Energy Engineering - Analisi e geometria 2

Procedure per lo svolgimento della prima prova in itinere

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1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaAlgebra LineareScrivere la matrice che rappresenta la funzione lineare F rispetto alla base canonica dello spazio 1.Dati i vettori è data per ogni vettore della funzione l a r e l a t i v a t r a s f o r m a z i o n e p e r s c r i v e r e l a m a t r i c e s i c o n s i d e r a p e r o g n i v e r s o r e d e l l a b a s e c a n o n i c a l a r e l a t i v a t r a s f o r m a z i o n e s u b i t a d a t a precedentemente ottenendo quindi il primo vettore colonna della matrice 2.D a t a l a m a t r i c e s i o t t i e n e considerando che la funzione prende in ingresso, uno alla volta, i versori della base canonica di e restituisce le espressioni date p e r o g n i e l e m e n t o . Q u i n d i l a p r i m a r i g a d e l l a m a t r i c e rappresentativa sarà data in questo caso da 3.Sia e sia la matrice rappresentativa si trova effettuando il prodotto colonna per riga che permette di ottenere la matrice . Determinare il rango della matrice. Determinare dimensione e base per il nucleo e per l’immagine dell’applicazione lineare E’ utile innanzitutto determinare il rango della matrice, ovvero il massimo numero di righe ( o di colonne) linearmente indipendenti tra loro e per fare questo si può ridurre la matrice a scala e calcolare il numero di righe non nulle. Una volta stabilito il rango r della matrice per il teorema di nullità più rango si ha che ovvero che dato n il numero di righe della matrice, la dimensione dell’immagine di F corrisponde con il rango della matrice ridotta a scala. Ne segue che la dimensione del nucleo è . 
 P e r d e t e r m i n a r e l a b a s e d e l l ’ i m m a g i n e , d e t e r m i n a t o i l r a n g o , è sufficiente prendere r vettori colonna linearmente indipendenti. Per determinare la base del nucleo invece si risolve il sistema lineare omogeneo associato . Determinare la matrice che rappresenta la funzione f rispetto ad una base data generica B differente dalla base canonica Per fare questo si ha bisogno di effettuare un cambiamento di base. Data la funzione lineare f(x,y,z)=(…,…,…) si scrive la matrice M di rappresentazione nella base canonica scrivendo le righe della matrice, a questo punto si determina la matrice H che ha come colonne i vettori della base data B, successivamente per scrivere la maatrice di rappresentazione A che rappresenta f nella base B si effettua un cambiamento di base ottenendo dove per ottenere la matrice inversa di H si calcola la matrice dei complementi algebrici, la si e1,e2,e3∈ R3 F(e1)= e1− e2− 5e3; F(e2)= − 5e3; F(e3)= e3; e1= [1 0 0] T F(e1)= e1− e2− 5e3= [1 − 1 − 5] T F(x,y,z)= (− 3x − 4z,5 y,− 4x + 3z) R3riga1= [− 3 0 − 4] u = [a b] T A = u ⋅uT A = [a2 ab; ba b2] n = dim KerF + dim Im F dim KerF = n − dim Im F A ⋅x = 0 A = H −1⋅M ⋅H Pagina di 19 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittatraspone e la si divide per il determinante di H. Si procede quindi con la moltiplicazione di matrici effettuando il prodotto riga per colonna. Determinare al variare di un parametro positivo, una base per il nucleo e per l’immagine, stabilire se esiste una base ortogonale o una base qualsiasi rispetto alla quale A è diagonale Per fare questo si cerca di ridurre la matrice a scala e calcolare il rango al variare del parametro. Una volta determinati i valori per i quali la matrice ha rango differente si calcolano le dimensioni