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Mechanical Engineering - Misure Termiche e Meccaniche

First partial exam

Esercizi per I prova in itinere - fila A Esercizio 1 La densità di un oggetto in materiale non noto viene misurata indirettamente attraverso le misure della sua massa e del suo volume. Il volume viene misurato immergendo l’oggetto in un recipiente contenente un liquido e osservando la variazione di livello. Il recipiente è cilindrico di diametro ������ = 100  ������������ (con incertezza trascurabile) e il livello del fluido è controllato attraverso una scala graduata di risoluzione 1  ������������ disposta sulla parete laterale del recipiente. Il livello iniziale del liquido (prima di inserire l’oggetto) è ℎ 4 = 250 ������������ . Una volta inserito l’oggetto il livello sale a ℎ 5 = 410 ������������ . La massa dell’oggetto è misurata con una bilancia di fondo scala 5  ������������ e il produttore dichiara un’incertezza strumentale pari allo 0.5% del fondo scala. 1. Da una singola misura della massa dell’oggetto si ottiene il valore 3392  ������ . Si esprima la misura del valore di densità dell’oggetto in unita del S.I. utilizzando un livello di confidenza del 95% per l’espressione dell’incertezza. 2. Avendo la possibilità di ripeter più volte la misura della massa dell’oggetto, si determini il numero minimo di misure ripetute da effettuare per avere un’incertezza sulla stima della densità con un livello di confidenza del 95% non superiore all’1% del valore nominale. Soluzione Si considera innanzitutto l’espressione del volume dell’oggetto, ottenibile dalla differenza di volume occupato dal liquido e oggetto insieme e il volume occupato dal solo liquido. Il primo si ottiene considerando il livello ℎ 5 e il secondo considerando il livello ℎ 4. ������ � � � = π ⋅ ������ 6 ⋅ ℎ 4 4 ������ � � � > � � � = π ⋅ ������ 6 ⋅ ℎ 5 4 ������ � � � = ������ � � � > � � � − ������ � � � = π ⋅ ������ 6 4 (ℎ 5 − ℎ 4) Si ricava quindi l’espressione della densità come ρ = ������ ������ = 4 ⋅ m π ⋅ d 6 ⋅(h 5− h 4) Considerando il valore di massa misurata ������ = 3.392   ������������ si ottiene il valore numerico della misura di densità: ρ = 4 ⋅ 3.392kg π ⋅ (0.1m ) 6⋅(0.410m − 0.250m )= 2699.2678  kg m 7 Per il calcolo dell’incertezza vanno innanzitutto considerate le incertezze tipo dei singoli parametri. Poiché il diametro del recipiente ha incertezza trascurabile, i parametri da considerare sono la massa e i due livelli raggiunti dal liquido. L’incertezza sulla massa, trattandosi di una singola misurazione, sarà pari all’incertezza strumentale della bilancia. L’incertezza sui livelli di liquido si può invece desumere dalla risoluzione della scala graduata ipotizzando una distribuzione uniforme. ������ � = σ � � � = 0.005 ⋅ ������������ � � � = 0.005 ⋅ 5 ������������ = 0.025  ������������ ������ � , = ������ � - = ������ 2√3 = 0.001 ������ 2√3 = 2.887 × 10 ? 8  m Si considera quindi l’espressione dell’incertezza combinata ������ � = � l ∂ρ ∂������ ⋅������ � p 6 + l ∂ρ ∂ℎ 4 ⋅������ � , p 6 + l ∂ρ ∂ℎ 5 ⋅������ � - p 6 Si calcolano i pesi associati a ciascun valore di incertezza ∂ρ ∂������ = 4 π ⋅ d 6 ⋅(h 5− h 4)= 4 π ⋅ (0.1m ) 6⋅(0.410m − 0.250m ) = 795.77 m ? 7 ∂ρ ∂ℎ 4 = 4 ⋅ m π ⋅ d 6 ⋅(h 5− h 4) 6 = 4 ⋅ 3.392kg π ⋅ (0.1m ) 6⋅(0.410m − 0.250m ) 6 = 16870  kg m 8 ∂ρ ∂ℎ 5 = − 4 ⋅ m π ⋅ d 6⋅(h 5− h 4) 6 = − 4 ⋅ 3.392kg π ⋅ (0.1m ) 6⋅(0.410m − 0.250m ) 6 = −16870  kg m 8 Sostituendo nell’espressione dell’incertezza combinata si ottiene l’incertezza tipo sulla misura di densità ������ � = � (795.77m ? 7 ⋅ 0.025 ������������ ) 6+ l16870 kg m 8⋅ 2.887 × 10 ? 8 m p 6 + l−16870 kg m 8⋅ 2.887 × 10 ? 8 m p 6 = � 395.78 ������������ 6 ������ : + 23.72 ������������ 6 ������ : + 23.72 ������������ 6 ������ : = 21  ������������ ������ 7 Poiché è richiesta l’espressione dell’incertezza con un livello di confidenza del 95%, si assume una distribuzione gaussiana dell’incertezza combinata e si utilizza un fattore di copertura pari al quantile 0.975 della distribuzione ������ �, = 9 % = ������ � � � ⋅������ = 9 % = 21 ������������ ������ 7⋅ 1.96 = 41  ������������ ������ 7 La misura dalla densità espressa in unità del S.I. risulta quindi ρ = 2699 ± 41  ������������ ������ 7 (������.������. 