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Mechanical Engineering - Meccanica dei Fluidi

Raccolta dimostrazioni principali domande

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1 STATICA DEI FLUIDI PRESSIONE = determiniamo la pressione analizzando il tetraedro di Cauchy . Per farlo applichiamo la seconda legge della dinamica semplificata al caso statico. In questo caso possiamo trascurare la forza di volume perché è di un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla forza di superficie ∑ ��̅ + ∑ ��̅̅̅= 0̅ ��̅̅̅= ��̅�� ∑ ��̅ = ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� �+ ��̅�� = 0̅ ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� �+ ������̅��� = 0̅ ������̅�= �������� �̂ ������̅�= �������� �̂ ������̅�= ���������̂ ������̅�= �������� �̂ �������� �̂�� �+ �������� �̂�� �+ ���������̂�� �+ �������� �̂�� = 0̅ Proietto lungo la direzione y: �������� �� �+ �������� ���� = 0 �� �= −���� �������� (−���� )+ �������� ���� = 0 �������� = �������� Così anche in tutte le altre direzioni e ottengo: �������� = �������� = �������� = �������� = � TENSORE DEGLI SFORZI = grazie all’analisi del tetraedro di Cauchy possiamo definire il tensore degli sforzi che ha come elementi della diagonale principale le componenti normali degli sforzi mentre fuori dalla diagonale principale ha le componenti tangenziali Φ̅̅ = [ �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ] TENSORE DEGLI SFORZI IN STATICA = per un fluido in quiete le componenti tangenziali degli sforzi sono nulli quindi il tensore degli sforzi si semplifica come segue: Φ̅̅ = [ �������� 0 0 0 �������� 0 0 0 �������� ]= [ �������� 0 0 0 �������� 0 0 0 �������� ]= [ � 0 0 0 � 0 0 0 � ]= �[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]= �I̅̅ ∇Φ̅̅ = ��������̅̅̅ �� �̂+ ��������̅̅̅ �� �̂+ ��������̅̅̅ �� �̂ 2 EQUAZIONE INDEFINITA DELLA STATICA = ricaviamo ora l’equazione indennità della statica dei fluidi analizzando un parallelepipedo infinitesimo di volume. Anche in questo caso deve valere la seconda legge della dinamica semplificata al caso statico. In questo caso non possiamo sperò semplificare la forza di volume perché non è di un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla forza di superficie . Per calcolare le forse di superfice sfruttiamo la meccanica del continuo ∑ ��̅ + ∑ ��̅̅̅= 0̅ ��̅̅̅= ��̅�� �� = ������ ��̅̅̅= ��̅������ ��̅ = ����� �̂+ (�+ �� �� �� )���� (−�̂)+ ����� �̂+ (�+ �� �� �� )���� (−�̂)+ ����� �̂+ (�+ �� �� �� )���� (−�̂)= = �� �� ������ (−�̂)+ �� �� ������ (−�̂)+ �� �� ������ (−�̂)= = − �� �� ������ �̂− �� �� ������ �̂− �� �� ������ �̂ − �� �� ������ �̂− �� �� ������ �̂− �� �� ������ �̂ + ��̅������ = 0̅ − �� �� ��� ��� �̂− �� �� ������ �̂− �� �� ������ �̂ = −��̅������ �� �� ������ �̂+ �� �� ������ �̂+ �� �� ������ �̂ = ��̅������ ∇�= ��̅ EQUAZIONE INDEFINITA