Mechanical Engineering - Statistica

Full exam

Statistica - Appello 4 2024/25 [0000] Matricola: ⓪⓪⓪⓪⓪⓪ ①①①①①① ②②②②②② ③③③③③③ ④④④④④④ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥ ⑦⑦⑦⑦⑦⑦ ⑧⑧⑧⑧⑧⑧ ⑨⑨⑨⑨⑨⑨Istruzioni: riempirecompletamentele bolle con le cifre del numero di matricola (una cifra per colonna); nella parte sotto del foglio, riempirecompletamente le bolle con le risposte alle domande a scelta multipla. Per riempire, usare penna o matita nera, colorando tutto l’interno e cercando di non uscire dal bordo. Non sono ammesse correzioni, dato che il foglio verrà analizzato da un computer. Cognome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Firma:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segnare le risposte delle domande a scelta multipla (1) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (2) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (3) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (4) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (5) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (6) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ(7) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (8) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (9) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (10) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (11) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (12) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ Statistica - Appello 4 2024/25 [0000]-p1/4 Domande a scelta multipla (1)∗DS A La probabilità che un neonato sia maschio (o femmina) è 1/2 e il sesso di un nascituro è indipendente da quello degli altri. Paolo e Marco sono nuovi colleghi di lavoro e cenano a casa del primo. Ad un certo punto Marco vede passare uno dei due figli di Paolo ed è un maschio. Marco chiede a Paolo quandi figli ha e Paolo risponde “due”. A questo punto Marco dice “anche io ne ho due, avrei voluto due maschi ma non è andata così”. Siapla probabilità che Paolo abbia due figli maschi eqla probabilità che Marco abbia due figlie femmine. Quale delle seguenti è la risposta corretta? (a) [=]p=1/2,q=1/3. (b) p=q=1/2. (c) p=q=1/3. (d) p=q=1/4. (e) p=1/2,q=2/3. (2)∗Sianox 1, . . . , x ni dati osservati di un campione casuale X 1, . . . , X ndi densità normale N(µ,σ2 )(parametriµeσ2 non noti). Utilizzando i datix 1, . . . , x n, si calcolano I C(α 1) eI C(α 2) , intervalli di confidenza bilateri per il parametro µdi livelloα 1e α 2rispettivamente, per due valori α 1e α 2tali che α 1≤ α 2. (a) I C(α 1) ∩I C(α 2) = ∅ (b) I C(α 1) ∪I C(α 2) = R (c) [=]I C(α 1) ⊆I C(α 2) (d) I C(α 2) ⊆I C(α 1) (e) I C(α 1) = I C(α 2) (3)DS ASianoX,Ydue variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di PoissonPe parametri di intensitàλ,µ>0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) [=]P{XY=0}=e− λ +e− µ −e− (λ+µ) (b) P{XY=0}=e− 2λ +e− 2µ , (c) 2X∼ P(2λ)e2Y∼ P(2µ) (d) X−Y∼ P(λ−µ) (e) P{XY=0}=e− λ +e− µ (4)∗DS A SiaXuna variabile aleatoria la cui funzione di ripartizioneF Xha il grafico disegnato in figura. -6 0.511.5 2 0.2 0.5 0.7 0.81 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? (a) P(X=0.5) =0.5 (b) P(X=1.5) =0.2 (c) P(X>1) =0.7 (d) P(X≥0.5) =1 Statistica - Appello 4 2024/25 [0000]-p2/4 (e) [=]E[X] =0.9 (5)In un test d’ipotesi per la media a varianza nota conH 0: µ≥µ: 0eH 1: µntale che xm= xn; cosa succede al P−val ue α? (a) aumenta (b) non cambia (c) dipende dal valore della varianzaσ (d) [=] diminuisce (e) dipende dal segno dixn (6)DS ASiaX,Yun campione casuale in cui ciascuna delle variabili è una Bernoulli di parametrop. Allora è neces- sariamente vero che: (a) X+Y−pè uno stimatore non distorto dip (b) X2 è uno stimatore non distorto dip2 (c) [=]XYè uno stimatore non distorto dip2 (d) XYè uno stimatore non distorto di2p (e) XYè uno stimatore distorto dip2 (7)∗DS A Si deve fare un sondaggio per valutare il gradimento di un prodotto tramite un intervallo di confidenza a livelloα. Ad ogni intervistato si chiede se gradisce il prodotto e si registra la risposta “sì/no”. L’intervallo è sulla frazione delle risposte positive. Il committente chiede un intervallo di ampiezza totale non superiore a0.02. Quante interviste vanno fatte come minimo, per essere sicuri che l’ampiezza dell’intervallo non superi0.02qualsiasi sia il risultato del sondaggio? (a) 104 ·q2 (1+α)/2¯ x n( 1−¯ x n) . (b) 104 ·q2 α/4 . (c) [=]104 ·q2 (1+α)/2/4 . (d) nessuna delle altre risposte è corretta. (e) 104 ·q2 (1+α)/2. (8)Un telefono ha una batteria di5000mAh. Il consumo di una telefonata è casuale e ha legge assolutamente continua con valore atteso100mAh e deviazione standard150mAh. Qual è il massimo numero di telefonate che si possono fare con una carica con probabilità almeno pari a0.95? (a) 48 (b) 39 (c) 44 (d) [=]35 (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. Statistica - Appello 4 2024/25 [0000]-p3/4 (9)∗Ad un call center si vuole verificare che le chiamate inferiori ai5minuti siano la metà di quelle che durano tra i5 e i10minuti ed il doppio di quelle più lunghe ancora. In una giornata, si registrano28chiamate sotto i5minuti,47tra i5e i10minuti e16sopra i10minuti. Si effettui un test con significatività al0.01. Siaqla statistica ottenuta. (a) q=1.327e si rifiutaH 0. (b) [=]q=1.327e si accettaH 0. (*) Dai dati si ha che le probabilità teoriche di avere telefonate nelle tre classi sono, rispettivamente,2/7,4/7e1/7. Su91telefonate i valori attesi sono quindi26,52e13. Quindiq=1.326923 da confrontare con il quantileχ2 0.99( 2) = 9.21034; pertanto non si può rifiutare l’ipotesi nulla. Il p-value è circa 0.484935. (c) q=2.035e si accettaH 0. (d) q=2.035e si rifiutaH 0. (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. (10)DS ASiano{X i}+ ∞ i=1variabili assolutamente continue iid di valore atteso 4e varianza16. Calcolare (approssima- tivamente) P( 1 100100 ∑ i=1X i< 3.9) . (a) Circa0.49001. (b) Circa0.44682. (c) Circa0.59871 (d) [=] Circa0.40129. (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. (11)DS AUn tecnico deve decidere l’acquisto di di un lotto numeroso di pezzi. Egli controlla un campione di700pezzi e osserva che32pezzi sono difettosi. Si cerca di capire se ci siano evidenze statistiche a supporto dell’ipotesip1,X< 3)? (a) 1/2 (b) 3/4 (c) ϕ(3)−ϕ(1) Statistica - Appello 4 2024/25 [0000]-p4/4 (d) [=]7/8(*) La densità ha segno costante, quindi basta verificare∫ f(x)dx=1cioè1=kx3 /3|2 0che equivale a k=3/8. QuindiP(X∈[1, 3]) =P(X>1) = (1−12 /8) (e) 2/3 ★★‼★★