Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

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POLITECNICO DI MILANO Prova di Meccanica dei Fluidi per Allievi Ingegneri Energetici 30 Agosto 2019 NOME: __________________________________________MATRICOLA: ___________________ 1) La valvola sferica di diametro D e peso specifico s γ del sistema rappresentato in figura è in condizione di equilibrio (le lastre piane di lunghezza, ℓ profondità b e di peso trascurabile sono rigide, libere di traslare verticalmente). Note tutte le grandezze geometriche indicate nello schema, i pesi specifici dei fluidi (γ, γm), il peso della valvola P e la lettura del manometro semplice (Δ). Determinare la lettura n del manometro metallico collegato al serbatoio affinché il sistema rimanga in equilibrio come in figura e rappresentare graficamente la distribuzione delle pressioni lungo il piano verticale in mezzeria del serbatoio. 2) Nel sistema in figura sono noti le quote Zm e Zv, le caratteristiche del fluido (in termini di peso specifico, γ, e viscosità cinematica, ν), la geometria delle condotte (Di, Li, εi; i = 1, 2, 3), il diametro dell’ugello dd, il coefficiente di contrazione Cc, il rendimento ηP e la potenza WP erogata dalla pompa (P). Determinare le portate circolanti nel sistema, la quota del livello Zd e la spinta esercitata dal fluido sulla piastra verticale di lunghezza L e profondità unitaria. Tracciare le linee dei carichi totali e piezometriche. DOMANDE TEORICHE 1. Si consideri il moto di una particella fluida lungo una traiettoria. Si scrivano le proiezioni dell'Equazione di Eulero lungo le direzioni normale, binormale e tangente la traiettoria nell'ipotesi di fluido pesante e incomprimibile. Si introduca, quindi, il concetto di corrente lineare. 2. Partendo dalle equazioni globali di equilibrio dinamico per moto turbolento, determinare la distribuzione delle tensioni tangenziali di una corrente in una condotta cilindrica. 3. Analizzare la variabilità del coefficiente di Drag con il numero di Reynolds e con la scabrezza relativa per un corpo affusolato. Motivare la risposta. N.B. Si ricorda che il rigore e la chiarezza espositiva costituiscono elementi importanti della valutazione. Nel rispondere alle domande teoriche è necessario specificare chiaramente le ipotesi assunte e riportare una lista della notazione utilizzata indicando la grandezza fisica alla quale fa riferimento ogni simbolo e le sue dimensioni o unità di misura nel sistema SI. Δ γ γ D h1 n α h2 γm ℓ ℓ Zm L1,D1, ε1 Zv Vol. finito L2, D2, ε2 γ, ν γ, ν Zd, dd P L3, D3, ε3 = 0 Vol. infinito L SOLUZIONE DEL TEMA D’ESAME DEL 30-08-2019 Il presente documento è da intendere come traccia di soluzione per la verifica della propria preparazione personale. ESERCIZIO 1: STATICA Il meccanismo che comprende la valvola sferica è soggetta alle seguenti forze: dove !! sono le risultanti delle spinte esercitate dal fluido di peso specifico γ sulle superfici del meccanismo, ! è il peso della valvola e !! sono le reazioni vincolari trasmesse dai pattini. La condizione di equilibrio del sistema è alla traslazione verticale e nel sistema di riferimento indicato nella figura è espressa dalla seguente equazione vettoriale di equilibrio: !+!!!+!!!=0 La lettura n del manometro metallico collegato alla parte inferiore del serbatoio può essere dedotta attraverso il valore delle componenti !!! e !!! delle spinte presenti nella condizione di equilibrio, le quali si ottengono imponendo la condizione di equilibrio idrostatico dei fluidi presenti nel sistema. Entrambe queste spinte agiscono su superfici irregolari quindi, il loro valore è facilmente ottenibile attraverso l’applicazione dell’equazione globale di equilibrio statico ai volumi di controllo in figura. ovvero: Π!,! +!! +Π!,! =0 Π!,! +!!+Π!,! =0 Confrontando l’equilibrio idrostatico con quello meccanico si osserva: Π!,!!=!!! Π!,!!=!!! quindi, !!! =−!!−Π!,!! !!! =−!!−Π!,!! Proiettando nella direzione “y”, del sistema di riferimento, !!! =!!−Π!,!!!"#$ !!! =!!+Π!,!!!"#$ I moduli delle forze sono: !!=! 112!!! !!=! 112!!! Π!,!!=!!(2ℓ+!)!"#$% Π!,!!=!!(2ℓ+!)!"#$% I valori delle pressioni !! e !! si possono ottenere dalla distribuzione delle pressioni presente nella figura sotto: !!=−Δ!!+!ℎ!+!Δ−!ℓ+!!!"#$ ; !!=!!−!ℎ!+!ℓ+!!!"#$, dove !!=!×10! !") !⃗! !⃗! !!⃗ !!⃗! !!⃗! x y Π!!⃗!,! !