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Ingegneria Meccanica - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 24 /01/20 23 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 5) Una fonderia cola getti in acciaio. Per verificare che la porosità non sia eccessiva, si valuta la densità dei pezzi prodotti (in Kg/dm 3). Di seguito, i valori registrati in dieci campioni . Campione dato 1 dato 2 dato 3 dato 4 1 7,51 7,71 7,48 7,52 2 7,74 7,48 7,76 7,74 3 7,63 7,59 7,41 7,63 4 7,45 7,66 7,68 7,67 5 7,60 7,40 7,72 7,67 6 7,65 7,58 7,55 7,74 7 7,50 7,72 7,28 7,68 8 7,55 7,73 7,76 7,53 9 7,84 7,92 7,65 7,83 10 7,39 7,63 7,59 7,72 a. Progettare una carta X -S caratterizzata da un valore di ARL(H 0) pari a 400. In caso siano presenti campioni fuori controllo, ipotizzare la presenza di cause assegnabili. b. Calcolare e tracciare la curva caratteristica operativa della carta X. Riportarne i valori in corrispondenza di uno spostamento del valore atteso espresso in uni tà di deviazione standard della caratteristica di qualità pari a 2 e 4. Determinare il reale valore di ARL(H 0). c. Se in futuro si passasse ad una dimensione del campione pari a 7, quali sarebbero i nuovi limiti di controllo? (ARL(H 0) pari a 400) d. Supponendo c he sia stato stabilito un valore del limite di specifica inferiore pari a 7,42 K g/dm 3, condurre un'analisi di capacità e calcolare la frazione attesa di difettosi. Si consideri un’ottica sia di breve che di lungo periodo. e. Determinare un intervallo di tolleranza naturale che, con probabilità del 95%, contenga il 95% delle parti prodotte. QUESITO 2 (PUNTI 7) Un’ azi enda deve verificare una serie di lotti in ingresso. La dimensione dei lotti è pari a 100000 pezzi, in caso di ri fiuto i lotti sono verificati al 100% a carico del cliente . a. Progettare un piano d’accettazione singolo , considerando AQL (p 1 = 0,00 2, α = 0,0 2) e LTPD (p 2 = 0,01, β = 0, 05 ). b. Tracciare OC, AOQ, ATI. Riportarne i valori in corrispo ndenza di p1 e p 2. Commentare il risultato. QUESITO 4 (PUNTI 6) Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a 1/2 e 1/3. Si calcoli la probabilità dell’unione dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi: a. A e B sono incompatibili. b. A e B sono indipendenti. c. �(�|�)= 1/4. QUESITO 4 (PUNTI 5) La media campionaria di un campione di 36 parti la cui caratteristica misurata è distribuita secondo una distribuzione normale è 10. Sapend o che la varianza è pari a 4, derivare e calcolare un intervallo di c onfidenza del tipo �= (�,+∞) tale per cui �(������∈�)= 0,95 . SOLUZIONE QUESITO 1 a. Progettare una carta X -S caratterizzata da un valore di ARL(H 0) pari a 400. Iniziamo con un data snooping: Non si evidenziano trend, ciclicità, o altre anomalie. Ipotizziamo che i dati siano indipendenti. Utilizziamo il test di anderson -darling per verificare che siano normali: I dati risultano normali, dato il p -value . Il valore di k da utilizzare si ricava come �= 1 �������� (�0)= 0,0025 ������= �������2= 3,02 Determiniamo quindi i limiti di controllo: carta X �������� = ������̿−������ �̅ ������4(������)√������= 7,42 ������� = ������̿= 7,62 �������� = ������̿+������ �̅ ������4(������)√������= 7,83 Carta S �������� = �̅−�������̅√1−������4(������)2 ������4(������) = −0,03 ~0 ������� = �̅= 0,12 �������� = �̅−�������̅√1−������4(������)2 ������4(������) = 0,28 Non si evidenziano fuori controllo. La fase di progettazione può considerarsi conclusa. b. Calcolare e tracciare la curva caratteristica operativa della carta X. Riportarne i valori in corrispondenza di una uno spostamento del valore atteso espresso in unità di deviazione standard della caratteristica di qualità pari a 2 e 4. Determinare il real e valore di ARL(H 0). Le curva caratteristica operativa può essere