Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

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POLITECNICO DI MILANO Meccanica dei Fluidi 1. Introduzione A cura di:DalilaVescovi, DiegoBerzi v2.8 Indice 1 Richiami di analisi tensoriale 31.1 Campi scalari, vettoriali e tensoriali . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 Operazioni tra vettori e tensori . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3 Operatore nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.4 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.5 Momento meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2 Proprieta dei uidi 132.1 Grandezze fondamentali e unita di misura . . . . . . . . . . .13 2.2 Fluido come mezzo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.3 Proprieta dei uidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2 1 Richiami di analisi tensoriale 1.1 Campi scalari, vettoriali e tensoriali Consideriamo un sistema di coordinate spaziali cartesiane ortogonali. Le grandezze che verranno prese in considerazione possono essere campi scalari, vettoriali o tensoriali. Campo scalare Un campo scalare e una funzione che varia nello spazio (il generico punto nello spazio e individuato dalle coordinatex,yez) e nel tempo,t, e il cui argomento e uno scalare (ovvero da un numero): a=a(x; y; z; t): Campo vettoriale Un campo vettoriale e una funzione che varia nello spazio e nel tempo e il cui argomento e un vettore:a =a (x; y; z; t): Nel sistema di riferimento cartesiano, un vettore puo essere rappresentato mediante le sue componenti scalari lungo i tre assi (Fig. 1)Figura 1: vettore nel piano cartesiano. a = (a x; a y; a z) : La terna di riferimentox; y; zpuo, equivalentemente, essere rappresentata comex 1; x 2; x 3, per cui il vettorea puo anche essere espresso come:a = (a 1; a 2; a 3) : Introducendo i versori (vettori aventi modulo unitario; si veda piu avanti per la de nizione di modulo) dei tre assi: 3a axa y a z z xy ^ i= (1;0;0) versore dell'assex, ^j= (0;1;0) versore dell'assey, ^ k= (0;0;1) versore dell'assez, il generico vettorea puo essere espresso anche comea =a x^ i+a y^ j+a z^ k; o anchea =a 1^ i+a 2^ j+a 3^ k: Per comodita e brevita di scrittura e opportuno introdurre lanotazione indiciale. Secondo questa convenzione, gli enti matematici vengono rap- presentati con dei pedici che prendono il nome di indici. Utilizzando la notazione indiciale, la generica componente del vettorea viene indicata co- mea i, dove ie l'indice e puo assumere i valori 1;2 e 3 (o, in modo del tutto equivalente,x; yez). In notazione indiciale si adotta la convenzione secondo la quale i termini con indici ripetuti si intendono sommati (convenzione di Einstein), per cui, per esempio: aib i=3 X i=1a ib i= a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3: Anche i versori dei tre assi vengono espressi con tale notazione come^ ii, con i= 1;2;3, dove evidentemente^ i1=^ i,^ i2=^ j,^ i3=^ k. Allora la scrittura compattaa iesprime la componente scalare dia nella direzione^ ii, e il vettorea e de nito comea =a i^ ii =3 X i=1a i^ ii= a 1^ i1+ a 2^ i2+ a 3^ i3 =a x^ i+a y^ j+a z^ k: Tornando alla de nizione di vettore, questo e de nito da direzione, modulo e verso. Ilmodulodi un vettorea rappresenta la sua lunghezza ed e dato da ja j=a=pa ia i =qa 2 x+ a2 y+ a2 z: Ladirezionee individuata dalla retta su cui giace il vettore. Consideriamo per comodita il caso piano di Fig. 2. In questo caso = arctana ya x 4 Figura 2: direzione di un vettore. e l'angolo che la direzione del vettorea forma con il semiasse positivo delle ascisse. Ilversorappresenta l'orientamento del vettore e dipende dal segno delle sue componenti. Se la componentea xe positiva, ad esempio, alloraa ha verso concorde con l'assex. Dato un campo vettorialea =a (x; y; z; t), tutte le sue componenti sono funzioni scalari che variano nello spazio e nel tempo (campi scalari):a =a x( x; y; z; t)^ i+a y( x; y; z; t)^ j+a z( x; y; z; t)^ k: Viceversa, una terna di campi scalari (a x; a y; a z) rappresenta le componenti scalari di un campo vettoriale solo se alla direzione individuata dal versore^ n=n x^ i+n y^ j+n z^ ke associata la componente scalare an= n ia i =n xa x+ n ya y+ n za z: Campo tensoriale Un campo tensoriale e una funzione che varia nello spazio e nel tempo e il cui argomento e un tensore:a =a (x; y; z; t): In generale