esercizio 2.SiaPil parallelogramma P={(x, y)∈R2 : 6x≤y≤6x+ 1,−3x≤y≤1 2− 3x}. Si calcoli l’integrale doppioZ Z Pe 6 x−y dx dy Esercizio 3.Data la superficie regolareS:x= 2v, y= sin(u), z= 2 cos(u) +v,(u, v)∈ [0,2π]×R, calcolare il piano tangenteαadSnel puntoA(2,−1,1). Determinare poi gli altri eventuali punti in cuiαintersecaS. Esercizio 4.Sia dato il campo vettoriale~ Fk= kxy+1 x ~i+ −x2 −1 y ~j, conk∈R, e sia dato l’arcoγdella parabolay=x2 −2x+ 2 percorso daB(2,2) adA(1,1). (1) Determinare i valori del parametro realekper cui~ Fkconservativo nel primo quadrante, e per tali valori calcolare un potenziale del campo. Sempre per tali valori dik, calcolareR γ~ Fk·~ t ds. (2) Postok= 0, calcolare Z γ~ F0·~ t ds. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016Versione 4 Esercizio 1.Si consideri la funzionef(x, y) = 9x2 +y2 sul dominio D={(x, y)∈R2 : 9x2 −3xy+y2 ≤9}. delimitato dall’ellisse di equazione 9x2 −3xy+y2 = 9. Si trovino e classifichino i punti stazionari dif. Si trovino poi il massimo e il minimo assoluti dif(x, y) nel dominioD. Esercizio 2.SiaPil parallelogramma P={(x, y)∈R2 : 8x≤y≤8x+ 2,−3x≤y≤1 2− 3x}. Si calcoli l’integrale doppioZ Z Pe 8 x−y dx dy Esercizio 3.Data la superficie regolareS:x= 3 cos(u), y=v, z= sin(u)−2v,(u, v)∈ [0,2π]×R, calcolare il piano tangenteαadSnel puntoA(0,1,−1). Determinare poi gli altri eventuali punti in cuiαintersecaS. Esercizio 4.Sia dato il campo vettoriale~ Fk= −y2 +1 x ~i+ kxy−1 y ~j, conk∈R, e sia dato l’arcoγdella parabolax=y2 −2y+ 2 percorso daB(2,2) adA(1,1). (1) Determinare i valori del parametro realekper cui~ Fkconservativo nel primo quadrante, e per tali valori calcolare un potenziale del campo. Sempre per tali valori dik, calcolareR γ~ Fk·~ t ds. (2) Postok= 0, calcolare Z γ~ F0·~ t ds. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016Teoria - Versione 1 Esercizio 1.Dimostrare che una funzione differenziabile inP 0`e continua in P 0. Dare quindi un esempio di una funzionef(x, y) continua in (0,0) ma ivi non differenziabile. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare le condizioni equivalenti perch´e una formadifferen- zialeω, definita su un aperto connesso, sia esatta. Analisi e Geometria 2 - 30 Giugno 2016Teoria - Versione 2 Esercizio 1.SianoV , Wspazi vettoriali finitamente generati sullo stesso campok, e fissiamo la basiBdiVeB′ diW. Spiegare la costruzione della matriceM B,B′ (f) con f:V→Wapplicazione lineare. Detta poiϕ: Hom(V , W)→Mat(dim(W),dim(V), k) la funzione definita comeϕ(f) =M B,B′ (f), dimostrare cheϕ`e iniettiva e suriettiva. Esercizio 2.Data la funzionef:A⊆R2 →Rdi classeC1 (A), Aaperto eP 0∈ A, dimostrare chef`e differenziabile inP 0. