Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 17/01/2019 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • In caso di fuori controllo, ipotizzare la presenza di cause assegnabili. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (16 PUNTI) In un’azienda di materiali per edilizia si produce cemento armato per strutture in calcestruzzo . Il prodotto è confezionato in sacchi dal peso nominale di 25 kg (con un limite di specifica inferiore di 24. 25 kg ). L’azienda dispone di un sistema automatico di riempimento del quale sono prelevati 20 campioni . I valori del peso in kg riscontrati per ogni campione sono riportati nella tabella che segue. Campione Campione 1 21,50 24,35 29,64 11 26,94 27,16 26,05 2 24,77 27,08 24,63 12 22,60 27,89 24,61 3 27,64 25,44 26,23 13 22,76 25,62 23,64 4 25,37 26,57 25,61 14 24,37 26,04 24,79 5 27,79 25,26 27,50 15 28,21 24,06 25,25 6 26,57 24,64 26,63 16 27,02 23,36 27,02 7 25,55 24,98 25,72 17 25,16 25,54 27,41 8 24,15 26,56 25,75 18 24,10 23,74 25,47 9 24,36 24,63 25,67 19 27,85 25,04 26,36 10 25,69 25,77 25,33 20 26,63 25,61 26,22 a. Progettare una carta di controllo X bar -S. b. Cond urre un’ analisi di capacità sia di lungo periodo sia di breve periodo (calcolare l’indice di capacità e stimare la probabilità di ottenere confezioni dal peso inferiore al limite di specifica ). C ommentare i risultati ottenuti in particolare con riferimento alla differenza fra analisi di breve e di lungo periodo. c. Considerando i dati della tabella precedente, stimare la deviazione standard di breve periodo e costruire la curva OC per la car ta della media in funzione di una diminuzione della media  (nuova media 1=0-). Riportare i valori di OC in corrispondenza di =2kg e =3kg . QUESITO 2 (6 PUNTI) Progettare, secondo le normative MIL -STD 105D, un piano di campionamento singolo per attributi per il collaudo di lotti della dimensione di 5000 parti al fine di ottenere un valore di AQL=1%. Utilizzare un livello normale di ispezione e un comportamento “rinforzato”. Disegnar e la curve OC e ATI evidenziando i valori in corrispondenza di una difet tosità del 1%. QUESITO 3 (PUNTI 5) Ricavare la formula per il calcolo di un intervallo di confidenza bilaterale per il valore atteso stimato da un campione di dimensione n, qualora non sia nota la varianza della distribuzione, ma sia noto che essa è gaussiana. QUESITO 4 (PUNTI 6) Una fabbri ca produce RAM che possono avere due tipi di difetti: il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma, dall'esperienza passata, che la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a 0,3; la probabilità che abbia il difetto A ma non il B è pari a 0,1; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0,2. Calcolare la probabilità che una RAM abbia: a. il difetto A; b. il difetto B; c. il difetto A, dato che si è riscontrato che non abbia il difett o B. Svolgimento Esercizio 1 a) Analisi qualitativa dei dati (riportare qualitativamente): Si decide di utilizzare i dati per la progettazione della carta (anche se possibili outl ier possono essere individuati nel campione 1). Ipotesi si assume: - Indipe ndenza (si ipotizza assenza di autocorrelazione), regime tecnico; - normalità: verificata, p -value = 0,836 - Carte di controllo: 20,00 21,00 22,00 23,00 24,00 25,00 26,00 27,00 28,00 29,00 30,00 0 5 10 15 20 25 Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 Serie5 con . calcolo dove A3( 3) 1.954 B3( 3) 0 B4( 3) 2.568 Calcoli Grande Media S medio 25.6 3 1.31 Xmed S LCI LC LCS LCI LC LCS 23,07286 25,63 28,19048 0 1,31 3,362855957 Il primo campione risulta fuori controllo sulla carta S. Si