DELLA STATICA PER FLUIDI PESANTI = s e consideriamo come forza unitaria di volume la forza peso otteniamo: �̅= −�∇�̃ ∇�= −�� ∇�̃ EQUAZIONE INDEFINITA DELLA STATICA PER FLUIDI PESANTI INCOMPRIMIBILI (LEGGE DI STEVINO) = s e consideriamo un fluido incomprimibile abbiamo la densità costante. In questo cas o dunque possiamo considerare costante anche il prodotto tra densità e accelerazione di gravità , il peso specifico . �= ���� �= �� = ���� ∇�= −�� ∇�̃ ∇� � = −�� ∇�̃ � ∇� � = −∇�̃ ∇� � + ∇�̃= 0̅ 3 ∇(�̃+ � �)= 0̅ Abbiamo così ottenuto la legge di Stevino che afferma che la quota piezometrica per un fluido pesante incomprimibile in quiete è costante. La quota piezometrica è la somma della quota geodetica �̃ e dell’altezza piezometrica �/�. Questa legge indica che la pressione diminuisce linearmente con la quota geodetica. Tale legge è valida solo per i fluidi incomprimibili e in questi casi è sufficiente per determinare la distribuzione della pressione nel fluido ANDAMENTO PRESSIONE NEI FLUIDI COMPRIMIBILI = se siamo invece in presenza di un fluido c omprimibile la legge di Stevino non è più valida e dunque occorre utilizzare la legge indefinita della statica dei fluidi che abbiamo visto precedentemente. In questi casi inoltre questa equazione non è più suff iciente per determinare la distribuzione della pressione nel fluido: occorre infatti un’altra equazione, nota come equazione di stato, che lega la densità alla pressione e alla temperatura. Se il fluido comprimibile è un gas l’equazione di stato è la segue nte: � �= �� ���� �= ����� �� ∇�= −�� ∇�̃ ∇�= − ����� �� �∇�̃ ∇� � = − (����� �� �∇�̃):� ln �= − ���� �� �∇�̃ �= �0exp [−����� �� (�̃− �̃0)] EQUAZIONE GLOBALE DELLA STATICA DEI FLUIDI PESANTI = spesso può essere utile determinare la forza finita che un fluido in quiete esercita su una certa superficie e non conoscere il valore della pressione in un determinato punto. A questo scopo ricaviamo l’equazione globale della statica dei fluidi integra ndo l’equazione indefinita della statica dei fluidi su un volume finito detto volume di controllo: ∫ ∇��� � = ∫ ��̅ � �� ∫ ∇��� � = ��� ��� �������������� = − ∫ ��̂�� ������ = Π�̅̅̅̅ ∫ −�� ∇�̃ � �� = �̅ �̅+ Π�̅̅̅̅= 0̅ 4 SPINTE STATICHE SU SUPERFICIE PIANA = vediamo ora come determinare le spinte su una superficie piana. Consideriamo una superficie piana generica di area A che giace su un piano inclinato di un certo angolo � rispetto al piano dei carichi idrostatici di un fluido pesante incomprimibile in q uiete. Definiamo retta di sponda l’intersezione tra il piano dei carichi idrostatici e il piano in cui giace la superficie. Fissiamo poi un sistema di riferimento in cui l’asse Y coincide con la retta di sponda e l’asse X giace sul piano contenente A ed è ortogonale a Y. La forza esercitata dalla superficie del fluido è