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016 Svolgimento a cura di R.NotariVersione 1 Esercizio 1.Sia dato il campo vettorialeF∈C1 (R3 ) definito come F=xri+yrj+zrk,dover(x, y, z) :=p x 2 +y2 +z2 . (a) Stabilire se `e conservativo. (b) In caso affermativo determinarne un potenziale. Soluzione.Il campo, come scritto nel testo, `eC1 (R3 ). EssendoR3 semplicemente con- nesso, resta da provare cheF`e irrotazionale. D’altra parte risulta ∂ ∂y( xr) =xy p x 2 +y2 +z2=∂ ∂x ( yr), ∂ ∂z( xr) =xz p x 2 +y2 +z2=∂ ∂x( zr), ∂ ∂z( yr) =yz p x 2 +y2 +z2=∂ ∂y( zr), e quindiF`e conservativo. Calcoliamo ora un potenziale perF. Primo modo:R3 `e un dominio stellato. SiaP(a, b, c) e siax=ta, y=tb, z=tc, t∈[0,1] il segmento che unisce l’origineO conP. Calcoliamo il lavoro del campo lungo tale segmento. Ovviamente,F(P(t)) = t2 r(P)(ai+bj+ck) mentreP′ (t) =ai+bj+ck, essendor(P) =√ a 2 +b2 +c2 . Quindi, Z1 0F (P(t))·P′ (t)dt=Z 1 0t 2 r(P)3 dt=r(P)3 1 3t 3 1 0= 1 3r (P)3 . In conclusione, il potenziale che assume il valore nullo nell’origine `eU(p) =1 3 r (P)3 . Secondo modo: siaU(x, y, z) tale cheU x= xr, U y= yr, U z= zr. Dalla prima equazione, si ricava che U=Z xp x 2 +y2 +z2 dx=1 22 3 ( x2 +y2 +z2 )3 /2 +V(y, z) =1 3 r 3 +V(y, z). Sostituendo nella seconda equazione, otteniamoyr+V y= yre quindiV y= 0, ossia V(y, z) =V(z). Sostituendo nella terza, si hazr+V z= zrossiaV z= 0 e quindi V`e costante. SceltaV= 0 otteniamoU=1 3 r3 . Esercizio 2.Sia data l’equazione differenziale lineare (1)y′′ (x) +2 xy ′ (x)−y(x) = 0,perx >0. (a) Postoy(x) =1 xu (x), u∈C2 ((0,∞)) determinare l’equazione differenziale a coefficienti costanti che soddisfa la funzione u. (b) Sfruttando il punto (a) determinare l’integrale generale dell’equazione (1). Soluzione.Con facili calcoli, si hay′ (x) =−1 x 2 u +1 x u′ ,y′′ (x) =2 x 3 u −2 x 2 u′ +1 x u′′ . Sostituendo nell’equazione differenziale data, si ha 1 x( u′′ −u) = 0 e quindiu′′ −u= 0. L’equazione algebrica associata `eλ2 −1 = 0 le cui soluzioni sonoλ=±1. L’integrale generale dell’equazione lineare inu`e u(x) =c 1ex +c 2e− x . L’integrale generale dell’equazione iny`e allora y(x) =1 x ( c 1ex +c 2e− x ). Esercizio 3.` E data la matrice A=  1 k0 1k1 0−k1  . (a) Per quali valori del parametro realekla matriceA`e diagonalizzabile? (b) Trovare una matrice che diagonalizzaA. Soluzione.Il polinomio caratteristico diA`e p(t) = det(A−tI) = (1−t)[(k−t)(1−t) +k]−k(1−t) = (k−t)(1−t)2 . Le radici sonot 1= 1 e t 2= kentrambe reali, e quindi sono autovalori diA. Se k= 1, la molteplicit`a dell’unico autovalore `em(1) = 3, mentre, sek6 = 1, abbiamo m(1) = 2, m(k) = 1. Perch´eAsia diagonalizzabile, bisogna quindi che la dimensione dell’autospazioV(1) sia uguale am(1). D’altra parte, dimV(1) = 3−r(A−I) e quindi calcoliamo il rango della matriceA−Ial variare dik∈R. Abbiamo A−I=  0 k0 1k−1 1 0−k0  . Riducendo tale matrice si ha  1 k−1 1 0 k 0 0 0 0  e quindir(A−I) = 1 sek= 0, mentrer(A−I) = 2 sek6 = 0. In conclusione, l’uguaglianza dimV(1) = 3−r(A−I) vale solo sek= 0, e quindiA`e diagonalizzabile esclusivamente in tal caso. Postok= 0, abbiamo che una base dell’autospazioV(1) `eB 1= ((1 ,1,0),(0,1,1)), men- tre una base dell’autospazioV(0) `eB 0= ((0 ,1,0)). Quindi, una matrice che diagonalizza A`e P=  1 0 0 1 1 1 0 1 0  . Esercizio 4.Calcolare il flusso del campo piano F=xy(xi+yj) che attraversa la porzione dell’ellissex2 + 4y2 = 16 che si trova nel primo quadrante, nella direzione della normale diretta verso l’esterno dell’ellisse. Soluzione.Usando la definizione, dobbiamo calcolare Φ =Z