un tensore di ordinene un ente matematico descritto da 3n componenti. Quindi un tensore di ordine 0 e rappresentato da 30 = 1 com- ponenti, cioe e uno scalare; un tensore di ordine 1 e rappresentato da 31 = 3 componenti, cioe e un vettore; un tensore di ordine 2 (che e quello che ci interessa nell'ambito di questo corso) e rappresentato da 32 = 9 componenti, ovvero e una matrice 33. In questa dispensa, con il termine tensore si fara riferimento sempre ad un tensore di ordine 2. Per cui, il generico tensorea 5a axx a y y α viene rappresentato come a =2 4a xxa xya xz ayxa yya yz azxa zya zz3 5: Il generico elemento del tensorea viene espresso in notazione indiciale come aijcon i; j= 1;2;3 (o anchei; j=x; y; z). Dato un campo tensorialea =a (x; y; z; t), allora tutte le sue componenti sono funzioni scalari che variano nello spazio e nel tempo. Inoltre, le tre righe della matrice rappresentano le tre componenti (campi) vettorialia x;a y;a z del campo tensorialea :a i= a ij^ ij = (a ix; a iy; a iz) : Viceversa, una terna di campi vettorialia x;a y;a zde nisce le componenti vettoriali di un campo tensoriale solo se alla direzione individuata dal versore^ n=n x^ i+n y^ j+n z^ ke associato il vettorea n= n ia i =n xa x+ n ya y+ n za z: 6 1.2 Operazioni tra vettori e tensori Prodotto scalare tra due vettori Il prodotto scalare di due vettori,a = (a x; a y; a z) eb = (b x; b y; b z), indicato cona
b , e lo scalarede nito da a
b =a ib i =a xb x+ a yb y+ a zb z: Il prodotto scalare soddisfa le seguenti proprieta:a
b =b
a (simmetria) a
b = 0()a ?b (il prodotto scalare e nullo se i vettori sono ortogonali) a
^ ii= a i. Il prodotto scalare di un vettore per se stesso,a
a =a ia i =a2 x+ a2 y+ a2 z= a2 ; risulta pari al quadrato del modulo del vettore stesso. Prodotto misto tra un vettore e un tensore Il prodotto misto tra un vettore,a , e un tensore,b , indicato cona
b , e il vettorede nito da a
b = axa ya z2 4b xxb xyb xz byxb yyb yz bzxb zyb zz3 5 =a ib ij^ ij = (a xb xx+ a yb yx+ a zb zx)^ i+ (a xb xy+ a yb yy+ a zb zy)^ j+ + (a xb xz+ a yb yz+ a zb zz)^ k: Prodotto vettoriale tra due vettori Il prodotto vettoriale di due vettori,a = (a x; a y; a z) eb = (b x; b y; b z), indicato cona b , e il vettorede nito da a b = ^ i^ j^ k axa ya z bxb yb z = (a yb z a zb y)^ i+ (a zb x a xb z)^ j+ (a xb y a yb x)^ k dovej
jdenota il determinante della matrice. 7 Prodotto tensoriale tra due vettori Il prodotto tensoriale di due vettori,a = (a x; a y; a z) eb = (b x; b y; b z), indicato semplicemente conab , e il tensorede nito da ab =2 6 6 4a x ay az3 7 7 5 bxb yb z =2 6 6 4a xb xa xb ya xb z ayb xa yb ya yb z azb xa zb ya zb z3 7 7 5: Il generico elementoij-esimo diab si denota come ab
ij= a ib j: Prodotto di Hadamard tra due tensori Il prodotto di Hadamard tra due tensori,a eb , indicato semplicemente cona b , e il tensorede nito da a b =2 6 6 4a xxb xxa xyb xya xzb xz ayxb yxa yyb yya yzb yz azxb zxa zyb zya zzb zz3 7 7 5: Il generico elementoij-esimo dia b si denota come a b  ij= a ijb ij: Prodotto matriciale tra due tensori Il prodotto matriciale tra due tensori,a eb , indicato cona
b , e il tensorede nito da a
b =2 4a xxa xya xz ayxa yya yz azxa zya zz3 52 4b xxb xyb xz byxb yyb yz bzxb zyb zz3 5: Il generico elementoij-esimo dia
b si denota come a
b  ij= a ikb kj: 8 1.3 Operatore nabla L'operatore dierenziale vettoriale nabla,r, e de nito come un vettore che ha per componenti gli operatori di derivata parziale lungo le tre direzioni: r=@@ x i^ ii =@@ x ^ i+@@ y ^ j+@@ z ^ k = @@ x ; @@ y ; @@ z  : L'operatore nabla consente di scrivere in forma compatta alcuni operatori dierenziali, quali il gradiente, la divergenza e il rotore. Gradiente di un campo scalare Dato un campo scalarea=a(x; y; z; t) continuo e dierenziabile nello spazio, si de nisce gradiente diail seguente campo vettorialegrad a=ra=@ a@ x i^ ii =@ a@ x ^ i+@ a@ y ^ j+@ a@ z ^ k = @ a@ x ; @ a@ y ; @ a@ z  : In notazione indiciale la generica componente scalare dirasi denota come (ra) i=@ a@ x i: Gradiente di un campo vettoriale Dato un campo vettorialea =a (x; y; z; t) continuo e dierenziabile nello spazio, si de nisce gradiente dia il seguente campo tensorialegrada =ra =2 6 6 6 6 6 4@@ x @@ y @@ z 3 7 7 7 7 7 5 axa ya z =2 6 6 6 6 6 4@ a x@ x @ a y@ x @ a z@ x @ ax@ y @ a y@ y @ a z@ y @ ax@ z @ a y@ z @ a z@ z 3 7 7 7 7 7 5: 9 La generica componente scalare di ra si denota come (ra ) ij=@ a j@ x i: Divergenza di un campo vettoriale Dato un campo vettorialea =a (x; y; z; t) continuo e dierenziabile nello spazio, si de nisce divergenza dia il seguente campo scalarediva =r