del nucleo e dell’immagine, si calcola una base del nucleo risolvendo il sistema omogeneo e una base dell’immagine selezionando n vettori colonna linearmente indipendenti. Per la base ortogonale bisogna verificare se esistono dei valori del parametro per i quali la matrice è simmetrica altrimenti non è possibile avere una base ortogonale di autovettori. Per quanto riguarda una base qualsiasi, se gli autovalori della matrice A sono regolari allora la matrice è diagonalizzabile: si procede quindi a l l a r i s o l u z i o n e d e l l ’ e q u a z i o n e c a r a t t e r i s t i c a i n funzione del parametro. Si identificano i casi in cui la matrice presenta a u t o v a l o r i r e g o l a r i e s o l o i n q u e i c a s i s i p r o c e d e a l l a diagonalizzazione. Studiare l’iniettività, la suriettività e l’invertibilità di una funzione lineare •Un’applicazione lineare si dice iniettiva se ad elementi distinti corrispondono elementi distinti: 
 P e r d e t e r m i n a r e s e l ’ a p p l i c a z i o n e l i n e a r e è i n i e t t i v a b i s o g n a verificare che la dimensione del nucleo di F sia nulla, ovvero che la dimensione dell’immagine di F sia pari a n. Per verificare che se allora F iniettiva, si considerano due vettori tali che che per linearità da cui dunque F iniettiva. •Un’applicazione lineare si dice suriettiva se per ogni elemento al condominio, esiste almeno un punto del dominio tale che . Per determinare che un’applicazione sia suriettiva bisogna verificare che la dimensione dell’immagine di F sia pari alla dimensione del condominio. •Una funzione lineare è invertibile se è biunivoca ovvero è sia iniettiva che suriettiva ovvero quando si ha contemporaneamente che il nucleo è banale, ovvero contiene solo l’elemento nullo, e la dimensione dell’immagine sia pari alla dimensione del condominio della funzione lineare. Si ha quindi che . Calcolare la dimensione del sottospazio intersezione tra nucleo di F ed immagine di F F o r m u l a d i G r a s s m a n n : det(A − λI)= 0 T(v1)= T(v2)⟶ v1= v2 Ker(F )= {0} v1,v2 T(v1)= T(v2) T(v1− v2)= 0 v1= v2 yxf(x)= y n = m = r dim (KerF ∩ Im F )= dim KerF + dim Im F − dim (KerF + Im F ) Pagina di 29 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaquindi se ad esempio n=3, r=2, dimKer=1 si ha che la dimensione del sottospazio intersezione tra nucleo e immagine vale 1+2-3 = 0 . Stabilire se la matrice è diagonalizzabile, determinare la matrice diagonale e la matrice di passaggio che diagonalizza. Per stabilire se la matrice è diagonalizzabile bisogna verificare che gli autovalori siano regolari. Questo avviene quando la molteplicità algebrica, ovvero il numero di volte in cui l’autovalore è soluzione del polinomio caratteristico , è pari alla molteplicità g e o m e t r i c a , o v v e r o l a d i m e n s i o n e d e l l ’ a u t o s p a z i o a s s o c i a t o all’autovalore questa è calcolabile come . Autospazi relativi ad autovalori differenti sono linearmente indipendenti e perpendicolari tra loro. Matrici simmetriche sono, per il teorema spettrale, sempre diagonalizzabili e hanno tutti gli autovalori reali. Per determinare la matrice diagonale bisogna calcolare gli autovalori risolvendo e per determinare la matrice che diagonalizza si calcolano i rispettivi autovettori risolvendo il sistema lineare omogeneo caratteristico per ogni autovalore trovato . Una volta determinati gli autovettori, questi formano le colonne della matrice che diagonalizza la matrice di partenza e rappresenta la base ortonormale di passaggio. Verificare che v sia