γF (P(t))·n eds essendoγl’arco di ellisse considerato, en eil versore normale uscente dall’ellisse. Una parametrizzazione dell’arco `ex= 4 cos(t) y= 2 sin(t)t ∈[0, π/2]. Il versore tangente `et=P′ /|P′ |, doveP′ =−4 sin(t)i+ 2 cos(t)j. Quindi,n e= (2 cos(t)i+ 4 sin(t)j)/|P′ |. Con facili calcoli,F(P(t)) = 8 cos(t) sin(t)(4 cos(t)i+ 2 sin(t)j). In conclusione, F(P(t))·n e= 8 cos( t) sin(t)(8 cos2 (t) + 8 sin2 (t))/|P′ |= 64 cos(t) sin(t)/|P′ |. Quindi, Φ =Z π/2 064 cos( t) sin(t) |P′ || P′ |dt= 32 sin2 (t)
π/2 0= 32 . Il flusso richiesto pu`o essere calcolato anche usando il Teorema della divergenza nel piano. In tal caso, si devono calcolare i flussi uscenti attraverso i due segmentix= 0, y= t,0≤t≤2 ex=t, y= 0,0≤t≤4, che insieme all’arcoγformano la frontiera del dominio D={(x, y)∈R2 |0≤x≤4,0≤y≤1 2√ 16 −x2 } oltre all’integrale doppio suDdella divergenza diF. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016Versione 2 Esercizio 1.Sia dato il campo vettorialeF∈C1 (R3 ) definito come: F=−(xri+yrj+zrk),dover(x, y, z) :=p x 2 +y2 +z2 . (a) Stabilire se `e conservativo. (b) In caso affermativo determinarne un potenziale. Esercizio 2.Sia data l’equazione differenziale lineare (2)y′′ (x) +2 xy ′ (x)−4y(x) = 0,perx >0. (a) Postoy(x) =1 xu (x), u∈C2 ((0,∞)) determinare l’equazione differenziale a coefficienti costanti che soddisfa la funzione u. (b) Sfruttando il punto (a) determinare l’integrale generale dell’equazione (2). Esercizio 3.` E data la matrice A=  2 k0 1k+ 1 1 0−k2  . (a) Per quali valori del parametro realekla matriceA`e diagonalizzabile? (b) Trovare una matrice che diagonalizzaA. Esercizio 4.Calcolare il flusso del campo piano F= 2xy(xi+yj) che attraversa la porzione dell’ellissex2 + 4y2 = 16 che si trova nel primo quadrante, nella direzione della normale diretta verso l’esterno dell’ellisse. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016Versione 3 Esercizio 1.Sia dato il campo vettorialeF∈C1 (R3 ) definito come F= 2(xri+yrj+zrk),dover(x, y, z) :=p x 2 +y2 +z2 . (a) Stabilire se `e conservativo. (b) In caso affermativo determinarne un potenziale. Esercizio 2.Sia data l’equazione differenziale lineare (3)y′′ (x) +2 xy ′ (x)−9y(x) = 0,perx >0. (a) Postoy(x) =1 xu (x), u∈C2 ((0,∞)) determinare l’equazione differenziale a coefficienti costanti che soddisfa la funzione u. (b) Sfruttando il punto (a) determinare l’integrale generale dell’equazione (3). Esercizio 3.` E data la matrice A=  3 k0 1k+ 2 1 0−k3  . (a) Per quali valori del parametro realekla matriceA`e diagonalizzabile? (b) Trovare una matrice che diagonalizzaA. Esercizio 4.Calcolare il flusso del campo piano F= 3xy(xi+yj) che attraversa la porzione dell’ellissex2 + 4y2 = 16 che si trova nel primo quadrante, nella direzione della normale diretta verso l’esterno dell’ellisse. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016Versione 4 Esercizio 1.Sia dato il campo vettorialeF∈C1 (R3 ) definito come F=−2(xri+yrj+zrk),dover(x, y, z) :=p x 2 +y2 +z2 . (a) Stabilire se `e conservativo. (b) In caso affermativo determinarne un potenziale. Esercizio 2.Sia data l’equazione differenziale lineare (4)y′′ (x) +2 xy ′ (x)−16y(x) = 0,perx >0. (a) Postoy(x) =1 xu (x), u∈C2 ((0,∞)) determinare l’equazione differenziale a coefficienti costanti che soddisfa la funzione u. (b) Sfruttando il punto (a) determinare l’integrale generale dell’equazione (4). Esercizio 3.