rappresenta dalla seguente equazione: Π̅�= ∫ ��̂ ������ �� = = �̂∫ � ������ �� = = �̂∫ �ℎ ������ �� = = �̂∫ �� sin � ������ �� = = �̂�sin �∫ � ������ �� = = �̂�sin ����= = �̂�ℎ�� = = �̂��� �̅= −Π̅�= −�̂��� La spinta che il fluido esercita sulla superficie è dunque un vettore caratterizzato da modulo, verso e direzione identificata dalla retta di applicazione : ������= � � = �������+ �� �������= �� � ������= ��� � CINEMATICA DEI FLUIDI VELOCITA’ = si definisce velocità di una particella di fluido: �̅= ��̅ �� = ��� �� �������̂= ���̂ ACCELERAZIONE = si definisce accelerazione di una particella di fluido: �̅= �2�̅ ��2= �2�� ��2�������̂= ��̅ �� = ��� �� �������̂ �= �ℎ ℎ= �sin � ��= ∫ � ������ �� � ∫ � ������ �� = ��� ℎ�= sin ��� ��= �ℎ� 5 DINAMICA DEI FLUIDI BILANCIO DI MASSA IN FORMA INDEFINITA LAGRANGIANA = il bilancio di massa per una particella di fluido afferma semplicemente che la massa si deve conservare. A partire da questo concetto è possibile ricavare l’espressione del bilancio di massa in forma indefinita lagrangiana: �� �� = 0 � = �� = ���� �� �� = ��� �� + � �� �� = 0 (��� �� + � �� �� ):� = 0 � ��� �� 1 � + �� �� = 0 �� �� 1 � = ∇∙�̅ �∇∙�̅+ �� �� = 0 BILANCIO DI MASSA IN FORMA INDEFINITA EULERIANA = per ricavare il bilancio di mass a in forma indefinita euleriana occorre applicare il principio di conservazione della massa a un parallelepipedo di volume infinitesimo. Sempre tenendo conto della validità d ella meccanica del continuo si deve imporre l’uguaglianza tra la massa accumulata e quella complessivamente entrata ����� �������� = ��������� + ��������� + ��������� ����� ������� = (���+ �� �� �� )�������� + (���+ �� �� �� )�������� + (���+ �� �� �� )�������� ����� ���������� = ����� �������� − ����� ������� = = ��������� +������ ��� +��������� −(���+�� �� �� )�������� −(���+�� �� �� )�������� −(���+�� �� �� )�������� = = −�� �� �� �������� −�� �� �� �������� −�� �� �� �������� ����� ����� ��������������������� ������� = �� �� �������� ����� ���������� = ����� ����� ��������������������� ������� −�� �� �� �������� −�� �� �� ������ �� −�� �� �� �������� = �� �� �������� −�� �� �� −�� �� �� −�� �� �� = �� �� −∇∙(��̅)= �� �� �� �� + ∇∙(��̅)= 0 6 PASSAGGIO DA LAGRANGIANA A EULERIANA = vediamo ora come passare dalla forma lagrangiana a quella euleriana : �∇∙�̅+ �� �� = 0 ∇∙�̅= ��� ��� �∇∙�̅= ���� ���= �� �� ���+ ���� ���= �(���) ��� = ∇∙(��̅) �∇∙�̅+ �� �� = ∇∙(��̅)+ �� �� BILANCIO DI MASSA IN FORMA GLOBALE = ricaviamo ora la forma globale del bilancio di massa che permette di introdurre il flusso di massa, detto anche portata massica. Ricordiamo che per arrivare a definire la portata massica dobbiamo “dividere” in due la su perficie una in cui il prodotto tra il versore e la velocità è positivo (massa entrante nel volume) e una in cui il prodotto tra il versore e la