Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

Full exam

Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2022/2023 - 30/6/2023 ˆ Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l'esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. ˆRisolvere i seguenti esercizi con l'ausilio di Matlab. ˆLa durata del compito e di 90 minuti. ˆQuesto esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. ˆSvolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data ˆPer ciascun esercizio consegnare su webeep un le nominato, ad esempio, \eser- cizio1.m" con il codice Matlab sviluppato. ˆPer utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso e fornite per l'esame, e necessario aggiungere la cartella con il comandoaddpath functions2023.Esercizio 1 (punti 10) Si consideri la seguente funzione f(x) =xsin(x) perx2[1;1] (a)(1 punto) [M] Si rappresentifin Matlab e si identi chi il valoretale per cui f() = 0. (b)(3 punti) [T] Derivare il metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione,riportando anche le sue proprieta di convergenza. (c)(2 punti) [M] Applicare il metodo di Newton per il calcolo di, partire da un valore iniziale pari ax 0= 0 :5 e impostare una tolleranza pari a 10 8 . Rappresentare in scala semilogy l'errore ottenuto e commentare alla luce della teoria. (d)(2 punti) [T] Si proponga una modi ca al metodo di Newton per il calcolo deglizeri a molteplicita algebrica maggiore di 1. (e)(2 punti) [M] Si estenda opportunamente la functionnewton.min modo da imple- mentare quanto proposto al punto precedente. Utilizzando questa nuova funzione ripetere quanto fatto al punto c, sovrapponendo gli errori sullo stesso gra co. Com- mentare i risultati ottenuti. Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2022/2023 - 30/6/2023 Esercizio 2 (punti 10) Si consideri la seguente matrice A=2 6 6 6 6 41 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 703 7 7 7 7 5 che si puo costruire con il comando Matlabpascal(n)dovene la dimensione della matrice. (a)(3 punti) [M+T] Enunciare la condizione necessaria e suciente per l'esistenza eunicita della fattorizzazione LU e veri care (con opportuni comandi) che e soddis- fatta per la matriceAdi dimensionen= 5. (b)(3 punti) [M] Data la soluzione esattax= [1;1: : : ;1]T costruire il termine notob e risolvere il sistema lineareAx=butilizzando i) la fattorizzazione LU ii) i metodi di sostituzione in avanti e all'indietro implementati nelle funzioni fornire. Veri care se e stato eettuato il pivoting. (c)(4 punti) [M+T] Ripetere i passaggi al punto precedente per matrici di dimensionen= 10, 15 e 20. Per ognuno dei casi calcolare la norma dell'errorerelativoe il condizionamento della matrice e rappresentarli su due gra ci in scala logaritmica. Commentare i risultati alla luce della teoria.Page 2 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2022/2023 - 30/6/2023 Esercizio 3 (punti 10) Si consideri il seguente problema gia arontato nella parte 1 dell'esame 8 > < > :@ tu @ xxu = 1 0< x < ; t >0 u(t;0) =u(t; ) = 0t >0 u(0; x) = 0 0< x < : (a)(5 punti) [T] Introdurre brevemente l'approssimazione del problema con il metododegli elementi niti in spazio, e un generico theta-metodo in tempo. Derivarne l'espressione matriciale (senza dettagliare i singoli elementi delle matrici). (b)(3 punti) [M] Si consideri una griglia di ampiezza uniformeh=20 . Si risolva il problema con il metodo di Eulero Esplicito, usando un passo temporale
t= 0:25, quindi si ripeta il calcolo con
t= 0:0025. Si utilizzi la functionheatsolvefornita. Si rappresentino le soluzioni utilizzando la functionxtplotfornite e si commenti il risultato alla luce della teoria. (c)(2 punti) [M] Si risolva ora il problema con il metodo di Eulero Implicito, scegliendo
t= 0:25. Si rappresenti il valore della soluzione numerica al centro del dominio, in tempo:u h( t;2 ) (da estrarre con un metodo a scelta). Cosa si osserva?Page 3