un autovettore di F e determinare il corrispondente autovalore Dato un autovettore si verifica calcolando il prodotto matrice (A) per colonna ( ) che restituisce un vettore colonna dal quale s i r i c o n o s c e i l v e t t o r e i n i z i a l e m o l t i p l i c a t o p e r u n o s c a l a r e , l’autovalore corrispondente. Stabilire se un vettore b appartiene o meno all’immagine di F Per fare questo, una volta calcolato il rango r della matrice A, si accosta ad A il vettore b ottenendo la matrice orlata [A|b] della quale si calcola nuovamente il rango, se questo è pari al rango r della matrice di partenza allora per il teorema di Rouchè Capelli allora b appartiene all’immagine di F. Stabilire se esiste una matrice diagonale D che sia simile alla matrice Se è una matrice simmetrica allora e quindi per il teorema spettrale è simile ad una matrice diagonale. Per qualsiasi n intero positivo, se v è un autovettore di A, con autovalore , allora lo stesso v è anche autovettore di con autovalore si ha quindi che dunque gli autospazi di coincidono con gli autospazi di A. det(A − λI)= 0 m gλ= n − rk(A − λ⋅I) D = diag(λ1,… ,λn) det(A − λI)= 0 (A − λi⋅x)= 0 v1= 2 2 [1, − 1,0 ] T v1A n An(An)T = (AT)n= An AnλAnλnAn⋅v = λn⋅v AnPagina di 39 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaS t a b i l i r e s e l ’ a p p l i c a z i o n e l i n e a r e è u n o m o m o r f i s m o , isomorfismo, endomorfismo, automorfismo Un omomorfismo è un’applicazione lineare tra spazi vettoriali che rispetta l’additività e l’omogeneità. L’isomorfismo è un particolare omomorfismo biettivo tra spazi vettoriali, cioè un’applicazione lineare iniettiva e suriettiva, bisogna verificare che la dimensione del dominio sia uguale a quella del codominio e che il nucleo sia banale. Un endomorfismo è un particolare omomorfismo tra uno spazio vettoriale V e se stesso. Un automorfismo.è un endomorfismo biettivo. Pagina di 49 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaEquazioni Differenziali IIScrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale In generale la soluzione generale di un’equazione differenziale completa del secondo ordine è formata dalla soluzione dell’equazione omogenea associata e da una soluzione particolare dell’equazione completa. 1.Eq.Omogenea: si considera il polinomio caratteristico associato e si calcolano i relativi autovalori e si avrà: 2.Eq.Completa: si cerca una soluzione particolare parametrica con il metodo di somiglianza, si calcolano la derivata prima e s e c o n d a e s i s o s t i t u i s c o n o n e l l ’ e q u a z i o n e c o m p l e t a p e r verificare che la soluzione particolare scelta sia soluzione e se ne determina il parametro. Si ha quindi che Scelta della soluzione particolare con metodo di somiglianza Per la scelta della soluzione particolare bisogna cercare una soluzione simile alla forzante e si distinguono i seguenti casi: in generale λ1,λ2 yom(x)= C1eλ1x+ C2eλ2x yp(x) yp(x)′ yp(x)′′ y(x)= yom(x)+ yp(x) ay′′+ by′+ cy = f(x) FORMA f(x)ECCEZIONIpolinomio di grado npolinomio di grado nc=0, allora cercare grado n+1, se c=b=0 cercare n+2 stesso ,
 da determinarsi C1cos(ωx)+ C2sin(ωx) ωC1,C2 se è soluzione di sostituire , in generale la soluzione ha sia cos che sinz= λ+ iω az2+ bz+ c= 0 eλx→ x⋅eλx yp(x)= αx3+ βx2+ γx+ δ esponenziale e cosinusoide eλx(Acosωx+ Bsinωx) ES: y′′+ 2y′− 3y = 2e−3x yp(x)= C1cos2x+ C2sin2x esponenziale stesso , c da determinare yp(x)= c⋅eλx λES: y′′− 4y′+ 5y = 3e2xcosx se f(x) ha anche solo uno tra cos e sin, in generale la soluzione li ha entrambi. 