velocità è negativo (massa uscente dal volume): ∫ �� �� �� � + ∫ ∇∙(��̅) � �� = 0 ∫ �� �� �� � = � �� ∫ ��� � ∫ ∇∙(��̅) � �� = ��� ��������������� = − ∫ ��̅ ������ �̂�� = ��− �� � �� ∫ ��� � + ��− ��= 0 � �� ∫ ��� � = ��− �� BILANCIO DI QUANTITA’ DI MOTO IN FORMA INDEFINITA = ricaviamo questa equazione applicando la seconda legge della dinamica ad un parallelepipedo di volume infinitesimo ∑ ��̅ + ∑ ��̅̅̅= ��������̅̅̅̅ ��������̅̅̅̅= ��̅�� �� = ������ ��������̅̅̅̅= ��̅������ ��̅̅̅= ��̅�� �� = ������ ��̅̅̅= ��̅������ ��̅ = �������̅̅̅̅���� �̂+(�������̅̅̅̅+��������̅̅̅̅ �� �� )���� (−�̂)+ �������̅̅̅���� �̂ +(�������̅̅̅+��������̅̅̅ �� �� )���� (−�̂)+�������̅̅̅̅���� �̂ +(�������̅̅̅̅+��������̅̅̅̅ �� �� )���� (−�̂)= = ��������̅̅̅ �� ������ (−�̂)+ ��������̅̅̅ �� ������ (−�̂)+ ��������̅̅̅ �� ������ (−�̂)= 7 = − ��������̅̅̅ �� ������ �̂− ��������̅̅̅ �� ������ �̂− ��������̅̅̅ �� ������ �̂ − ��������̅̅̅ �� ������ �̂− ��������̅̅̅ �� ������ �̂− ��������̅̅̅ �� ������ �̂+ ��̅������ = ��̅������ − ��������̅̅̅ �� �̂− ��������̅̅̅ �� �̂− ��������̅̅̅ �� �̂+ ��̅= ��̅ ��̅− ��̅= ��������̅̅̅ �� �̂+ ��������̅̅̅ �� �̂+ ��������̅̅̅ �� �̂ �(�̅− �̅)= ∇Φ̅̅ A seconda di come viene espressa l’accelerazione si può ottenere la forma lagrangiana o euleriana del bilancio di quantità di moto BILANCIO DI QUANTITA’ DI MOTO IN FORMA LAGRANGIANA = in questo caso l’accelerazione viene espressa in forma lagrangiana: �̅= ��̅ �� �̅= −�∇�̃ �(�̅− �̅)= ∇Φ̅̅ �(−�∇�̃− �̅)= ∇Φ̅̅ −�� ∇�̃− ��̅= ∇Φ̅̅ −∇Φ̅̅− �� ∇�̃= ���̅ �� BILANCIO DI QUANTITA’ DI MOTO IN FORMA EULERIANA NON CONSERVATIVA = in questo caso l’accelerazione viene espressa in forma euleriana: �̅= ��̅ �� + �̅∙∇�̅ �̅= −�∇�̃ �(�̅− �̅)= ∇Φ̅̅ �(−�∇�̃− �̅)= ∇Φ̅̅ −�� ∇�̃− ��̅= ∇Φ̅̅ −∇Φ̅̅− �� ∇�̃= ���̅ �� + ��̅∙∇�̅ −∇Φ̅̅− �� ∇�̃= ���̅ �� + ��̅∙∇�̅ −∇Φ̅̅− �� ∇�̃= �(��̅) �� + ∇∙(��̅�̅) 8 BILANCIO DI QUANTITA’ DI MOTO IN FORMA GLOBALE = ricaviamo ora la forma globale integrando ancora una volta la forma euleriana non conservativa in un volume infinitesimo −∇Φ̅̅− �� ∇�̃= �(��̅) �� + ∇∙(��̅�̅) −∇Φ̅̅− �� ∇�̃− �(��̅) �� − ∇∙(��̅�̅)= 0̅ − ∫ ∇Φ̅̅ � �� − ∫ �� ∇�̃�� � − ∫ �(��̅) �� �� � − ∫ ∇∙(��̅�̅)�� � = 0̅ − ∫ ∇Φ̅̅ � �� = ∫ �������̅̅̅̅�� ������ = Π̅ − ∫ �(��̅) �� �� � = − � �� ∫ (��̅)�� � = �̅ − ∫ �� ∇�̃�� � = − (∫ ��� � )�∇�̃= �̅ −∫ ∇∙(��̅�̅)�� � = ∫ �(�̅∙�̂) ������ �̅�� = �̅ �̅+ �̅+ �̅+ Π̅= 0̅ 9 FLUIDI IDEALI BILANCIO DELLA QUANTITA’ MOTO FLUIDI IDEALI = in un fluido ideale dato che gli sforzi tangenziali sono nulli , il bilancio della quantità di moto può essere riscritt o in quanto la divergenza del tensore degli sforzi si riduce al gradiente della pressione ∇Φ̅̅ = ∇� �(�̅− �̅)= ∇Φ̅̅ �(�̅− �̅)= ∇� TRINOMIO DI BERNOULLI E TEOREMA = analizziamo ora il moto di una particella di fluido ideale soggetta al campo gravitazionale. A partire dall’analisi del bilancio della quantità di