` E data la matrice A=  4 k0 1k+ 3 1 0−k4  . (a) Per quali valori del parametro realekla matriceA`e diagonalizzabile? (b) Trovare una matrice che diagonalizzaA. Esercizio 4.Calcolare il flusso del campo piano F= 4xy(xi+yj) che attraversa la porzione dell’ellissex2 + 4y2 = 16 che si trova nel primo quadrante, nella direzione della normale diretta verso l’esterno dell’ellisse. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016Teoria - Versione 1 Esercizio 1.Scrivere le matrici ortognaliPdi ordine 2 con det(P) = 1 al variare di un opportuno parametro reale, e giustificare il loro significato geometrico. Esercizio 2.Enunciare il Teorema del Dini (detto anche della funzione implicita) per fun- zioni in due variabili, e dimostrare solo l’esistenza della funzione implicitamente definita dall’equazioneF(x, y) = 0. Analisi e Geometria 2 - 14 Luglio 2016Teoria - Versione 2 Esercizio 1.Scrivere le matrici ortognaliPdi ordine 2 con det(P) =−1 al variare di un opportuno parametro reale, e giustificare il loro significato geometrico. Esercizio 2.Enunciare il Teorema del Dini (detto anche della funzione implicita) per fun- zioni in due variabili, e dimostrare solo l’esistenza della funzione implicitamente definita dall’equazioneF(x, y) = 0. Analisi e Geometria 2 - 7 Settembre 2016 Svolgimento a cura di R.NotariVersione 1 Esercizio 1.Data l’applicazione linearef:R3 →R3 definita sulla base canonica da: f(e 1) = e 1+ ae 3 f(e 2) = 2 e 2 f(e 3) = be 2+ e 3− e 1 (1) Scrivere la matriceAassociata adfrispetto alla base canonica diR3 . (2) Determinare i parametria, baffinch´e la matriceAsia ortogonalmente diagonaliz- zabile. (3) Per i valori diaebtrovati scrivere una base ortonormale diR3 formata da au- tovettori diA. (4) Costruire una matrice ortogonalePtale chePt APsia diagonale. Soluzione.Le colonne della matrice associata sono le componenti delle immagini dei vettori della base stessa. Quindi abbiamo A=M B,B( f) =  1 0 −1 0 2b a0 1  . Una matrice `e diagonalizzabile ortogonalmente se e solo se essa `e simmetrica (essendo la base canonica ortonormale). Quindi,a=−1, b= 0. La matrice `e quindi A=  1 0 −1 0 2 0 −1 0 1  . Il suo polinomio caratteristico `ep(t) = det(A−tI) = (2−t)2 (−t). Le radici sono reali (come previsto dalla teoria) e sonot 1= 0 , m(0) = 1, t 2= 2 , m(2) = 2. L’autospazioV(2) `e descritto dall’equazionex+z= 0 e quindi una sua base ortonormale `e v1=1 √2e 1−1 √2e 3, v 2= e 2 . Una base diV(0) `e v3= v 1∧ v 2=1 √2e 1+1 √2e 3 . I vettori (v 1, v 2, v 3) formano una base ortonormale di R3 formata da autovettori dif. Infine, una matrice ortogonlePche diagonalizzaAha per colonne le componenti della base di autovettori e quindi P=  1 √2 0 1 √2 0 1 0 −1 √20 1 √2  . Come previsto dalla teoria, abbiamo Pt A P=  2 0 0 0 2 0 0 0 0  . Esercizio 2.Sia data l’equazione differenzialey′′ −2ay′ + (a2 +a4 )y= 0, conaparametro reale non nullo. (1) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenziale data, in funzione del para- metro realea6 = 0. (2) Trovare, sempre al variare dia6 = 0, la soluzione che verifica le condizioniy(0) = 0, y′ (0) = 1. (3) Disegnare il grafico della soluzione trovata in un intorno dix= 0 al variare di a6 = 0. Soluzione.L’equazione algebrica associata `eλ2 −2aλ+a2 +a4 = 0 le cui soluzioni sono complesse coniugate e sono λ1,2= a±ia2 . L’integrale generale dell’equazioni differenziale omogenea data `e y(x) =eax Ccos(a2 x) +Dsin(a2 x)
conC, Dcostanti reali. Imponendo la condizioney(0) = 0 abbiamoC= 0 e quindiy′ (x) =aDeax sin(a2 x) + Da2 eax cos(a2 x). Imponendo la condizioney′ (0) = 1 otteniamoa2 D= 1 da cuiD= 1/a2 (ricordiamo chea6 = 0). Quindi, la soluzione particolare `e y(x) =1 a 2eax sin(a2 x). Infine, per tale funzione, abbiamoy(0) = 0, y′ (0) = 1. Sostituendo nell’equazione differenziale, otteniamoy′′ (0) = 2a. Quindi, il polinomio di McLaurin di yal secondo ordine `eP 2( x) =x+ax2 . Usando tale informazione, `e immediato disegnare yin un intorno dix= 0. Esercizio 3.SiaDla regione del pianox, ycompresa tra le rettey=x, y=x+π, x= 0, x=π. SiaSla superficie di equazionez= sin(y−x) che si proietta inD. Si calcoli l’integraleZ Z Sp 1 + 2 cos 2 (y−x)dS Soluzione.Dobbiamo calcolare un integrale di superficie. ParametrizziamoScome x=u, y=u+v, z= sin(v), u∈[0, π], v∈[0, π]. AbbiamoP u= i+j, P v= j+ cos(v)k. Il loro prodotto vettoriale `eP u∧ P v= cos( v)i− cos(v)j+ked il suo modulo `e |P u∧ P v| =p 1 + 2 cos 2 (v). La funzione da integrare diventa f(u, v) =p 1 + 2 cos 2 (v), e quindi si haZ Z Sp 1 + 2 cos 2 (y−x)dS=Z Z [0,π]×[0,π](1 + 2 cos 2 (v))dudv=πZ π 0(1 + 2 cos 2 (v))dv= =πZ π 0(2 + cos(2 v))dv=π 2v+1 2sin(2 v) π 0= 2 π2 . Esercizio 4.Trovare i punti sulla curva di equazionexy2 −2 = 0 che hanno distanza minima dall’origine. Soluzione.La curvaCdi equazionexy2 −2 = 0 `e contenuta nel semipiano dellex >0, `e simmetrica rispetto all’assex, e non incontra tale asse. Inoltre, gli assi cartesiani sono asintoti perC. In particolare,Cnon `e limitata. Da tali infomazioni, si disegna facilmente C. La distanza al quadrato dall’origine `e la funzionef(x, y) =x2 +y2 , e quindi la la- grangiana del problema `eL(x, y, λ) =x2 +y2 +λ(xy2 −2). Il gradiente `e∇L= (2x+λy2 ,2y+ 2λxy, xy2 −2) e si annulla in (x, y) = (1,±√ 2). Poich´e f(1, pm√ 2) = 3, i due punti sono entrambi minimi o massimi. EssendoCnon limitata,fnon ha massimi assoluti, e quindi i due punti sono entrambi di minimo. Analisi e Geometria 2 - 7 Settembre 2016Versione 2 Esercizio 1.Data l’applicazione linearef:R3 →R3 definita sulla base canonica da: f(e 1) = e 1+ ae 2− be 3 f(e 2) = 2 e 2 f(e 3) = −e 1+ e 3 (1) Scrivere la matriceAassociata adfrispetto alla base canonica diR3 . (2) Determinare i parametria, baffinch´e la matriceAsia ortogonalmente diagonaliz- zabile. (3) Per i valori diaebtrovati scrivere una base ortonormale diR3 formata da au- tovettori diA. (4) Costruire una matrice ortogonalePtale chePt APsia diagonale. Esercizio 2.Sia data l’equazione differenzialey′′ + 2ay′ + (a2 +a6 )y= 0, conaparametro reale non nullo. (1) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenzialey′′ + 2ay′ + (a2 +a6 )y= 0 in funzione del parametro realea6 = 0. (2) Trovare, sempre pera6 = 00, la soluzione che verifica le condizioniy(0) = 0, y′ (0) = −1. (3) Disegnare il grafico della soluzione trovata in un intorno dix= 0 al variare di a6 = 0. Esercizio 3.SiaDla regione del pianox, ycompresa tra le rettey=x, y=x−2π, y= 0, y=π. SiaSla superficie di equazionez= cos(x−y) che si proietta inD. Si calcoli l’integraleZ Z Sq 1 + 2 sin 2 (x−y)dS Esercizio 4.Trovare i punti sulla curva di equazionexy2 −16 = 0 che hanno distanza minima dall’origine. Analisi e Geometria 2 - 7 Settembre 2016Teoria - Versione 1 Esercizio 1.(1) Dare la difinizione di base di uno spazio vettoriale finitamente gen- erato. (2) Dimostrare che, datoVspazio euclideo di dimensionen, se i vettori~v 1, . . . , ~v tsono non nulli e a due a due ortogonali, allora essi sono linearmente indipendenti. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare il Teorema di Guldino per l’area delle superficidi rotazione. Analisi e Geometria 2 - 7 Settembre 2016Teoria - Versione 2 Esercizio 1.(1) Dare la difinizione di base di uno spazio vettoriale finitamente gen- erato. (2) Dimostrare che, datoVspazio euclideo di dimensionen, se i vettori~v 1, . . . , ~v tsono non nulli e a due a due ortogonali, allora essi sono linearmente indipendenti. Esercizio 2.Enunciare e dimostrare il Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione. Analisi e Geometria 2 - 9 Febbraio 2017 Svolgimento a cura di R.NotariVersione 1 Esercizio 1.SiaF:R3 →R3 l’applicazione lineare la cui matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica, `e A=  1 −2a+ 4 0 0 2 −1 2a+ 2  , a∈R. (1) Determinare, al variare dia, una base per ker(F) e una per Im(F). (2) Stabilire, al variare dia∈R, se esiste una baseortogonalediR3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa `e diagonale. (3) Stabilire, al variare dia∈R, se esiste una basequalsiasidiR3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa `e diagonale. Determinarla esplicitamente nel casoa= 2. Soluzione.Il nucleo diF`e formato dalle soluzioni del sistema lineare omogeneoAX= 0 conX=t (x, y, z). Con facili calcoli, si haz= 0, x= 2y, edyvariabile libera. Quindi ker(F) ={(2y, y,0)|y∈R} ed una sua base `eB 0= ((2 ,1,0)). Ovviamente, dim(ker(F)) = 1. Dal teorema del rango, si ha che dim(Im(F)) = 2 per ogni valore dia∈R. Poich´e la prima e la terza colonna di Asono linearmente indipendenti per ognia, abbiamo che una base dell’immagine `e B′ = ((1,0,−1),(a+ 4,2, a+ 2)) essendoAmatrice associata adFrispetto alla base canonica diR3 . La matriceAnon `e simmetrica, indipendentemente daa∈R, e quindi non esiste una base ortonormale diR3 rispetto a cuiF`e rappresentata da una matrice diagonale. Il polinomio caratteristico diF`ep(t) = det(A−tI) =−t(t−2)(t−a+ 1) e quindi le sue radici sonot 1= 0 , t 2= 2 , t 3= a+ 1. Essendo tutte reali, esse sono autovalori diF. Bisogna ora calcolare la molteplicit`a delle radici. Sea+ 16 = 0 ea+ 16 = 2, i tre