95% ) Per la seconda parte è necessario calcolare il valore di incertezza tipo sulla massa necessario per ottenere l’incertezza estesa sulla densità richiesta. Si tratta quindi di applicare in senso inverso l’espressione dell’incertezza combinata. ������ �, = 9 % ∗ = 0.01 ⋅ ρ = 0.01 ⋅ 2699 kg m 7 = 27  kg m 7 ������ �∗ = ������ �, = 9 % ∗ ������ = 9 % = 13.78  kg m 7 ������ �∗ = ± � ������ �∗ 6− l ∂ρ ∂ℎ 4 ⋅������ � , p 6 − l ∂ρ ∂ℎ 5 ⋅������ � - p 6 ∂ρ ∂m = ± � 189.76 kg 6 m : − 23.72 kg 6 m : − 23.72 kg 6 m : 795.77m ? 7 = 0.015 kg Il valore di incertezza ricavato può essere ottenuto effettuando un numero sufficiente di misure ripetute della massa. Si considera l’espressione dell’incertezza tipo di tipo A, nel caso in cui la varianza della popolazione sia nota ������ = σ √������ da cui si ottiene ������ = l σ � � � ������ �∗ p 6 = l 0.025 ������������ 0.015 ������������ p 6 = 2.78   ⇒   ������ � � � = 3 Esercizio 2 Una cella di carico a compressione è formata da un cilindro di diametro ������ = 25 ������������ (������ = 70������������������ , ν = 0.3 ) estensimetrato con due estensimetri a conduttore metallico di resistenza nominale ������ = 120  Ω . Gli estensimetri sono condizionati da una centralina che alimenta e misura i lati del circuito a ponte di Wheatstone mostrato in figura. La centralina, una volta amplificato il segnale ������ � � � per un fattore ������, esegue il campionamento del segnale attraverso un convertitore AD a 8 bit di fondo scala 0 ÷ 10  V . La cella è realizzata per misurare solo carichi di compressione fino a un valore massimo di ������ � � � = 100 ������������ . 1. Indicare la disposizione degli estensimetri sul corpo cilindrico all’interno del circuito elettrico, in modo che siano compensati gli effetti termici. A tal fine tenere presente che, secondo lo schema elettrico in figura, variazioni positive di resistenza sul lato 1 generano una tensione ������ � � � positiva. 2. Sapendo che la tensione di alimentazione del ponte è ������ 4 = 2.5 ������ , determinare il valore del guadagno ������ necessario per sfruttare l’intero fondo scala del convertitore AD. 3. Determinare la risoluzione in ������ della cella di carico. Soluzione Al fine di ottenere la compensazione degli effetti termici è necessario impiegare i due estensimetri su due lati contigui del ponte. Un estensimetro viene allora collocato in direzione assiale rispetto al carico, mentre il secondo in direzione trasversale. Poiché la cella è realizzata per misurare carichi di compressione e la tensione di uscita deve essere positiva, l’estensimetro disposto in direzione assiale deve trovarsi su un lato in cui la variazione di resistenza positiva crei uno sbilanciamento negativo, ossia il lato 2 o 3. Il secondo estensimetro viene quindi posizionato sul lato 1 o 3. Di seguito vengono usati i lati 1 e due come mostrato in figura. Al fine di sfruttare l’intero fondo scala del convertitore AD è necessario che l’uscita amplificata del ponte sia pari al valore massimo del fondo scala quando è applicato il carico massimo previsto ( ������ � � � ). Si considera quindi innanzitutto l’espressione della tensione a valle dell’amplificatore della centralina (solo lato 1 e lato 2 attivi) ������ � � � � � = G ������ 4 4 l Δ������ 5 ������ 5 − Δ������ 6 ������ 6 p = G ������ 4 4 k(ε 5 − ε 6 − ) = G ������ 4 4 k(−νε r− ε r) = G ������ 4 4 k(1 + ν )ε a dove ε � indica la deformazione di compressione, che può essere calcolata come ε � = ������ ������ ⋅������ = 4 ⋅ ������ ������ ⋅ π ⋅ ������ 6 Sostituendo nell’espressione di ������ � � � � � si ottiene ������ � � � � � = ������ ������ 4 ������ ������ π  ������ 6(1 + ν ) F Imponendo ������ � � � e ������ � � � � � , � � � = 10  ������ si ottiene il guadagno della centralina ������ = ������ � � � � � , � � � ������ � � � ������ π  ������ 6 ������ 4 ������ (1 + ν ) == 10 ������ 100000 ������ 70000 ������ ������������ 6⋅ π ⋅ 625 ������������ 6 2.5 ������ ⋅ 2 ⋅ 1.3 = 2115 È possibile ricavare la risoluzione della cella in unità di forza considerando che il fondo scala in ������ viene diviso in 2 � livelli, con ������ il numero di bit del convertitore. Questo è vero perché il guadagno è stato calcolato per sfruttare l’intero fondo scala in ������ con valori di forza tra 0 e ������ � ������������ . Si ottiene quindi ������ � = ������������ � 2 � = ������ � � � 2 � = 100000 ������ 256 = 390.625 N