moto è possibile ricavare il trinomio di Bernoulli. Esprimiamo l’accelerazione nelle sue component i normali e tangenziali: �̅= �� �� �̂+ �2 � �̂ �̅= −�∇�̃ �(�̅− �̅)= ∇� �(−�∇�̃− �� �� �̂− �2 � �̂)= ∇� −�� ∇�̃− �(�� �� �̂+ �2 � �̂)= ∇� −�(�� �� �̂+ �2 � �̂)= ∇�+ �� ∇�̃ Ipotizzando che il fluido sia incomprimibile possiamo riscrivere l’equazione dividendo tutto per il peso specifico: −�(�� �� �̂+ �2 � �̂) � = ∇�+ �� ∇�̃ � − 1 �(�� �� �̂+ �2 � �̂)= ∇(p �+ �̃) Proiettiamo ora questa equazione lungo le tre direzioni : 1. Direzione binormale: � �� (p �+ �̃)= 0 2. Direzione normale: � �� (p �+ �̃)= − 1 ������ �2 � 3. Direzione tangenziale: � �� (p �+ �̃)= − 1 ������ �� �� Analizziamo meglio la direzione tangenziale: � �� (p �+ �̃)= − 1 � �� �� �� �� = ��� �� + �� �� 10 � �� (p �+ �̃)= − 1 �(��� �� + �� �� ) � �� (p �+ �̃)= − 1 ���� �� − 1 � �� �� � �� (p �+ �̃)+ 1 ���� �� = − 1 � �� �� � �� (p �+ �̃+ �2 2�)= − 1 � �� �� Se il moto è stazionario: � �� (p �+ �̃+ �2 2������)= 0 Otteniamo cos ì il trinomio di Bernoulli, noto anche come carico totale. Il teorema di Bernoulli afferma che lungo la traiettoria di una particella di fluido ideale, pesante, incomprimibile, in condizioni di moto permanente il carico totale rimane costante. Il teorema di Bernoulli può anche essere interpretato energeticamente ed esprime quindi il principio di conservazione dell’energia meccanica: (p �+ �̃+ �2 2�)�� = 0 p � energia potenziale dovuta alla pressione per unità di peso �̃ energia potenziale gravitazionale per unità di peso �2 2������ energia cinetica per unità di peso p �+ �̃ energia potenziale per unità di peso ANALISI ADIMENSIONALE TEOREMA ������ = detto anche teorema di Buckingham afferma che in un sistema fisico è sempre possibile, con un’opportuna scelta del sistema di unità di misura, ridurre il numero delle variabili di controllo di tante unità quante sono le unità di misura fondamentali . Questo teorema è importante perché, tra le altre cose, garantisce l’universalità delle leggi fisi che espresse in termini adimensionali. Vediamo ora la dimostrazione . − Prendiamo una generica variabile di stato �0 e supponiamo che esista un legame fisico tra di essa e le � variabili di controllo ��, allora si può dire: �0= �(�1,�2,�3,… ,��) − Consideriamo per semplicità il caso �= 3: �0= �(�1,�2,�3) − La misura della grandezza �0 rispetto alla terna è: Π0= ������0 ������1�������2�������3� − Dove gli esponenti �,�,� delle variabili di controllo �� sono determinati imponente che Π0 sia un numero puro. Ciò può essere riscritto nel seguente modo: [�0]= [�1]�[�2]�[�3]� − Dato che deve vale �0= �(�1,�2,�3,… ,��) si può scrivere: Π0= �∗(Π1,Π2,Π3,… ,Π�) − Per via dell’ipotesi di indipendenza dimensionale delle grandezze che costituiscon o la terna base si ha che Π1= Π2= Π3= 1, quindi si ha: Π0= �∗(Π4,… ,Π�) − Combinando Π0= ������0 ������1�������2�������3� con Π0= �∗(Π4,… ,Π�) si ottiene: �0= �1��2��3��∗(Π4,… ,Π�) La funzione �∗ che abbiamo introdotto nella dimostrazione del teorema di Buckingham può essere utilizzata per predire il comportamento di sistemi fisici di dimensioni diverse da quello sul quale è stata condotta la sperimentazione. 