a =@ a i@ x i =@ a x@ x + @ a y@ y + @ a z@ z : Si noti che il punto
rappresenta l'operazione di prodotto scalare tra il vettore nabla e il vettorea . Divergenza di un campo tensoriale Dato un campo tensorialea =a (x; y; z; t) continuo e dierenziabile nello spazio, si de nisce divergenza dia il seguente campo vettorialediva =r
a =@a i@ x i =@a x@ x + @a y@ y + @a z@ z =@ a ij@ x i^ ij = @ axx@ x + @ a yx@ y + @ a zx@ z  ^i+ @ axy@ x + @ a yy@ y + @ a zy@ z  ^j+ + @ axz@ x + @ a yz@ y + @ a zz@ z  ^ k: La generica componente scalare dir
a si denota come r
a
j=@ a ij@ x i: Rotore di un campo vettoriale Dato un campo vettorialea =a (x; y; z; t) continuo e dierenziabile nello spazio, si de nisce rotore dia il seguente campo vettorialerota =r a = ^ i^ j^ k @@ x @@ y @@ z axa ya z : Il simbolodenota il prodotto vettoriale tra il vettore nabla e il vettorea . 10 1.4 Teoremi SianoWuna regione generica (un volume) delimitata dalla sua frontieraA (super cie che racchiude il volumeW), e^ nil versore entrante aA. Sia- no inoltrea eaun campo vettoriale e un campo scalare, rispettivamente, continui e dierenziabili. Allora valgono i seguenti teoremi. Teorema della divergenzaZ Wr
a dW=Z W@ a i@ x idW =Z Aa in idA =Z Aa
^ ndA:(1) Teorema del gradienteZ Wr a dW=Z W@ a@ x i^ iidW =Z Aa n i^ iidA =Z Aa ^ ndA:(2) 11 1.5 Momento meccanico Si de nisce momento meccanico di una forzaF rispetto al generico poloO il vettoreM =b F ; in cuib rappresenta il vettore posizione di qualsiasi punto giacente sulla retta di applicazione diF rispetto al polo stesso.Figura 3: Momento meccanico. Considerando per semplicita il caso piano (dove cioeF eb sono complanari e giacciono sul pianoxy), Fig. 3, allora:M = (0;0; M z) = M z^ k doveMz= b F sin; dovee l'angolo tra i due vettori.M e dunque diretto lungo l'assez(ovvero e ortogonale al piano su cui giacciono i vettoriF eb ), e b sinrappresenta il braccio diF rispetto al poloOed e pari alla distanza traOe la retta di applicazione diF . Inoltre, ssata una convenzione per le rotazioni positive (in gura si sono assunte positive le rotazioni antiorarie), il segno diM ze positivo se la rotazione generata dal vettore rispetto al polo e concorde con la convenzione scelta, negativo altrimenti. Per esempio, con riferimento alla Fig. 3,M ze negativo, quindiM e discorde con l'assez. 12F bx y O + θ b sinθ 2 Proprieta dei uidi 2.1 Grandezze fondamentali e unita di misura Tabella 1: Grandezze fondamentali e unita di misura.GrandezzeUnita di fondamentalidi misura Lunghezza[ L]m Tempo[ t]s Massa[ M]kg Temperatura[ T]K (  C) In Cinematica le grandezze fondamentali sono: [L] e [t]; In Dinamica le grandezze fondamentali sono: [L], [t] e [M]; In Termodinamica le grandezze fondamentali sono: [L], [t], [M] e [T]. 2.2 Fluido come mezzo continuo Mezzo continuo:approccio sico: mezzo nel quale non si possono scorgere vacanze; approccio matematico: in ogni punto del mezzo e possibile de nire le grandezze mediante funzioni continue. Dato un volume di uido, si distinguono due tipi di forze:forze di volumeF v: proporzionali al volume di uido (per esempio la forza di gravita). Dal momento che il volume e la massa sono legati attraverso la densita (si veda il Par. 2.3), sono anche proporzionali alla massa del uido e possono essere equivalentemente de nite forze di massa; forze di super cieF s: forze che vengono esercitate su una qualsiasi parte del sistema attraverso la sua super cie di contorno. Un sistema continuo e inequilibrioquando: XF v+XF s= ma ; doveme la massa del sistema ea la sua accelerazione. Consideriamo una porzione in nitesima di super ciedAappartenente ad un volume di uido. Su questa agisce una forza in nitesima (di super cie)dF s. Si de niscesforzo unitario: lim dA!0dF sdA = n 13 L'unita di misura dello sforzo e: n![ M] [L][ t]2