⃗! Π!!⃗!,! Π!!⃗!,! !⃗! Π!!⃗!,! Infine, introducendo i moduli nell’equazione risolutiva si ha: −!+! 112!!!−−Δ!!+!ℎ!+Δ−ℓ+!2!"#$2ℓ+!!"#$%+! 112!!!+!!−!ℎ!−ℓ+!2!"#$2ℓ+!!"#$%=0 −!+! 16!!!+Δ!!−!ℎ!−!Δ+!ℓ+!2!"#$+!!−!ℎ!+!ℓ+!2!"#$2ℓ+!!"#$%=0 −!+! 16!!!+Δ!!+!!−!(ℎ!+Δ−2ℓ+!!"#$+ℎ!)2ℓ+!!"#$%=0 !!=!−! !!!!!2ℓ+!!"#$%−Δ!!+!(ℎ!+Δ−2ℓ+!!"#$+ℎ! ) Si osservi che se γs > γ, il primo termine nell’espressione sarà sicuramente positivo, cosi come per motivi geometrici è positivo il termine all’interno della parentesi, per cui, verosimilmente, !! sarà positivo come indicato nel grafico. Si noti che per completezza l’andamento della distribuzione della pressione del liquido manometrico, pur non avendo interesse per quanto riguarda il piano centrale del serbatoio, si è disegnato in maniera indipendente. NOTA: Il modo qui proposto per arrivare alla soluzione del problema non è unico, ci si sarebbe giunti allo stesso risultato anche, per esempio, calcolando le spinte presenti nell’equazione di equilibrio mediante la somma delle componenti verticali delle spinte sulle superfici piane più quelle sulle superfici curve. !!!=!!,! ! +!!,!! +!!,!! =0 !!!=!!,! ! +!!,!! +!!,!! =0 Si noti che in questo caso nel calcolo della spinta su ognuna delle superfici curve il volume di controllo da considerare non si limita alla singola semisfera, ma è quello schematizzato in seguito. α n Δ p.c.i.γ superiore p = -Δγm z p.c.i.γ infriore p.c.i.γm pn z !⃗!,! !⃗!,! !⃗!,! !⃗!,! !⃗!,! !⃗!,! b D Π!!⃗!!,! Π!!⃗!!,! G!!⃗!! ESERCIZIO 2: DINAMICA Il serbatoio di valle è di volume finito, quindi l’equazione di continuità impone che la portata complessiva in arrivo al serbatoio sia uguale a quella in uscita. Osservando l’andamento dei livelli noti si nota che le portate Q2 e Q3 sono sicuramente uscenti Le equazioni che descrivono il moto nel sistema sono: • eq. continuità I. !!=!!+!! • eq. del moto II. !! −!!!!+Δ!!−!!=!! III. !!−!! −!!!!−!!=!! IV. !!−!! −!!!!=!!+!!"!!! dove: Λ!=!!!! !! ; Λ!=0.5!!! !! ; Λ!=!!!! !! ; Λ!=0.5!!! !! !!=!!!!!!! !! e !!"=!! !!!!!!! (velocità nella sezione contratta) a queste 4 equazioni è possibile aggiungere • eq. della pompa V. !!=!!!!!!!! • eq. di Colebrook & White per il calcolo dell’indice di resistenza λ. VI. !!=−2!"#!.!"!!!+!/!!.!" con !!=!"#! Scrivendo le equazioni del moto in funzione della portata (Q =A V) e introducendo il valore della prevalenza della pompa in funzione della potenza WP nota, si ha il seguente sistema: I' !!=!!+!! II.' !!−!!=!!!!!!!!!!!!!!+!!−!!!!!"! III.' !!−!!=!!!!!!!!0.5+!!!!!!+!! IV.' !!−!!=!!!!!!!!0.5+!!!!!! Se si assume che il moto sia turbolento, αι ≈ 1 si osserva che nel sistema, formato dalle 4 equazioni (I’, II’, III’, IV’) insieme all’equazione di Colebrook, le equazioni II’, III’ sarebbero immediatamente risolvibili se l’espressione di Colebrook non fosse implicita, questa circostanza obbliga a cercare la soluzione mediante una procedura di approssimazioni successive partendo, per esempio, dall’ipotesi di moto puramente turbolento da verificare successivamente. Zm L1,D1, ε1 Zv Vol. finito L2, D2, ε2 γ, ν Zd, dd P L3, D3, ε3 = 0 L Λ2 Λ4 Λ1 ΔHP l.c.t. condotta 1 l.p. condotta 1 l.c.t. condotta 2 l.p. condotta 2 l.c.t. condotta 3 l.p. condotta 3 Λ3 Utilizzando questa procedura è possibile ricavare i valori di Q1, Q2, che inseriti nell’equazione di continuità I’ ci permetterà di determinare il valore di Q3. Nota Q3 e prendendo in considerazione che la condotta 3 è liscia, è possibile determinare il valore di λ3 mediante l‘equazione di Colebrook ridotta, 1!=−2!"#2.51!!! oppure mediante la formula di Blasius, !=0.316!!!!.!" Introducendo in III’ i valori di Q3 e λ3 si ottiene il valore della quota Zd. Infine, per il calcolo della spinta esercitata dalla corrente sulla piastra piana applichiamo la l’equazione globale di equilibrio idrodinamico al volume di controllo limitato a monte, dalla sezione contratta; nello sviluppo, dalla superficie liquida a contatto con l’aria; a valle, dalla piastra e in uscita dall’anello liquido come indicato in figura. La condizione di equilibrio impone; Π! +Π! +Π! +Π! +M! +M! +G =0 dove la spinta cercata è: ! =−Π! Π! =Π! =Π! =0 perché tutte superfici a pressione atmosferica; M! e G non contribuiscono alla spinta cercata perché in direzione ortogonale a essa quindi, ! =M! il cui modulo è: ! =!!! !!" Π!!⃗! Π!!⃗! Π!!⃗! M!!!⃗! M!!!⃗! Π!!⃗! G!!⃗