11 FLUIDI VISCOSI FORMULA DI DARCY -WEISBACH = tale formula permette di calcolare la cadente energetica media � cioè il modulo della deriva ta del carico totale medio lungo la coordinata curvilinea �. Per ricavare tale formula utilizziamo il teorema Π; scegliamo come variabile di stato la caduta di pressione per unità di lunghezza ∆�/� mentre come variabili di controllo alcune proprietà del fluido circolante come densità �, viscosità �, velocità m edia �, diametro del condotto � e scabrezza ℛ: ∆� � = �(�,�,�,�,ℛ) Per determinare la funzione � occorrerebbero 10 5 esperimenti, per ridurl i passiamo ad un sistema di unità di misura intrinseco al problema e scegliamo 3 variabili di controllo tra di loro dimensionalmente indipendenti che costituiscono la nuova base del sistema di misura. Le due terne possibili sono quella inerziale (�,�,�) e quella viscosa (�,�,�). Scegliendo la terna inerziale si ottiene: Π∆�/������= ∆� � ��2 � = �′(Π������,Πℛ) Π������= � ��� Πℛ= ℛ � 1 Π������= �� = ��� � Possiamo quindi scrivere che: ∆� � ��2 � = �′′(�� ,ℛ �) ∆� � = �� �� ��2 � = �′′(�� ,ℛ �) ��� ��2= �′′(�� ,ℛ �) ��� ��2 1 �= �′′(�� ,ℛ �)1 � �� ��2= �′′(�� ,ℛ �)1 � �= �� �� ��2= �′′(�� ,ℛ �) 1 �� Massa: � Lunghezza: � Tempo: � Pressione: � = ��−1�−2 Densità: ��−3 Velocità: ��−1 Ricaviamo questo valore �������2 ������ dall’analisi adimensionale di ∆� ������: [∆� �]= ��−2�−2 [�]= ��−3 [�]= ��−1 [�]= � [��−3]� [��−1]�[�]�= ��−2�−2 �= 1 � = 2 �= −1 [��−3]1 [��−1]2[�]−1= ��2 � 12 �� �2= �′′(�� ,ℛ �)1 � �= 2�′′(�� ,ℛ �) �2 2�� = � �2 2�� L’analisi fatti fino ad ora è corretta e valida per i fluidi incomprimibili perché abbiamo imposto che �= �� , vediamo ora come cambia l’analisi per i fluidi comprimibili . Per prima cosa dobbiamo aggiungere una variabile di controllo cioè la comprimibilit à �: ∆� � = �(�,�,�,�,ℛ,�) Ricaviamo il gruppo Π associato alla comprimibilità: Π�= � ��2= 1 �� = 1 ��2 Dove �� è il numero di Cauchy mentre �� è il numero di Mach e rappresenta il rapporto tra la velocità media del fluido e la velocità del suono nel fluido stesso: − �� = 1 fluidi transonici − �� < 1 fluidi subsonici − �� > 1 fluidi supersonici �= 2�′′(�� ,ℛ � ,�� ) MOTO LAMINARE = �� < 2100 in questo regime di moto le traiettorie delle particelle di fluido sono tra di loro parallele. In questo caso l’indice di resistenza � dipende solo dal numero di Reynolds �� e non dalla scabrezza ℛ. Inoltre se il moto è stazionario e le traiettorie sono rettilinee e parallele i termini