 Se è già soluzione cercare x⋅(C1cosωx+ C2sinωx) FORMA yp cosinusoide Acos(ωx)+ Bsin(ωx) ES: y′′+ 2′= x3+ 2 stessi e da determinarsi eλx(C1cosωx+ C2sinωx) ω,λ C1,C2 yp(x)= c⋅e−3x ES: y′′+ 2y′− y = 3sin2x se questa è già soluzione dell’eq.omogenea allora cercare yp(x)= c⋅xeλx esponenziale Aeλx yp(x)= xe2x(C1cosωx+ C2sinωx) Pagina di 59 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaQuando il termine noto è somma di due funzioni dei tipi precedenti, per il principio di sovrapposizione è sufficiente cercare separatamente una s o l u z i o n e p a r t i c o l a r e d e l l ’ e q u a z i o n e , u n a s o l u z i o n e dell’equazione e successivamente per la linearità dell’equazione differenziale la funzione sarà una soluzione particolare di , ad esempio: 
 E S : s i c e r c a u n a s o l u z i o n e p e r e s i c e r c a p e r e d i conseguenza Problema di Cauchy, determinare la soluzione che ha tangente orizzontale in un punto. Una volta ottenuta l’espressione della soluzione generale, si hanno due costanti di integrazione oppure che possono essere ottenute imponendo determinate condizioni al contorno come, ad esempio, la tangenza orizzontale della funzione nell’origine, questo porta alle seguenti condizioni: , è necessario quindi calcolare la derivata prima della soluzione generale e successivamente metterla a sistema con la soluzione generale sostituendo in entrambe le condizioni d a t e , q u e s t o p o r t a a d u n s i s t e m a r i s o l u t i v o i n d u e i n c o g n i t e , risolvibile. Scrivere la soluzione generale al variare di un parametro Data si determinano le soluzioni dell’equazione c a r a t t e r i s t i c a a l v a r i a r e d e l p a r a m e t r o . S e l e s o l u z i o n i s o n o c o i n c i d e n t i , o v v e r o q u i n d i , l a s o l u z i o n e è . Altrimenti se le soluzioni sono distinte e si ha . 
 E’ possibile che l’equazione caratteristica abbia in questo caso la soluzione è è complessa Determinare un valore del parametro per cui la funzione assegnata sia una soluzione particolare y1Ly= f1 y2Ly= f2 y1+ y2 Ly= f1+ f2 y′′+ 2y = 3e−x+ x2+ 1 y1= C1e−x y′′+ 2y = 3e−x y2= ax2+ bc + c y′′+ 2y = x2+ 1 Ly= f1+ f2 FORMA f(x)ECCEZIONI yp(x)= e3x⋅(ax+ b) se è soluzione dell’eq. caratt. allora cercare λeλx⋅(pol.n+ 1) ES: y′′+ 2y′− y = e3x(x+ 2) stesso mentre da determinarsi eλx⋅q(x) λq(x) FORMA yp esponenziale e polinomio di grado n 
 eλx⋅p(x) C1,C2 A,B { y(0)= 0 y′(0)= 0 ay′′+ by′+ cy = f(x) Δ = 0 λ1= λ2= λ C1eλx+ C2⋅xeλx Δ > 0 C1eλ1x+ C2eλ2x Δ < 0 λ1,2 = α ± iβ eαx(C1cos(βx)+ C2sin(βx)) yp(x) Pagina di 69 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaE’ sufficiente calcolare e quindi sostituire nell’equazione ottenendo un’espressione in cui grazie al principio di identità dei polinomi si trova il valore del parametro tale per cui si hanno gli stessi coefficienti e quindi i polinomi trovati coincidono. Trovare la soluzione generale del sistema differenziale lineare X’=AX data A 2x2 Si calcolano gli autovalori della matrice associata al sistema e si c a l c o l a n o i c o r r i s p o n d e n t i a u t o v e t t o r i , l a s o l u z i o n e è q u i n d i y′p(x),y′′p(x) y(x)= C1eλ1xv1+ C2eλ2xv2 Pagina di 79 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaSerie NumericheStabilire il carattere della serie La richiesta è di studiare la convergenza della serie data, innanzitutto bisogna verificare la condizione necessaria, ma non sufficiente, alla convergenza ovvero che il termine n-esimo della serie quando sia infinitesimo, questo porta al calcolo del limite per della serie data. Una volta verificato questo si può solamente dire che la serie potrebbe convergere ma è necessario verificare la convergenza tramite dei criteri. 