1[ L]2 ![ F][ L]2 ! Nm 2 . La spinta elementare sudAe, dunque, esprimibile comedF s= ndA . Si puo, allora, calcolare la forza di super cie agente su una super cie nitaAcomeF s=Z A ndA: Rispetto alla giacitura didA, di normale^ n, e possibile scomporre lo sforzo in una componente normaleed una tangenziale(Fig. 4). La componente normalepuo essere di compressione o di trazione. Per convenzione, in meccanica dei uidi, si assumono positivi gli sforzi normali di compressione. La maggior parte dei uidi in condizioni usuali non sop- porta sforzi normali di trazione. La componente isotropa (che non dipende dall'orientamento della super cie) degli sforzi normali viene chiamata pres- sione (Statica dei Fluidi, Par. 1.1).Figura 4: componente normale e tangenziale dello sforzo su dA. 2.3 Proprieta dei uidi Le proprieta dei uidi si possono classi care in Intensive: non dipendono dalle dimensioni del sistema, e in particolare dal volume. Ad esempio, sono grandezze intensive la temperatura, la densita, la viscosita. Estensive: dipendono dalle dimensioni del sistema. La massa e una proprieta estensiva. 14dAτ σΦ n n Densita La densita e la massa per unita di volume: ![ M][ L]3 !kgm 3 Per l'acqua,= 1000 kg/m3 ; per l'aria a temperatura ambiente,= 1:29 kg/m3 . La densita e funzione di temperatura e pressione. La legge che lega queste tre grandezze e detta equazione di stato del uido e in generale si esprime come =(p; T): Per unliquido, la densita varia poco con la pressione e diminuisce all'au- mentare della temperatura. Caso particolare e l'acqua, per cui la massima densita viene raggiunta a 4 C.Figura 5: andamento della densita con la temperatura per l'acqua. Per ungas perfetto, l'equazione di stato e data da pW=nRT dove:We il volume,nil numero di moli contenuto nel volume,R= 8:314472 J/(mol K) la costante universale dei gas eTla temperatura espressa in gradi Kelvin. Il numero di moli e dato dan=MM moldove Me la massa contenuta nel volume eM mole la massa di una mole. 15 Quindi, essendo =MW , =pM molRT : Peso speci co Il peso speci co e il peso per unita di volume =g! FL 3 !Nm 3 Per l'acqua, = 9810 N/m3 ; per l'aria a temperatura ambiente, = 12:68 N/m3 . Comprimibilita La comprimibilita e la proprieta di un uido di modi care il proprio volume (e quindi la propria densita) al variare della pressione a cui e soggetto. Consideriamo un uido, soggetto ad una pressionep, che occupa un volume W(Fig. 6).Figura 6: volume di uido soggetto ad una pressione p. In condizioni isoterme (T= cost), sperimentalmente si osserva che ad una va- riazione di pressionedp, corrisponde una variazione di volumedW, secondo la legge:dWW = dp" (3) dove"[N/m2 ] e il modulo di elasticita a compressione cubica. La conservazione della massa implica che:W= cost; dierenziando si ottiene dW+W d= 0 =)dWW = d ; 16 da cui segue che ad una variazione di pressione corrisponde una variazione di densita:d = dp" (4) Neiliquidi"e molto grande, per cui la densita si mantiene circa costante al variare della pressione:"elevato =)d =0 = )= cost. Il modulo di elasticita a compressione cubica dell'acqua a 10 C e pari a "w( T= 10 C) = 2:003
109 N/m2 . Se le variazioni di pressione sono elevate, integrando la relazione (4) si ottiene = 0exp pp 0"  : Gasevaporisono invece molto comprimibili;"dipende dal loro stato e dal tipo di trasformazione che stanno subendo. Se consideriamo una trasformazione politropica, per un gas perfetto, per cui vale la pWn = cost dierenziando si ha cheWn dp+pnWn 1 dW= 0 e dalla (3) si ricavaW dppnWdp" = 0 e quindi"=np: Per gas a pressione atmosferica soggetti a trasformazioni isoterme (n= 1), " =105 N/m2 . Viscosita La viscosita e una proprieta dei uidi che lega gli sforzi tangenziali alle ve- locita di deformazione. Consideriamo un uido tra due lastre piane parallele poste a distanza
y. La lastra superiore, di areaA, viene messa in moto, ad una velocitaV, da una forza orizzontale di moduloF. La lastra inferiore invece resta ferma. In condizioni di moto laminare, il pro lo di velocita che si sviluppa tra le due lastre e lineare e varia tra zero (in corrispondenza della lastra inferiore) eV (sulla lastra superiore). Per mantenere una dierenza di velocita tra le due lastre,
V, costante (in questo caso
V=V0 =V), nonostante l'attrito, e necessaria una forzaFcostante. Tale forza risulta sperimentalmente pro- porzionale alla dierenza di velocita
V, alla super cieAed inversamente proporzionale allo spessore
y: F/A
V
y: 17 Figura 7: usso laminare tra due lastre piane parallele. La costante di proporzionalita nella relazione precedente e la viscosita dina- mica[N s/m2 ], quindi lo sforzo tangenziale risulta =FA = 
V
