Energy Engineering - Meccanica dei Solidi

Raccolta domande di teoria 25-26

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1) Descrivere il tensore degli sforzi di Cauchy Il tensore degli sforzi di Cauchy è una matrice 3x3 contenente i valori delle tensioni interne ad un solido definito come tetraedro di Cauchy, raffigurante gli stati di sforzo normali e tangenziali alle facce dello stesso. Il tensore si ricava imponendo l’equilibrio alla traslazione del tetraedro: !=0→%&'(&−%*'(*−%+'(+−%,'(,+.'/=0 dove le forze di volume . sono trascurabili in quanto infinitesimi di terzo ordine. Successivamente si deduce la simmetria del tensore tramite l’equilibrio alla rotazione intorno ai 3 assi: 0*:− %,+'(,'0,3−− %+,'(+'0+3=0⇒%+,=%,+⇒% simmetrico Risulta così che lo sforzo è caratterizzato da sole 6 componenti indipendenti. 2) Spiegare la natura matematica del legame spostamenti-deformazioni quando gli spostamenti sono piccoli L’ipotesi di piccoli spostamenti implica che la posizione finale di un punto non si discosta di molto da quella iniziale. Si può porre quindi il vettore spostamento del generico punto P come =>==+?=?0'0 dove = rappresenta la traslazione rigida e @A@B=( è il tensore gradiente di spostamento, il quale è scomponibile in una parte simmetrica e una emisimmetrica: C=*+((+(E) F=*+((−(E) che sono rispettivamente il tensore delle piccole deformazioni e il tensore delle piccole rotazioni. 3) Spiegare la differenza tra sforzo normale e sforzo tangenziale Gli sforzi normali sono sforzi agenti perpendicolarmente alle superfici ortogonali alle direzioni principali, mentre gli sforzi tangenziali sono le componenti che agiscono parallelamente alle stesse. 4) Spiegare il significato di deformazione tangenziale Le deformazioni tangenziali sono dovute agli sforzi tangenziali, ossia, considerando il tensore delle piccole deformazioni C, le componenti a indici diversi. Queste sono pari a metà degli scorrimenti angolari fra le fibre inizialmente dirette come una coppia di assi coordinati, il che vuol dire che le deformazioni tangenziali si manifestano come rotazioni delle fibre del campione. 5) In un legame costitutivo lineare, isotropo e omogeneo, una variazione di una componente normale di sforzo provoca una variazione della pressione isotropa? E del deviatore di sforzo? Lo sforzo % agente su un punto è sempre scomponibile nella somma di uno sforzo isotropo GH e una parte deviatorica, S. Siccome la pressione isotropa è data da G=13(%**+%+++%,,) è evidente che una variazione di una delle componenti normali comporta una variazione anche di p. A sua volta, il deviatore dello sforzo risente di questa variazione, dal momento che esso è definito come K=2%**−%++−%,,3%*+%*,%+*2%++−%**−%,,3%+,%,*%,+2%,,−%++−%**3 6) Scrivere la relazione tra deformazione volumetrica e pressione isotropa Essendo la deformazione volumetrica espressa dalla formula '/−'/M'/=C**+C+++C,,=H* e la pressione isotropa G=13%**+%+++%,,=13N* le due grandezze sono proporzionali tramite il fattore *O+PQ, quindi invertendo la relazione si ottiene: RSC=1−2TURS%⇒G=U31−2TH*=VH* Dove k è il modulo di compressibilità volumetrica. 7) Spiegare, se esiste, qual è il legame tra sforzi tangenziali e deformazione volumetrica Questo legame sussiste solo per quanto riguarda il cambiamento di forma del volume dV, in quanto la deformazione volumetrica vera e propria è completamente descritta dall’invariante primo delle deformazioni H* e causata dal termine di pressione idrostatica. Le τ sono causa unicamente degli scorrimenti angolari γ e del cambio di forma del volume dV, deformazione puramente deviatorica che avviene a volume costante. 8) Prendendo spunto dalla costruzione del cerchio di Mohr, definire gli sforzi principali in uno stato di sforzo piano Gli sforzi principali sono quelli identificati da vettori di sforzo diretti come la normale W della superficie sulla quale agiscono gli stessi. Sono cioè sforzi con come unica componente quella normale, e non ci sono sforzi tangenziali. Nel cerchio di Mohr identificato dalla circonferenza di raggio !