determinata con la formula �= Φ(������−�√������)−Φ(−������−�√������) delta beta 2 0,164369 4 3,23E -07 Essendo la carta X una carta probabilistica, il reale valore di ARL(H 0) è pari a quello di progetto (in questo caso 400). c. Se in futuro si passasse ad una dimensione del campione pari a 7, quali sarebbero i nuovi limiti di controllo? (ARL(H 0) pari a 400) Determiniamo il nuovo valore di �̅: �̅��� = ������4(��������� ) ������4(��������� )�̅��� = 0,13 Da cui carta X �������� = ������̿−������ �̅ ������4(������)√������= 7,47 ������� = ������̿= 7,62 �������� = ������̿+������ �̅ ������4(������)√������= 7,78 Carta S �������� = �̅−�������̅√1−������4(������)2 ������4(������) = 0,01 ������� = �̅= 0,13 �������� = �̅−�������̅√1−������4(������)2 ������4(������) = 0,25 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1 2 3 4 5 6 beta d. Supponendo che sia stato stabilito un valore del limite di specifica inferiore pari a 7,42 Kg/ dm 3, condurre un'analisi di capacità e calcolare la frazione attesa di difettosi. Si consideri un’ottica sia di breve che di lungo periodo. Poiché vi è solo un limite di specifica inferiore, ��� = �� ��= �� �������= ������−�������� 3������ �= Φ(�������� −������ ������ ) ��������������������� = � ������4(4) ���������������� = √ 1 ������−1∑ (��������−������̿)2 e. Determinare un intervallo di tolleranza naturale che, con probabilità del 95%, contenga il 95% delle parti prodotte. Siamo in un caso di dati normali, valore atteso e varianza stimati, e limite di specifica unilaterale. Applichiamo la formula: ������������= ������̅−������3������= 7,334 ������̅= ∑ ������� ������ ������= √∑ (������������− ������)2 ������−1 QUESITO 2 a. Progettare un piano d’accettazione singolo, considerando AQL (p 1 = 0,002, α = 0,02) e LTPD (p 2 = 0,01, β = 0,05). Utilizzando minitab: Generated Plan(s) Sample Size 1182 Acceptance Number 6 b. Tracciare OC, AOQ, ATI. Riportarne i valori in corrispondenza di p 1 e p 2. Commentare il risultato . �= �(� ≤ ������� ) ��� = �������� �−������ � ��� = ������+(1−�� )(�−������) Utilizzando Minitab Proportion Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 0,002 0,989 0,011 0,00196 2236,2 0,010 0,050 0,950 0,00049 95077,9 Si nota che, sebbene i valori calcolati della curva OC si riferiscano ad AQL ed LTPD, in realtà il valore ottenuto per α differisce da quello di progetto (e, avendo a disposizione più cifre decimali, probabilmente noteremmo lo stesso per β). Ciò è dovuto alla natura discreta de lla distribuzione binomiale su cui si basa il piano d’accettazione. QUESIT O 3 a. A e B sono incompatibili. Due eventi sono incompatibili se �∩�= ∅ ovvero i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente. Se A e B sono incompatibili allora �(�∩�)= �(∅)= 0. L’ultima uguaglianza discende direttamente dalla definizione di probabilità. Essendo �(�∪�)= �(�)+�(�)−�(�∩�), n e discende �(�∪�)= �(�)+�(�)= 5/6. b. A e B sono indipendenti. Se A e B sono indipendenti allora �(�∩�)= �(�)�(�). Si ottiene dunque: �(�∪�)= �(�)+�(�)−�(�∩�)= �(�)+�(�)− �(�)�(�)= 2/3. c. �(�|�)= 1/4. Per definizione di probabilità condizionata si ha: �(�|�)= �(�∩�)/�(�) da cui: �(�∩�)= �(�|�)�(�). Si ottiene quindi: �(�∪�)= �(�)+�(�)−�(�∩�)= �(�)+�(�)− �(�|�)�(�)= 3/4. QUESITO 4 Partiamo da �(������∈(�,+∞))= 0,95 = �(������> �). Sottraendo la media campionari a, m oltiplicando entrambi i termini per -1, e dividendo per ������/√������ otteniamo: �(������̅−������ ������/√������< ������̅−� ������/√������)= 0,95 Poiché, sotto l’ipotesi di normalità dei dati , il primo termine si distribuisce secondo una normale standard, l’eguaglianza è rispettata se ������̅−� ������/√������= �1−0,95 Ricavando quindi A e sostituendo i valori: �= ������̅−�1−0,95������ √������ = 10 −1,645 ∗2 6 = 9,452 L’intervallo cercato è (9,452 ,+∞)