y= @ u@ y doveye la direzione normale al moto del uido eue la componente di ve- locita parallela alle lastre. La quantita@ u@ y e detta velocita di deformazione. Oltre alla viscosita dinamica, si de nisce la viscosita cinematica:== [m2 /s]. La con gurazione di usso descritta prende il nome di usso di Couette pia- no, e, a causa del fatto che le due lastre piane devono essere di lunghezza in nita, non e sicamente realizzabile. Uno strumento che si puo utilizzare per determinare la viscosita (reometro) e costituito da due cilindri coassiali come quelli riportati in Fig. 8 ( usso diCouette rotante). 18F ∆y Super cie in movimento con velocità V Super cie ferma Figura 8: usso laminare tra due cilindri coassiali. Il comportamento die dierente per gas e liquidi. Per i gas la viscosita aumenta all'aumentare della temperatura, per i liquidi invece, la viscosita diminuisce all'aumentare della temperatura. In generale, la legge che lega sforzi tangenziali e velocita di deformazione e detta equazione reologica, e si esprime come =f @ u@ y  : Per un uido Newtoniano, la funzionefe lineare, come gia visto, e le ca- ratteristiche reologiche sono indipendenti dal tempo. Esistono altri tipi di uidi per cui lafha un diverso comportamento. Esercizio Un olio lubri cante e posto tra due piatti piani paralleli. Un piatto e s- so, l'altro si muove con velocitaV= 3 m/s. Data la distanza tra i due piattih= 2:6 cm, determinare lo sforzo di taglio nel lubri cante, noto che olio= 0 :26 N s/m2 . Soluzione:=dudn = Vh = 0 :26
30 :026N sm 2
ms
1m = 30 Pa : 19ω ωω r e ω r i i r e ri F h ωi F Tensione super ciale Le super ci di separazione (interfaccia) tra sostanze non miscibili possiedo- no energie associate con esse perche lavoro deve essere fatto per generarle. L'energia per unita di area associata con tali super ci e dettaenergia su- per cialeed ha come dimensioniJ=m2 . La tendenza dei sistemi sici a minimizzare l'energia ad essi associata fa s che essi tendano a minimizzare anche le super ci di intefaccia. Nel caso dei uidi, si preferisce introdurre il concetto ditensione super - ciale T, che e la forza per unita di lunghezza, in N=mdunque, che si deve applicare tangenzialmente a una super cie di interfaccia per mantenerla in equilibrio. La ragione sta nel fatto che, in generale, una molecola e sottopo- sta ad azioni attrattive o repulsive da parte delle molecole che la circondano. Se consideriamo una molecola che si trova all'interfaccia tra due uidi non miscibili (Fig. 9a), per esempio una molecola d'acqua all'interfaccia tra aria e acqua, essa subisce da un lato le azioni attrattive delle molecole d'acqua, e dall'altro quelle delle molecole d'aria. Poiche le forze esercitate dall'aria sono molto inferiori rispetto quelle esercitate dalle molecole d'acqua (la den- sita dell'aria, e di un gas in genere, e molto inferiore a quella dell'acqua, cioe ci sono molte meno molecole d'aria che di acqua a parita di volume), le forze di attrazione non sono simmetriche. Questo fa s che la risultante delle forze sulla molecola sia rivolta verso la massa d'acqua e la molecola stessa tenda a \sfuggire\ dall'interfaccia muovendosi verso l'interno della massa d'acqua, diminuendo la super cie di interfaccia. Per evitare che la super cie di interfaccia diminuisca occorre, dunque, mantenere in tensione la super cie stessa che si comporta, di conseguenza, come una membrana elastica. Vale la pena notare che energia super ciale e tensione super ciale sono due modi di descrivere lo stesso fenomeno e rappresentano la stessa proprieta sica: e facile dimostrare cheJ=m2 =N=m.(a)(b) Figura 9: (a) schema delle forze di attrazione su molecole di un liquido a contatto con un gas. (b) Pellicola di liquido sospesa all'interno di un telaio metallico ad U dotato di un lato mobile. 20 F Esperimento : consideriamo una pellicola di liquido a contatto con un gas e sospesa all'interno di un telaio metallico ad U, con un lato mobile di lunghezzab(Fig. 9b). La pellicola di liquido tende a tirare il lato mobile verso l'interno per minimizzare l'area della sua super cie. Per mantenere fermo il lo, e necessario applicare una forzaFnella direzione opposta. Quindi, la tensione super ciale Trisulta T=F2 b (il fattore 2 a denominatore e dovuto al fatto che il liquido presenta due super ci a contatto con il gas).Alcuni esempi di applicazione del concetto di tensione super ciale sono riportati nella dispensa degli Esercizi di Statica dei Fluidi. 