Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 31/8/2022 ˆ Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l'esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. ˆRisolvere i seguenti esercizi con l'ausilio di Matlab. ˆLa durata del compito e di 90 minuti. ˆQuesto esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. ˆSvolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data ˆPer ciascun esercizio consegnare su webeep un le nominato, ad esempio, \eser- cizio1.m" con il codice Matlab sviluppato. ˆPer utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso, e necessario aggiun- gere la cartella con il comandoaddpath functions2022.Esercizio 1 (punti 11) Si consideri la seguente funzionefde nita f(x) =xsin(2x)ex perx2h 4 ; 4 i Fissando una tolleranza pari a 10 6 risolvere i seguenti punti giusti cando tutti i pas- saggi. (a)(4 punti) Rappresentare gra camente la funzionefe una retta di equazioney= 0. Valutare approssimativamente il numero e la posizione degli zeri della funzione f. Utilizzando l'algoritmo di bisezione e possibile calcolare tutti gli zeri dif? Per questi, de nire un opportuno intervallo e applicare l'algoritmo di bisezione. Riportare i valori e il numero di iterazioni ottenuti. [T+M] (b)(3 punti) Introdurre il metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione.Per ciascuno zero difselezionare un opportuno valore iniziale (non uguale allo zero stesso) in modo che l'algoritmo converge. Riportare i valori e il numero di iterazioni ottenuti applicando il metodo di Newton. Cosa si osserva? [T+M] (c)(4 punti) Introdurre il metodo di Newton modi cato dettagliando in quali casirisulta utile. Calcolare nuovamente gli zeri dif, cosa si osserva? [T+M] Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 31/8/2022 Esercizio 2 (punti 10) Si consideri la seguente funzionefde nita f(x) =x2 sin3 xperx2[0;2] Sapendo che l'integrale inde nito dife dato da I(x) =1108 ( 81(2 +x2 ) cos(x) + (2 + 9x2 ) cos(3x)6x(27 sin(x) + sin(3x))) +c (a)(4 punti) Introdurre l'algoritmo di quadratura composita del punto medio, speci -cando l'ordine di accuratezza. Si approssimi l'integraleI=R 2 0f (x)dxutilizzando la formula di quadratura composita del punto medio con un numero di sotto-intervalli variabile tra 1 e 10, si valuti analiticamente l'integrale esatto e si riporti il valore dell'errore al variare del numero di sotto-intervalli. Cosa si osserva? [T+M] (b)(3 punti) Introdurre l'algoritmo di quadratura composita dei trapezi, speci candol'ordine di accuratezza. Si approssimi l'integraleI=R 2 0f (x)dxutilizzando la for- mula di quadratura composita dei trapezi con un numero di sotto-intervalli variabile tra 1 e 10, si valuti analiticamente l'integrale esatto e si riporti il valore dell'errore al variare del numero di sotto-intervalli. Cosa si osserva? [T+M] (c)(3 punti) Introdurre l'algoritmo di quadratura composita di Simpson, speci candol'ordine di accuratezza. Si approssimi l'integraleI=R 2 0f (x)dxutilizzando la for- mula di quadratura composita di Simpon con un numero di sotto-intervalli variabile tra 1 e 10, si valuti analiticamente l'integrale esatto e si riporti il valore dell'errore al variare del numero di sotto-intervalli. Cosa si osserva? [T+M]Page 2 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 31/8/2022 Esercizio 3 (punti 9) Si consideri il seguente problema dierenziale di tipo diusione-reazione (u00 (x) +u(x) =(4+ 1) sin(2x);0< x