inerziali nel bilancio della quantità di moto si annullano ; ciò significa che la densità non influenza il moto laminare quindi si può tranquillamente usare la terna v iscosa per passare alla formulazione in termini di gruppi Π: ∆� � = �(�,�,�,) Π∆�/������= ∆������������ ������������������2= �′(1,1,1)= � = 32 per via sperimentale ∆� � ��2 � = � 2= � �= 64 �� MOTO TURBOLENTO = �� > 4000 in questo caso l’indice di resistenza dipende sia dal numero di Reynolds che dalla scabrezza relativa. Dobbiamo dunque studiare i diversai casi in funzione dei tipi di tubi: − Formula di Prandtl -von Karman per tubi lisci : ℛ ������= 0 1 √�= −2log 10 (2,51 �� √�) − Formula di Prandtl -von Karman per tubi s cabri: ℛ ������≠ 0 1 √�= −2log 10 ( 1 3,71 ℛ �) 13 − Transizione : nel caso di tubi commerciali cioè caratterizzati da scabrezza disomogenea si ha (formula di Colebrook -White): ℛ � = 3,71 10 0,5/√�∞ 1 √�= −2log 10 (2,51 �� √�+ 1 3,71 ℛ �) Un’alternativa ampiamente usata prima della diffusione dei calcolatori per la determinazione dell’indice di resistenza � era l’abaco di Moody cioè un diagramma che rappresenta le curve �− �� interpolanti i dati sperimentali relativi a tubi commerciali di diversa scabrezza relativa equivalente . È dunque un diagramma bilogaritmico che riporta il fattore di attrito di Darcy in funzione del numero di Reynolds al variare della rugosità secondo la correlazione di Colebrook . 14 TENSORE GRADIENTE DELLA VELOCITÀ = Il tensore gradiente velocità di deformazione può essere decomposto nella somma di un tensore emisimmetrico Ω̅̅ e di uno simmetrico �̅̅: ∇�̅= [ ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ] = �̅̅+ Ω̅̅ TENSORE DELLE VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE = prima di specificare e spiegare cosa sia il tensore delle velocità di deformazione occorre sottolineare che nell’analisi di un fluido le deformazioni non risultano un buon parametro per la caratterizzazione del fluido stesso , al contrario invece della vel ocità di deformazione. Questo perché le deformazioni di un fluido tendono a infinito . Il tensore delle velocità di deformazione è un tensore simmetrico che vale : �̅̅= [ ��� �� 1 2(��� �� + ��� �� ) 1 2(��� �� + ��� �� ) 1 2(��� �� + ��� �� ) ��� �� 1 2(��� �� + ��� �� ) 1 2(��� �� + ��� �� ) 1 2(��� �� + ��� �� ) ��� �� ] Mediante un’analisi approfondita del tensore delle velocità di deformazione è possibile dimostrare che : • Gli elementi diagonali di �̅̅ comportano una dilatazione volumetrica a fo rma costante ���̅̅= ∇∙�̅: �������� �� = �������� �� • Gli elementi rettangolari di �̅̅ generano cambiamenti di forma a superfice o volume costante È dunque possibile riscrivere �̅̅ come: �̅̅= [ ��� �� −1 2 ��� �� −1 2 ��� �� − 1 2 ��� �� ��� �� − 1 2 ��� �� −1 2 ��� �� − 1 2 ��� �� ��� �� ] TENSORE DELLE ROTAZIONI RIGIDE = il tensore delle rotazioni rigide è un tensore emisimmetrico dove g li elementi del tensore delle rotazioni rigide rappresentano la velocità di rotazione angolare attorno agli assi: Ω̅̅= [ 0 1 2(��� �� − ��� �� ) 1 2(��� �� − ��� �� ) 1 2(−��� �� + ��� �� ) 0 1 2(��� �� − ��� �� ) 1 2(−��� �� + ��� �� ) 1 2(−��� �� + ��� �� ) 0 ] = [ 0 �� −�� −�� 0 �� �� −�� 0 ] FLUIDI STOKESIANI = fluidi per i quali gli sforzi dipendono solo dalle veloc ità di deformazione e non dalle deformazioni stesse + quando la velocità si annulla il tensore degli sforzi si riconduce al caso statico + la funzione che lega gli sforzi alle velocità di deformazione è indipendente dal sistema di riferimento adottato . Que ste caratteristiche sono soddisfatte se il generico elemento del tensore degli sforzi si può scrivere come: Φ�� = ����+ �(���,�1,�2,�3) 15 FLUIDI NEWTONIANI E LEGAME REOLOGICO = fluidi stokesiani per cui la dipendenza del tensore degli sforzi Φ̅̅ dal tensore delle velocità di deformazione �̅̅ è lineare perciò possiamo scrivere il tensore degli sforzi come: Φ̅̅ = (�+ �∇∙�̅)I̅̅+ ��̅̅ Cerchiamo ora di ca pire cosa sono a e b: − Il valore � ha a che fare con gli sforzi tangenziali , è l’indice della resistenza che il fluido oppone a cambiamenti di forma e possiamo determinarlo nel seguente modo tenendo presente che sperimentalmente ��= 0: ������= ��� �� �������� = ���� = �1 2(�� �� + �� �� )= �1 2(�� �� ) ������= −�������� ��� �� = −�1 2(�� �� ) �= −�1 2 �= −2� − Per determinare il termine � (viscosità di dilatazione) che esprime la variazione percentuale di volume nell’unità di tempo ed è indice della resistenza che il fluido oppone a variazioni di volume, occorre per prima cosa calcolare la traccia del tensore degli sforzi: ��(Φ̅̅)= (�+ �∇∙�̅)��(I̅̅)+ ��� (D̅̅)= (�+ �∇∙�̅)3+ �∇∙�̅= 3�+ 3�∇∙�̅+ �∇∙�̅ In statica ��(Φ̅̅)= 3� e ∇∙�̅= ��(D̅̅) e �= −2� dunque: ��(Φ̅̅)= 3�+ 3�∇∙�̅+ �∇∙�̅ 3�= 3�+ 3��� (D̅̅)+ ��� (D̅̅) 0= +3��� (D̅̅)− 2��� (D̅̅) 0= +3�− 2� �= 2 3� Noti a e b possiamo scrivere il tensore degli sforzi e la sua divergenza : Φ = (�+ 2 3�∇∙�̅)I̅̅− 2��̅̅ ∇∙Φ̅̅ = ∇(�+ 2 3�∇∙�̅)− 2�∇∙�̅̅= ∇∙�̅̅= 1 2∇2�̅+ 1 2∇(∇∙�̅) = ∇∙Φ̅̅ = ∇(�+ 2 3�∇∙�̅)− 2�∇∙�̅̅= 16 = ∇(�+ 2 3�∇∙�̅)− 2�(1 2∇2�̅+ 1 2∇(∇∙�̅))= = ∇(�− 1 3�∇∙�̅)− �∇2�̅ EQUAZ IONI DI STOKES INDEFINITE FLUIDI COMPRIMIBILI (1845) = inseriamo ora la reologia d ei fluidi newtoniani nell’equazione del bilancio della quantità di moto in forma indefinita euleriana non conservativa : −∇∙Φ̅̅− �� ∇�̃= �(��̅) �� + ∇∙(��̅�̅) ∇∙Φ̅̅ = ∇(�− 1 3�∇∙�̅)− �∇2�̅ − [∇(�− 1 3�∇∙�̅)− �∇2�̅]− �� ∇�̃= �(��̅) �� + ∇∙(��̅�̅) −∇(�− 1 3�∇∙�̅)+ �∇2�̅− �� ∇�̃= �(��̅) �� + ∇∙(��̅�̅) Questa a sistema con l’equazione di continuità e l’equazione di stato costituiscono le equazioni di Stok es che descrivono la dinamica isoterma dei fluidi newtoniani comprimibili (se la t