=XYOXZ+++[B\+ e centro in ]=XY^XZ+,0, gli sforzi principali coincidono con i punti in cui [=0. 9) Come si estende la costruzione del cerchio di Mohr nel caso tridimensionale Nel caso 3D, la rappresentazione grafica di tutte le possibili coppie σ-τ di un volume dV è detta Arbelo di Mohr, regione compresa tra 3 cerchi di Mohr a due a due tangenti ognuno relativo a un piano principale. I punti di tangenza coincidono con i tre sforzi principali. 10) Discutere le equazioni indefinite di equilibrio per il continuo, accennando a come vengono ottenute Le equazioni indefinite si ricavano imponendo l’equilibrio globale statico di un volume dV su cui agiscono forze di superficie e di volume: ?%*?0*+?%+?0++?%,?0,+.=0 e usando la relazione di Cauchy sulle forze di superficie come condizione al contorno: R=%*W*+%+W++%,W, In questo modo si ricavano 3 equazioni con 6 incognite. Aggiungendo le 6 equazioni di congruenza si arriva a un bilancio di 9-15, risolto poi dalle equazioni del legame costitutivo del materiale, che aggiunge le 6 equazioni mancanti definendo un problema ben posto, e dotato quindi di un’unica soluzione. Oppure si possono usare le equazioni di congruenza interna al posto delle prime 9, ma si ottiene sempre un deficit di 6 equazioni, risolto dal legame costitutivo. 11) Definire il concetto di isotropia e l’effetto che esso ha sul legame costitutivo lineare elastico Si definisce isotropo un materiale le cui proprietà meccaniche sono uguali in tutte le direzioni. In un materiale isotropo, le costanti elastiche sono uguali lungo 0`,0`` e 0```. 12) Spiegare come si ottiene la relazione diretta degli sforzi come funzione delle deformazioni a partire da quella inversa che esprime le deformazioni in funzione degli sforzi Nei materiali isotropi, la funzione energia di deformazione dipenderà solo dagli invarianti, e siccome è una forma quadratica dovrà dipendere in modo quadratico da H* e in modo lineare da H+: F=12a+2b H*+−2b H+ dove le due costanti λ e G sono le costanti di Lamè. Esplicitando le equazioni del legame e calcolando le derivate si ottiene il legame diretto per i materiali isotropi: %cd=?F?Ccd=a RSC+2b Ccd Per definire la forma inversa si fa uso del modulo di Young E e del coefficiente di Poisson ν, legati alle costanti di Lamè tramite le relazioni a=UT1+T1−2T b=U2(1+T) ottenibili partendo dall’equazione del legame diretto [=b∙f e inverso f=+(*^P)Q[ e confrontandole. 13) Discutere i valori limite del coefficiente di Poisson Il coefficiente di Poisson rappresenta il rapporto tra la deformazione trasversale e quella assiale, a meno del segno: T=−C\CB esso varia tra -1 e *+, condizione per la quale il materiale rimanga stabile, ossia si deformi solo con un’immissione di energia. I due valori si ottengono ponendo positivi i determinanti dei minori principali del tensore rigidezza g. I limiti posti hanno un significato meccanico preciso: • Per T>−1⇒b>0, il che vuol dire che a uno sforzo di taglio corrisponde una deformazione angolare dello stesso segno; • Per T0, che assicura che a uno sforzo di pressione corrisponde una diminuzione del volume (per T→*+⇒V→∞, e si hanno i cosiddetti materiali incomprimibili). 14) Descrivere il comportamento dei materiali oltre il tratto elastico Il comportamento elastico di un materiale è limitato da un valore di sforzo detto di snervamento, oltre il quale la lunghezza della barra aumenta bruscamente anche senza variare il carico applicato. Questo comportamento è di tipo plastico, e coincide con la fase di incrudimento del materiale, fase durante la quale non c’è alcuna linearità tra sforzi e deformazioni, le quali risultano irreversibili. La fase incrudente è quella che precede la rottura del provino. 15) Descrivere il criterio di resistenza di Galileo-Rankine e darne la rappresentazione nel caso si tratti di stati di sforzo tridimensionale o piano. Perché esso non va bene coi materiali duttili? Il criterio di Galileo-Rankine assume come GIP lo sforzo normale agente su una generica superficie passante per il punto del solido in esame. La formula che esprime il criterio è quindi %k