autovalori sono di molteplicit`a 1 e quindiA`e diagonal- izzabile.Sea+ 1 = 0, ossiaa=−1, allorat 1= 0 `e di molteplicit`a 2 mentre t 2= 2 `e di molteplicit`a 1. Perch´eFsia diagonalizzabile, deve accadere che dim(V(0)) = 2. Ma dim(V(0)) = 3−r(A) = 3−2 = 1 e quindiFnon `e diagonalizzabile in questo caso. Sea+ 1 = 2, ossiaa= 1, allorat 1== `e di molteplicit`a 1 mentre t 2= 2 `e di molteplicit`a 2. Perch´eFsia diagonalizzabile, deve accadere che dim(V(2)) = 2. Quindi, 3−r(A−2I) = 2 ossiar(A−2I) = 1. Pera= 1, abbiamo A−2I=  − 1−2 5 0−2 2 −1 2 1  il cui rango `e 2. Anche in questo caso, quindi,Fnon `e diagonalizzabile. In conclusione,F`e diagonalizzabile sea∈R\ {±1}. Sia oraa= 2. Gli autovalori diFsonot 1= 0 , t 2= 2 , t 3= 3. V(0) = ker(F) e quindi una sua base `eB 0= ((2 ,1,0)). V(2) `e formato dai vettori le cui componenti rispetto alla base canonica risolvono il sistema lineare omogeneo (A−2I)X= 0. Con facili calcoli, una sua base `eB 2= ((4 ,1,1)). V(3) `e formato dai vettori le cui componenti rispetto alla base canonica risolvono il sistema lineare omogeneo (A−3I)X= 0. Con facili calcoli, una sua base `eB 3= ((7 ,2,3)). Una base di autovettori `eB= ((2,1,0),(4,1,1),(7,2,3)) e la matrice diagonale che rappresentaFrispetto a tale base `e D=  0 0 0 0 2 0 0 0 3  . Esercizio 2.SiaD⊂R2 la lamina di forma triangolare avente i vertici in (0,0),(1,1), (−1,1), avente densit`a superficiale δα( x, y) =yα , α >0 (1) Determinareαsapendo che la massaMvale2 9 . (2) In corrispondenza del valore diαtrovato, determinare le coordinate del baricentro. (3) Esiste un valoreα∗ tale che il baricentro della lamina si trovi nel punto (0,1/2)? Perch´e? Soluzione. y x Figure 2.RegioneD La regioneD`e normale rispetto all’asseye pu`o essere descritta come D={(x, y)∈R2 |0≤y≤1,−y≤x≤y}. La massaMdella lamina `e M=Z Z Dδ dx dy =Z 1 0y α dyZ y −ydx = 2Z 1 0y α +1 dy=2 α + 2( yα +2 )1 0 =2 α + 2. SiaDche la densit`aδ(x, y) sono simmetrici rispetto all’asseye quindi il baricentro ha ascissa 0.Invece, per l’ordinata, si ha M yG=Z Z Dy α +1 dx dy=Z 1 0y α +1 dyZ y −ydx = 2Z 1 0y α +2 dy=2 α + 3( yα +3 )1 0 =2 α + 3. In conclusione,yG=α + 2 α+ 3. PostoM= 2/9, si ha2 α +2=2 9 da cui α= 7, e quindiG(0,9/10). Posto inveceα +2 α+3=1 2 si ha α=−1 che non `e accettabile, essendoα >0. Esercizio 3.Sia dato il campo vettorialeF:D F→ R2 F(x, y) = x p x2 +y2 −1+ e− x! i+ y p x2 +y2 −1− siny! j. (1) DeterminareD F. (2) Verificare cheF`e irrotazionale inD F. (3) Senza ulteriori calcoli, `e possibile affermare cheF`e conservativo inD F? E nell’insiemeQ={(x, y)∈R2 :x >1, y >1}? Perch´e? (4) Determinare un potenziale diFinQ. (5) Alla luce del risultato ottenuto al punto precedente, `e ora possibile affermare che F`e conservativo inD F? Perch´e? (6) Calcolare il lavoroLcompiuto daFper spostare il suo punto di applicazione dal puntoA(2,0) al puntoB(0,2), muovendosi lungo il segmento AB. Soluzione.Il dominio del campo `e DF= {(x, y)∈R2 |x2 +y2 >1} ed `e formato dai punti del piano esterni al cerchio di centro l’origine e raggio 1. Esso `e quindi un aperto non semplicemente connesso. y x Q Figure 3.Dominio del