Energy Engineering - Fondamenti di Meccanica Teorica e Applicata

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FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 16-01-2018Esercizio 1 Il sistema rappresentato in gura, posto nel piano verticale, e composto da un disco omogeneo di cen- troA, raggioR De massa M D, che rotola senza strisciare su una guida rettilinea inclinata di un angolo. Il centro del disco scorre, in assenza di attrito, all'interno di un glifo incernierato inO. Il suddetto glifo ha massaM G, momento d'inerzia baricentricoJ Ge baricentro in G. Il contatto disco- guida e caratterizzato da un coeciente di attrito staticof se un coeciente di resistenza al roto- lamentof v. Al centro del disco, nel punto A, e applicata una forza~ Fparallela al piano. Nota la geometria del sistema e note la velocita~v e l'accelerazione~adel puntoAsi richiede di: 1. determinare i vettori velocita ed accelerazione del puntoG; 2. determinare il valore della forzaFtale da garantire il moto imposto; 3. eseguire la veri ca di aderenza del disco. Esercizio 2Il sistema meccanico, posto nel piano verticale, e composto da un motore con caratteristica assegnata e inerziaJ m. La trasmissione e caratterizzata da un rapporto di trasmissione , rendimento diretto De rendimento retrogrado  R. Ad essa e collegata una puleggia di massa MPe raggio R P, collegata mediante una fune, ad un corpo di massa m che striscia su un piano inclinato di un angolo. All'altro estremo della fune e collegato un disco di massaM De raggio RDche rotola senza strisciare sul corpo di massa m. Al disco e applicata una coppia costante ~ CD. Il contatto corpo-piano inclinato e caratterizzato da un coeciente di attrito dinamico f d, mentre il contatto disco-corpo e caratterizzato da un coeciente di resistenza al rotolamentof v. Nell'ipotesi di corpo di massamin salita e sapendo chem=M D, si richiede di determinare: 1. l'accelerazione allo spunto del puntoA; 2. la coppia motrice a regime; 3. a partire dalla condizione del punto 2, l'accelerazione del puntoAnell'istante in cuiC m= 0; 4. il tiro della fune nella sezioneBBnelle condizioni del punto 1.gfs , f v O G
v, a A F gfd
A 1 Soluzione esercizio 1 1.1determinare i vettori velocita ed accelerazione del puntoGFigura 1: Chiusura vettoriale Siaaei il segmentoOB,bei il segmentoBAecei il segmentoOA, con, , riferiti all'orizzontale verso destra. L'equazione di chiusura diventa aei +bei =cei (1) che derivata_ bei = _cei + _ cei ( +=2) (2) dove_ b=v. Derivando ulteriormente si ottiene bei = cei + 2 _ _ cei ( +=2) +  cei ( +=2) + _ 2 cei ( +) (3) dove b=a. Quindi i vettori velocita ed accelerazione del puntoGsi ottengono come segue ~vG=~ _ ^(GO) = _ ~ k^(GOcos ~ i+GOsin ~ j) =v Gx~ i+v Gy~ j(4) ~aG=~  ^(GO)_ 2 (GO) =a Gx~ i+a Gy~ j(5) 1.2determinare il valore della forzaFtale da garantire il moto imposto L'energia cinetica dell'intero sistema e Ec=12 M G~v G ~v G+12 J G~! G ~! G+12 M D~v A ~v A+12 J D~! D ~! D(6) doveJ D=M DR22 , ~! G= _ ~ k,~v A= ~v(dato) e~! D= vR D~ k. Applicando quindi il teorema dell'energia cinetica il termine di potenza delle forze attive e WA=~ F~v A+ M G~g ~v G+ M D~g ~v A(7) mentre il termine di potenza delle forze reattive e dato dal solo contributo della resistenza a rotolamento del discWR= (~ N^~u)~! D(8) 1O
AB Si ottiene quindi la seguente equazione F vA M Ggv Gy M Dgv Ay N f vv A= M G~v G ~a G+ J G~! G~ _ ! G+32 M D~v A ~a A(9) Per calcolare la reazione~ Nsi isola il disco e si mettono in evidenza tutte le azioni che agiscono su di esso come mostrato in gura 2. Considerando il solo sotto-sistema glifo e possibile scrivere l'equazione diFigura 2: Azioni agenti sul disco e glifo equilibrio alla rotazione rispetto al puntoO(cerniera a terra) per ottenere la reazioneR A. Quest'ultima risulta essere sempre perpendicolare alla guida del glifo in quanto il vincolo inAe schematizzabile come un carrello. Prendendo in considerazione il solo disco e scrivendo l'equazione di equilibrio lungo la direzione perpendicolare al piano inclinato, si determina la reazioneN N+R Asin( =2)M Dg cos= 0 (10) 1.3eseguire la veri ca di aderenza del disco La veri ca di aderenza del disco segue la seguente relazione j~ Tj