 Per le serie a termini positivi valgono i seguenti criteri: •criterio del confronto : permette di estendere il teorema del confronto alle serie e, presa come riferimento una serie di cui è noto il carattere, verificare che date due successioni se diverge allora anche diverge e se converge anche converge. •criterio del confronto asintotico : analogamente date due serie tali che per allora le due serie hanno lo stesso carattere asintotico •criterio del rapporto : data una serie allora si studia il rapporto si calcola il limite L, se questo è minore di 1 allora la serie converge, altrimenti no. Questo criterio è particolarmente comodo quando nella serie compaiono fattoriali o potenze. •criterio della radice : data una serie allora si studia il limite per di se questo è minore di 1 allora la serie converge altrimenti no. E’ utile quando si riconoscono potenze n-esime. Per la serie a termini con segno qualunque si può studiare la convergenza assoluta ovvero si applica il valore assoluto alla serie rendendola a termini positivi e si studia tramite i criteri per le serie a termini positivi. Se è verificata la convergenza assoluta questa implica anche la convergenza semplice. Alternativamente se si riconosce che la serie è a segno alternato (grazie per esempio alla presenza di ) si può utilizzare il criterio di Leibniz che richiede che la serie sia infinitesima e che sia monotona decrescente, in questo caso allora converge semplicemente n → ∞ n → ∞ ∑ an,∑ bn:0 < an≤ bn anbnbnan∑ an,∑ bn:an> 0, bn> 0 n → ∞ , an∼ bn an> 0 ∀n an+1 an = fn per n → + ∞ an> 0 ∀n n → ∞ nan= fn (− 1)n Pagina di 89 1° ParzialeAnalisi e Geometria 2 Prova scrittaSerie di Fourier Scrivere la serie di fourier associata a f(x) e calcolare i coefficienti: Si considera periodo 2 tra se la funzione f(x) è dispari allora e se la funzione f(x) è pari allora e per il calcolo dei coefficienti si usa spesso l’integrazione per parti ricordando che e che Se f è continua e monotona in tutto [0,T] oppure continua in tutto [0,T] e regolare a tratti, la serie di Fourier converge puntualmente a f in ogni punto di (0, T ); converge anche agli estremi se vale la condizione di raccordo f(0) = f(T) che ha significato di garantire la continuità in R della funzione periodizzata. Ovvero, se la funzione è continua nell’intervallo allora la serie di Fourier converge puntualmente; se è limitata con un numero finito di discontinuità di salto nell’intervallo, la serie di Fourier converge puntualmente alla funzione se in quel punto la funzione è continua, altrimenti converge a metà del salto. π[− π;+ π] Sf∼ a0 2 + +∞ ∑k=1 [ancos(kx)+ bnsin(kx)] a0= 1 π ∫ +π −π f(x)dx an= 1 π ∫ +π −π f(x)cos(kx)dx bn= 1 π ∫ +π −π f(x)sin(kx)dx ak= 0 bk= 2 π ∫ 2π 0 f(x)sin(kx)dx bk= 0 ak= 2 π ∫ 2π 0 f(x)cos(kx)dx ∫ b a f(x)⋅g′(x)dx = [f(x)⋅g(x)] b a− ∫ b a f′(x)⋅g(x)dx d dx sin(x)= cos(x) d dx cos(x)= − sin(x) ∫sin(x)dx = − cos(x) ∫cos(x)dx = sin(x) Pagina di 99