campo in grigio, con la regioneQindividuata dalle due semirette tratteggiate PostoF1=x p x 2 +y2 −1+ e− x F2=y p x 2 +y2 −1− siny, abbiamo∂F1 ∂y= −xy p ( x2 +y2 −1)3=∂F 2 ∂x e quindiF`e irrotazionale inD F. Avendo gi`a osservato cheD F`e aperto non semplicemente connesso, non possiamo affermare cheF`e conservativo inD F. Invece, essendo Qaperto semplicemente connesso, alloraF`e conservativo inQ. Calcoliamo ora un potenzialeU(x, y) perF, ossia una funzione di classeC1 (Q) che verifica∇U=F. Dall’uguaglianza∂ U ∂ x = F 1, si ottiene U(x, y) =p x 2 +y2 −1−e− x +ϕ(y). Da∂ U ∂ y =y √ x 2 +y2 −1+ ϕ′ (y) =F 2, si ottiene ϕ′ =−sin(y) da cuiϕ(y) = cos(y) +k. Dovendo calcolare un potenziale, ponimaok= 0, e quindi otteniamo U(x, y) =p x 2 +y2 −1−e− x + cos(y). EssendoUdi classeC2 (D F), allora U`e non solo un potenziale diFinQ, ma anche in DF, risultando quindi conservativo in tale insieme. Il lavoroLrichiesto `e L=U(B)−U(A) =e− 2 + cos(2)−2. Esercizio 4.Determinare eventuali estremi dif(x, y) =y x nel suo insieme di definizione. Esistono massimi o minimi nell’insiemeC={(x, y)∈R2 : (x−2)2 +y2 ≤1}? In caso affermativo determinarli. Soluzione.Il dominio dif`eD={(x, y)∈R2 vert x6 = 0}unione dei due semipiani delle ascisse positive e delle ascisse negative. InD,f`e di classeC1 con gradiente ∇f= −y x 2,1 x . ` E evidente che∇f6 = (0,0) per ogni (x, y)∈D. Quindi, non ci sono estremi liberi perf inD. L’insiemeC`e il cerchio di centro (2,0) e raggio 1, quindi `e un dominio compatto contenuto inD. Per il Teorema di Weierstrass,fha massimi e minimi assoluti inC. Poich´efnon ha estremi liberi, allora i massimi e minimi difinCsono sulla frontiera ∂Cossia sulla circonferenza di centro (2,0) e raggio 1. Primo modo: una parametrizzazione di∂C`ex= 2 + cos(t), y= sin(t), t∈[0,2π]. Sostituendo infsi hag(t) =f(x(t), y(t)) = sin(t)/(2 + cos(t)).g`e definita in [0,2π], ivi continua e derivabile, cong′ (t) = (2 cos(t) + 1)/(2 + cos(t))2 . I punti critici digsi hanno per cos(t) =−1/2, ossia (x, y) = (3/2,±√ 3 /2). I valori chefassume in tali punti sono f(3/2,±√ 3 /2) =±√ 3 /3. Infine, pert= 0,2π, si ha il punto (x, y) = (3,0) ef(3,0) = 0. Quindi, inC,fha massimo√ 3 /3 in (3/2,√ 3 /2) e minimo−√ 3 /3 in (3/2,−√ 3 /2). Secondo modo: la funzione lagrangiana per il problema di estremo vincolato `e L(x, y, λ) =y/x+λ((x−2)2 +y2 −1). I punti di estremo si ottengono risolvendo il sistema∇L= (0,0,0) ossia   − y x 2 + 2 λ(x−2) = 0 1 x+ 2 yλ= 0 (x−2)2 +y2 −1 = 0. Ovviamente, anche con tale impostazione si ottengono gli stessi punti trovato in prece- denza. Analisi e Geometria 2 - 9 Febbraio 2017Teoria - Versione 1 Esercizio 1.Dare la definizione di applicazione invertibile. Dimostrare poi che, seF: V→W`e lineare ed invertibile, associata alla matriceM B,C( F), allora vale l’uguaglianza MC,B( F− 1 ) = (M B,C( F))− 1 , conBbase diVeCbase diW. Esercizio 2.Data la funzionef:A⊆R2 →R, ed il puntoP 0∈ A, conAaperto, dare la definizione di funzione differenziabile inP 0. Dimostrare poi che, se f`e differenziabile inP 0, allora f`e continua inP 0. Sotto quale condizione, f`e sicuramente differenziabile inP 0?