21 POLITECNICO DI MILANO Meccanica dei Fluidi 2. Statica dei Fluidi A cura di:Diego Berzi v1.2 Indice 1 Meccanica dei uidi in quiete 31.1 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 Equazione inde nita della statica dei uidi . . . . . . . . . . .5 1.2.1 Fluidi incomprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2.2 Fluidi comprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3 Equazione globale della statica dei uidi . . . . . . . . . . . .10 2 Spinte statiche 122.1 Spinte su super ci piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.1.1 Metodo meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.1.2 Metodo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.2 Spinte su super ci curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2 1 Meccanica dei uidi in quiete 1.1 Pressione Il vettore sforzo ndipende, in generale, dalla posizione e dall'orientamen- to della super cie in nitesima sulla quale agisce, e puo avere orientamento qualsiasi rispetto a quest'ultima (Cap. 1, Par. 2.2). Nel caso di Fluidi New- toniani, la componente tangenziale alla super cie dello sforzo risulta pro- porzionale alla derivata della velocita nella direzione normale alla super cie stessa (Cap. 1, Par. 2.3). Se i Fluidi sono in quiete, la velocita e tutte le sue derivate spaziali e temporali sono nulle. Ne risulta che, nel caso di Fluidi Newtoniani in quiete, lo sforzo ha necessariamente solo componente normale alla super cie in nitesima su cui agisce.Consideriamo ora un volume in nitesimo di uido in quiete costituito da un tetraedro, detto di Cauchy [2], avente tre facce (dA x; dA y; dA z) orientate come gli assi cartesiani e la quarta facciadAdi orientamento generico con normale^ n(Fig. 1).Figura 1: Tetraedro di Cauchy. Perche questo volume in nitesimo sia in equilibrio, occorre che sia veri cata la seconda legge della dinamica (Cap. 1, Par. 2.2), che, in statica, si riduce ad aermare che la somma delle forze esterne di super cie e di volume agenti sul uido deve essere pari al vettore nullo (PF s+PF v=0 ). Le forze di super cie sono ovviamente quattro, una per ogni faccia, e possono essere espresse come prodotto del vettore sforzo per l'area in nitesima su cui agisce. Per il tetraedro considerato risulta, dunque, xdA x+ ydA y+ zdA z+ ndA +f dW=0 ;(1) dovef rappresenta la generica forza di volume per unita di massa. Al primo ordine, possiamo trascurare il contributo della forza di volume nella Eq.(1), dal momento che il volume e un in nitesimo di ordine superiore rispetto 3φy φz φ x xz y φ n j k i n alla super cie. Dato che, per un uido in quiete, l'unica componente di sforzo presente e quella normale alla super cie, ciascun vettore sforzo puo essere rappresentato come prodotto della componente scalare del vettore nella direzione del versore normale alla super cie per il versore stesso (ad esempio, x=  xx^ i, dove xxe la componente scalare in direzione xdi x). Si puo, allora, scrivere: xx^ idA x+  yy^ jdA y+  zz^ kdA z+  nn^ ndA=0 :(2) Proiettando in direzioney, yydA y+  nnn ydA = 0;(3) doven ye la componente scalare in direzione ydel versore^ n, cioe il coseno direttore di^ ncon l'assey. Dato che^ je^ nsono discordi, l'angolocompreso tra i due versori e maggiore di 90 . La super ciedA ypuo essere ottenuta per via trigonometrica, moltiplicando la super ciedAper il coseno di 180 (Fig. 2).Figura 2: Proiezione del tetraedro di Cauchy sul piano yz. Ne risulta chedAy= cos(180 )dA=cosdA=n ydA; (4) e l'Eq.(3) si riduce a yy=  nn. Ripetendo il ragionamento per le direzioni xezsi arriva a dimostrare che xx=  yy=  zz=  nn= p;(5) dove lo scalareprappresenta la pressione. Il tetraedro di Cauchy ci fornisce anche un'altra informazione. Sosti- tuendo le relazioni tra le aree nell'Eq.(1), trascurando la forza di volume e dividendo tutto perdA, si ottiene che alla direzione^ n=n x^ i+n y^ j+n z^ ke associato il vettore n= n x x+ n y y+ n z z: (6) L'Eq.(6) indica che i vettori x, ye zcostituiscono le componenti vet- toriali di un campo tensoriale (Cap. 1, Par. 1.1). Si costruisce, dunque, il 4zy j n α 180°-  α 180°- α 180°-  α dAy dA tensore degli sforzi ponendo, su ciascuna riga, le tre componenti scalari delle componenti vettoriali: =2 4 xx xy xz yx yy yz zx zy zz3 5: Gli elementi sulla diagonale rappresentano le componenti normali degli sfor- zi, mentre gli elementi rettangolari (extra-diagonali) rappresentano le com- ponenti tangenziali. Il tensore degli sforzi per un uido in quiete si riduce a una matrice diagonale con tutti gli elementi uguali ap. In forma matriciale, dunque, =pI ;(7) doveI e la matrice identitaI =2 41 0 0 0 1 0 0 0 13 5: Usando la notazione indiciale, si scrive, semplicemente, ij= p ij, con  ij delta di Kronecker ( ij= 1 se i=j, ij= 0 se i6 =j). 