suppone l’esistenza di una causa assegnabile e si riprogettano le carte di controllo. Grande Media S medio 25,66 1,16   = = = m i i m i i i n Xn X 1 1   = = − − = m i i m i i i m n S n S 1 1 2 )1 ( S A X LCI X LC S A X LCS 3 3 − = = + = S B LCI S LC S B LCS 3 4 = = = 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 28,5 27,0 25,5 24,0 Sample Sample Mean __X=25,632 UCL=28,191 LCL=23,072 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 4 3 2 1 0 Sample Sample StDev _S=1,310 UCL=3,363 LCL=0 1 Xbar-S Chart of Data Xmed S LCI LC LCS LCI LC LCS 23,38762 25,66 27,92501 0 1,16 2,982 Nessun ulteriore punto in fuori controllo. La progettazione si considera conclusa e i limiti possono essere utilizzati per la fase di gestione. b) Analisi di Capability NB: sigma_lungo=Stot su tutte le osservazioni (si trascura la costante c 4≈1) sigmal 1,30648 LSI 24,25000 PCRI 0,35881 Prob. 14,09% Il processo presenta un PCR mediocre. La probabilità di ottenere confezioni con peso al di sotto del limite di specifica inferi ore è del 16 %. La pesatrice presenta, quindi, un’elevata dispersione risulta necessario intervenire sul processo. Analoghe conclusioni possono essere ottenute nel caso di stima di breve periodo. sigmab 1,3101 PCRI 0,35780 Prob. 14,15% 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 28,5 27,0 25,5 24,0 Sample Sample Mean __X=25,656 UCL=27,925 LCL=23,387 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 3 2 1 0 Sample Sample StDev _S=1,161 UCL=2,982 LCL=0 Xbar-S Chart of Data Results exclude specified rows: 1:3 A differenza dello stimatore di lungo periodo della dispersione, quello di breve periodo risulta essere meno influenzabile da eventuali punti outl ier non evidenziati nella fase di data snooping. Al contrario, lo stimatore di lungo periodo risulta meno robu sto ad eventuali outl ier nella fase di progettazione della carta. c) Curva OC N.B. per la simmetria della carta Xbar è indifferente considerare aumenti o diminuzioni della media di un fissato valore. sigmab 1,3101 sigmaXmed 0,756412812 c4(3) 0,8862 Delta beta 0,0 0,997294 0,2 0,99633 0,4 0,993044 0,6 0,986236 0,8 0,973886 1,0 0,953245 1,2 0,921147 1,4 0,874606 1,6 0,81166 1,8 0,732248 2,0 0,638788 2,2 0,53618 2,4 0,431093 2,6 0,330694 2,8 0,241214 3,0 0,16682 3,2 0,109121 3,4 0,067376 3,6 0,039202 3,8 0,021463 Esercizio 2 Dalle norme MIL -STD 105D: piano L Singolo N 5000 n 200 Ac 3 p OC (Singolo) ATI (Singolo) 0 1 200 0.002 0.999242 203.6372123 0.004 0.991089 242.7743414 0.006 0.966701 359.8368318 0.008 0.921963 574.5778854 0.01 0.858034 881.4366347 0.012 0.779485 1258.47092 0.014 0.692256 1677.170336 Esercizio 4 Si considerino i seguenti eventi: • [A] = si verifica il difetto A; • [A c] = non si verifica il difetto A; • [B] = si verifica il difetto B; 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Curva OC( ) 1 ATI Pa n Pa N =  + − • [B c] = non si verifica il difetto B; Dai dati si ha: ������(� ∪ �)= 0,3 ������(� ∩ �������)= 0,1 ������(� ∩ �)= 0,2 La tre probabilità cercate si possono esprimere come combinazione delle probabilità appena date . Poiché l'unione fra B e il suo complementare è l'evento certo, e tenendo conto che la probabilità dell'unione di eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi, si ha: ������(�)= ������(� ∩ (� ∪ �������))= ������(� ∩ �)+ ������(� ∩ �������)= 0,1+ 0,2= 0,3 Essendo ������(�������)= ������(�������∩ �������)+ ������(� ∩ �������)= 1− ������(� ∪ �)+ 0,1= 1− 0,3+ 0,1= 0,8 Si ha: ������(�)= 1− ������(�������)= 0,2 Per definizione di probabilità condizionata, si ha: ������(�|�������)= ������(� ∩ �������) ������(�������) = 0,1 0,8= 0,125