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Ingegneria Meccanica - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 28 /06/201 9 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 2) L’accoppiamento albero -foro tra un componente forato (prodotto A) e un perno (prodotto B) deve essere garantito mobile, di conseguenza gli assemblati (prodotto C) vengono sottoposti ad un controllo qualità a valle dell’assemblaggio. a. Effettuando l’analisi di 30 campioni di 50 prodotti ciascuno, risulta una frazione attesa di difettosi pari a 0,055. Progettare la carta di controllo adeguata a monitorare la frazione di difettosi al fine di ottenere un numero medio di campioni prima di un falso allarme pari a 100 (si consideri una numerosità campionaria di 50 prodotti). b. Qual è il numero medio di campioni prima di un falso allarme, considerando la vera distribuzione dei dati? c. A valle di una modifica nel processo di assemblaggio, vengono rilevati 10 campioni di 5 0 prodotti ciascuno (il numero di prodotti difettosi per campione è riportato in tabella 1). Si può affermare che il processo sia cambiato? Se sì, quali dovrebbero essere i limiti di controllo della nuova carta? Tabella 1 2 0 1 2 0 1 1 1 2 2 QUESITO 2 (PUNTI 10 ) Progettare un piano di campionamento doppio caratterizzato da AQL = 0 ,1%, α = 1%, e LTPD = 1%, β = 2% (si utilizzi la prospettiva del consumatore , n1=n2 ). Calcolare le curve OC, AOQ, ATI , ASN (si consideri una dimensione del lotto pari a 100000 pezzi) . Riportar ne i valori per p = 0,1%, 1%. Determinare il valore di AOQL. QUESITO 3 (PUNTI 5) La tabella seguente riporta le probabilità congiunte di un insieme di nuove aziende che operano nel settore del commercio via internet, classificate per regione di ubicazione e prospettiva di crescita. Crescita Nord -Est Sud Centro Nord -Ovest Bassa 0,04 0,12 0,14 0,19 Media 0,05 0,08 0,06 0,12 Alta 0,03 0,05 0,08 0,04 Se l’azienda ha una crescita attesa media o alta, qual è la probabilità che sia ubicata nel Nord -Ove st? QUESITO 4 (PUNTI 6) Si ipotizzi di avere un campione di n valori , distribuit i secondo una normale di media e varianza incognite. Costruire, un intervallo di confidenza unilaterale per la media del tipo �(������̅≤ �)= 1−������ Illustrare e commentare nel dettaglio i passaggi che portano alla definizione dell’intervallo. NB: ai fini della valutazione, riportare la formula dell’intervallo senza alcuna indicazione di come essa sia ricavata vale 0 punti. SOLUZIONE QUESITO 1 QUESITO 1 a) Sono stati utilizzati m=30 campionamenti di numerosità campionaria n=50 pezzi per stimare la frazione di difettosi p 0 = 0,055. Il numero medio di campioni prima di un falso allarme è ARL H0= 100. Si ricavano quindi i limiti della carta di con trollo (n=50 prodotti): ��� = ������0+������√������0(1−������0) � �� = ������0 ��� = �������� (0;������0−������√������0(1−������0) � ) Con ������= ������������2 dove ������= 1 ������������������������0= 0,01 . Da tabella: ������1−������2= ������0,995 = 2,575 . Quindi ������= 2,575 ��� = ������0+������√������0(1−������0) � = 0,1380 �� = ������0= 0,055 ��� = �������� (0;������0−������√������0(1−������0) � )= max (0;−0,02805 )= 0 b) Il numero medio di campioni prima di un falso allarme è ������� ��0,��������������� = 1 ������������������������������� . Dove ������ è ricavato dal nomogramma binomiale: ������= 1−Pr(�≤ [� ��� ]|�0)+Pr(�≤ 〈� ��� 〉|�0) ������= 1−Pr(�≤ 6|������0= 0,055 )= 0,019 ������� ��0,��������������� = 1 ��������������������� = 52 ,61 → 52 c) Successivamente alla modifica del processo di assemblaggio, la stazione di controllo qualità ottiene i seguenti dati con m’ = 10 campionamenti di n’ = 50 prodotti. Difettosi P_i 2 0,04 0 0 1 0,02 2 0,04 0 0 1 0,02 1 0,02 1 0,02 2 0,04 2 0,04 Il processo è in controllo, ma tutti i dati sono inferiori al LC, quindi il processo sembra essere cambiato. Per poter affermare con evidenza statistica che il processo sia cambiato occorre fare un test di differenza tra medie. �0:������1= ������2 �1:������1≠ ������2 La statistica test è: �0= ������1−������2 √������̂(1−������̂)(1 �1+ 1 �2 ) ∼�(0,1) Con: • ������1= 0,055 • �1= �∗� = 50 ∗30 = 150 • ������2= ∑ ������� �′������=1 �′∗�′= ∑ ������� 10������=1500 = 12 500 = 0,024 • �2= �′∗�′= 50 ∗10 = 500 • ������̂= ������1�1+������2�2 �1+�2 = 0,04725 Quindi: �0= 2,829 L’ipotesi nulla H 0 viene rifiutata con confidenza al 95% se �0> �0,95. Dalle tabelle della normale standard si ricava che �0,95 = 1,96 . Essendo �0= 2,829 > �0,95 = 1,96 , si può affermare con evidenza statistica che il processo sia cambiato significativamente. Si riprogetta q uindi la carta di controllo usando i nuovi dati. Il k da utilizzare è lo stesso che permette di ottenere ARL H0 = 100 (le richieste di progettazione della carta non sono variate). ��� = ������2+������√������2(1−������2) �′ = 0,0797 �� = ������2= 0,024 ��� = �������� (0;������2−������√������2(1−������2) �′ )= max (0;−0,03175 )= 0 QUESITO 2 Iniziamo calcolando il rapport ������2 ������1= 0,01 0,001 = 10 Dalle tabelle di grubbs , s cegliamo il piano numero 1, da cui ricaviamo �������1= 0 �������2= 1⟹ ��1= ��2= 2 Infine, essendo scelta la prospettiva del consumatore, deve essere ������2�1= 2,5, da cui �1= �2= 2,5 0,01= 250 Per il calcol o delle c urve, si considerino: �� = ���+����= �(�1≤ �������1)+�(�2≤ 0|�1= 1) �������� = ����������−�1 � +�����������−�1−�2 � �������� = ����1+����(�1+�2)+(1−�� )� �������� = �1+�2�(�������1< �1< ��1) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 OC 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 AOQ p OC AQL ATI ASN 0,001 0,93045 0,000928 7225,563 298,7177 0,01 0,097651 0,000974 90263,5 301,1733 AOQL 0,002004 QUESITO 3 Sia M = l’azienda ha una crescita media A = l’azienda ha una crescita alta Sia N = l’azienda è ubicata nel Nord -Ov est Abbiamo �(�)= 0.05 +0.08 +0.06 +0.012 = 0.31 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 ATI 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 ASN �(������)= 0.03 + 0.05 + 0.08 + 0.04 = 0.20 Da cui �(������∪�)= �(�)+�(������)= 0.51 Si richiede �(�|������∪�)= �((������∪�)∩�) �(������∪�) = 0.12 +0.04 0.51 = 0.31