1.2 Equazione inde nita della statica dei uidi Prendiamo un volume in nitesimo di uido in quietedW, costituito da un parallelepipedo di latidx,dyedz, aventi le facce parallele a due a due agli assi del nostro sistema di riferimento cartesiano (Fig. 3). Possiamo scrivere la seconda legge della dinamica comeXF s+ f dW=0 :(8)Figura 3: Volumetto di controllo per la determinazione dell'equazione inde nita della statica dei uidi. Per esprimere le forze di super cie utilizziamo la nozione di pressione, in- trodotta nel paragrafo precedente, e la Meccanica del Continuo (Cap. 1, 5xz y j p dx dz p +       dy  dx dz  ∂ p ∂ y (- j ) dx dydz Par. 2.2). Innanzitutto, distinguiamo le tre facce che hanno per normali i versori^ i,^ je^ kdegli assi cartesiani (ricordando che in Meccanica dei Fluidi, per convenzione, il versore normale alla super cie e entrante nel volume) dalle tre facce parallele alle prime, e distanti da questedx,dyedz, aventi per normali i versori opposti^ i,^ je^ k. Sulle tre facce che hanno come normali^ i,^ je^ k, lo sforzo ha solo componente normale pari alla pressionep. Sulle tre facce che hanno come normali^ i,^ je^ k, la pressione si determi- na mediante un'espansione in serie di Taylor troncata al primo ordine. Ad esempio, per quanto riguarda la super cie in nitesima che ha per normale ^ i, la pressione e pari ap+@ p@ x dx . Moltiplicando la pressione per la super- cie e per il versore normale si ottiene il vettore forza che agisce su quella super cie. L'Eq.(8) diventa, dunque, pdydz^ i+ p+@ p@ x dx dydz(^ i)+ pdxdz^ j+ p+@ p@ y dy dxdz(^ j)+ pdxdy^ k+ p+@ p@ z dz dxdy(^ k) =f dW:(9) Sempli cando, condW=dxdydz, l'Eq.(9) risulta rp=f ;(10) doverp=@ p@ x i^ ii. L'Eq.(10) e l'equazione inde nita che governa la statica dei uidi. Nel caso in cui l'unica forza di volume presente sia la forza peso (statica dei uidi pesanti), la forza di volume per unita di massa risultaf =gr~ z, dovege l'accelerazione di gravita e ~ze la coordinata lungo la verticale geodetica, presa positiva verso l'alto (il gradiente di ~znon e altro che il versore associato con tale coordinata). L'Eq.(10), quindi, diventa rp=gr~ z:(11) Vale la pena notare che la scelta del sistema di riferimento e arbitraria. L'u- so di una notazione dierente per distinguere la coordinata geodetica dalla coordinatazdel nostro sistema di riferimento cartesiano e, dunque, giusti- cata. A questo punto occorre distinguere i due casi di uido comprimibile e incomprimibile. 1.2.1 Fluidi incomprimibili Nel caso di uido incomprimibile, la densita e costante e puo essere porta- ta all'interno dell'operatore gradiente nell'Eq.(11). Ammettendo che anche 6 l'accelerazione di gravita sia costante, dividendo tutto per =ge sfrut- tando la proprieta distributiva del gradiente rispetto alla somma, l'Eq.(11) si riduce a r ~ z+p  =0 ;(12) che rappresenta laLegge di Stevino[1]. Tale legge dice che la quota piezo- metrica, data dalla somma della quota geodetica ~ze dell'altezza piezometrica p= , per un uido pesante incomprimibile in quiete e costante, ~ z+p = cost= ~z P C I: (13) L'Eq.(13) indica che la pressione diminuisce linearmente con la quota geo- detica, e che il luogo dei punti a pressione costante (super ci isobare) e costituito da piani orizzontali. Si parla, in questo caso, di distribuzione idrostatica delle pressioni. Il valore della costante ~z P C Isi puo determinare se si conosce il valore della pressione in corrispondenza di una determinata quota. La costante ~z P C Iha, ovviamente, le stesse dimensioni (metri) di ~ z(e p= ). Si puo intepretare ~z P C Icome la quota geodetica del piano orizzontale in corrispondenza del quale le pressioni sono nulle, de nito piano dei carichi idrostatici (P.C.I.). La pressione in ogni punto del volume di uido puo essere determinata comep= h;(14) doveh= ~z P C I ~ ze l'aondamento del punto considerato rispetto al piano dei carichi idrostatici.Nel caso di uidi con piccolo peso speci co ( !0), se le variazioni di quota geodetica non sono troppo elevate, l'Eq.(12) sembra suggerire che sia la pressione, e non la quota piezometrica, a essere costante nel uido. L'Eq.(13) suggerisce anche che, in questo caso, il piano dei carichi idrostatici si trova all'in nito. Tale argomento non e del tutto corretto, visto che la Legge di Stevino vale solo per uidi incomprimibili, e i uidi a piccolo peso speci co non possono essere considerati tali (rimandiamo al prossimo para- grafo per una trattazione rigorosa dei uidi comprimibili). Comunque, nel caso di volumi occupati da gas, la distribuzione di pressione puo essere consi- derata uniforme, se le variazioni di quota geodetica sono piccole (dell'ordine delle decine di metri). Nel caso dell'aria, per esempio, la pressione atmosfe- rica e sostanzialmente una costante. Dal momento che, nella maggior parte delle applicazioni, l'aria e sempre presente, risulta conveniente depurare di tale costante i valori di pressione. Si de nisce, allora, pressione relativapla dierenza tra il valore di pressione non depurato (assoluto)p e la pressione atmosferica (assoluta)p atm 105 Pa. Si puo, dunque, de nire un piano dei carichi idrostatici relativo e uno assoluto; quest'ultimo si trova piu in alto del primo di una quantita pari ap atm= . In termini relativi, la pressione atmosferica risulta ovviamente nulla. Questo e particolarmente utile perche, 7 se un liquido in quiete e direttamente a contatto con l'atmosfera, la quota della super cie di interfaccia (che si chiama super cie libera) coincide con la quota del piano dei carichi idrostatici relativo (si ammette che la pressione sia continua attraverso l'interfaccia).Per la stragrande maggioranza dei uidi, gli sforzi normali possono essere solo di compressione, non di trazione. Questo equivale ad aermare che la pressione assoluta non puo essere negativa. Risulta, dunque, giusti cata la convenzione della Meccanica dei Fluidi di de nire il versore normale a una super cie come entrante nel volume (proprio per rappresentare con valori positivi lo scalare pressione assoluta). In termini relativi, invece, la pressione puo essere positiva o negativa (depressione). In ogni caso, dalla de nizione di pressione relativa, deve necessariamente valerep p atm. Quest'ultimo rappresenta un vincolo sico sui valori di pressione relativa di cui occorre tenere conto in talune situazioni. 1.2.2 Fluidi comprimibili Nel caso di uidi comprimibili la densita non e costante. Per questo mo- tivo, l'Eq.(11) da sola non e suciente per determinare la distribuzione di pressione all'interno del uido. Ad essa va aancata la legge che lega la densita alla pressione e alla temperatura, dettaEquazione di stato. Tale equazione e una caratteristica del uido in esame. Se il uido e un gas, una buona approssimazione e l'equazione di stato dei gas perfetti [3], che puo essere scritta come:p = RTM mol; (15) doveR'8:31 Jmol 1 K 1 e la costante universale dei gas perfetti,Te la temperatura eM mole la massa molare. Se ricaviamo la densita dall'Eq.(15) e la sostituiamo nell'Eq.(11), rpp = rlnp=gM molRT r ~ z:(16) L'Eq.(16) puo essere facilmente integrata se ipotizziamo che il uido sia isotermo (a temperatura costante), e risulta p=p 0exp gM molRT ( ~ z~ z 0) ;(17) dovep 0e la pressione (nota) alla quota ~ z 0di riferimento. La pressione dimi- nuisce, dunque, esponenzialmente con la quota geodetica, e non linearmente come nel caso dei uidi incomprimibili. Se per comodita sostituiamo =p=p 0e = ~zgM mol= (RT), l'Eq.(17) diventa semplicemente: = exp( 0 ):(18) 8 Espandendo in serie di Taylor nei dintorni di  0, = 1 +@ @  = 0
+O(
2 );(19) dove abbiamo usato la condizione 0= 1 e
= 0. Usando l'Eq.(18) nell'Eq.(19) otteniamo = 1
+O(
2 ):(20) Risostituendo le espressioni di e, ed omettendo i termini di ordine
2 , pp 0p 0M molRT g ( ~z~ z 0) ;(21) che con l'Eq.(15) si riduce app 0  0g ( ~z~ z 0) ;(22) cioe alla Legge di Stevino. La Legge di Stevino e, dunque, una buona ap- prossimazione anche nel caso dei gas perfetti, a patto che i termini di ordine
2 nell'Eq.(20) siano eettivamente trascurabili. Visto che nell'equazione e presente un termine di ordine 1, diciamo che la Legge di Stevino e unabuona approssimazione se
2 e al massimo di ordine 10 2 . Questo signi ca che
deve essere al massimo di ordine 10 1 . Sostituendo l'espressione di
, otteniamo un vincolo sulla variazione di quota ~ z~ z 0