Aerospace Engineering - Calcolo Numerico ed Elementi di Analisi

Second partial exam

Seconda Prova in Itinere 15/06/2021| versione 1 |}~|}|~| 32 pt { durata 1h 30' { MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere laprova ridottadel 30% secondo la L.170/2010 (indicazioniMultichanceteam)NONsvolgono i quesiti contrassegnati con(***) TEST { 15 pt 1 | 2 pt Si consideri la funzionef(x) =e(2 x+sin( x)) e il suo interpolante polinomiale 5f (x) sun+ 1 = 6 nodi equispaziati in [1;1]. Si riportino il valore massimo dell'erroree 5( f) = max x2[1;1]j f(x) 5f (x)je il puntox 2[1;1] dove questo e realizzato. 1:6122, 0:8588 2 | 1 pt (***)No Multichance Siano date len+1 = 5 coppie di datif(0;1);(0:25;0:5);(0:5;1:5);(0:75;0:25);(1;1)g. Qual e valore massimo dell'interpolante polinomiale lineare a tratti H 1( x) dei dati precedenti perx2[0;1]? 1:5 3 | 1 pt Si consideri la funzionef(x) = 2jsin( x)je il suo interpolante polinomiale quadratico a tratti H 2f (x) su 4 sottointervalli equispaziati di [0;4]. Si riporti il valore H 2f (1:75). 3=2 4 | 2 pt (***)No Multichance Dati i nodix 0= 0, x 1= 1 =2 ex 2= 2, sia ' 0( x) la funzione caratteristica di Lagrange associata al nodox 0. Quanto vale l'approssimazione dell'integrale Zx2 x0' 0( x)dxottenuta con il metodo di Simpson? 1=3 1 5 | 1 pt Si consideri l'approssimazione dell'integraleI(f) =Z b af (x)dx, dovef2C1 ([a; b]), tramite una formula di quadratura composita. Sapendo che perM 1= 10 sot- tointervalli equispaziati di [a; b] si ha un errore pari ae 1( f) = 10 1 , mentre per M2= 100 sottointervalli si ha un errore e 2( f) = 10 4 , si stimi l'ordine di accu- ratezzapdella formula. 3 6 | 1 pt Si consideri l'approssimazione dell'integrale doppioI(f) =Z b aZ d cf (x; y)dydx tramite la formula dei trapezi, ovvero It( f) =( ba)(dc)4 [ f(a; c) +f(a; d) +f(b; c) +f(b; d)]: Postia=c= 0,b=d= 1 ef(x; y) = 2( x+3y) , si riporti il valore diI t( f). 6:7500 7 | 2 pt Si consideri il seguente problema di Cauchy:8 < :y 0 (t) =r10 y(t)10 + tt 2(0;4); y(0) = 9: Utilizzando il metodo di Heun con passoh= 0:2, si riporti il valore calcolato di uN t, ovvero l'approssimazione di y(4), essendot n= n hpern= 0; : : : ; N t. 1:3664 8 | 1 pt Si consideri il seguente problema ai limiti:u00 (x) + u0 (x) =f(x)x2(a; b); u(a) =u(b) = 0; dove >0. Si supponga di approssimare tale problema utilizzando il metodo delle dierenze nite centrate con tecnicaUpwinde passo di discretizzazioneh >0, ottenendo cos la soluzione numericafu jgN +1 j=0nei corrispondenti nodi fx jgN +1 j=0. Assumendo che la soluzione esattau2C4 ([a; b]) sia nota e che l'errore perh= h1= 0 :1 siaE h 1= max j=0;:::;N+1j u(x j) u jj = 2
10 2 , si riporti il valore stimato dell'erroreE h 2corrispondente alla scelta h=h 2= 0 :05. 10 2 2 9 | 2 pt Si consideri il seguente problema ai limiti:u00 (x) + 3u(x) = 10 sin(x)x2(0;1); u(0) = 1; u(1) = 0: Si approssimi il problema utilizzando il metodo delle dierenze nite centrate con passo di discretizzazioneh= 1=10 ottenendo la soluzione numericafu jgN +1 j=0nei corrispondenti nodifx jgN +1 j=0per ( N+ 1) = 10. Si risolva il problema e si riporti il valore della soluzione numericau 2, ovvero l'approssimazione di u(x 2). 1:1442 10 | 2 pt (***)No Multichance Si consideri il seguente problema di diusione:8 > > > < > > > :@ u@ t ( x; t)@ 2 u@ x 2( x; t) = 0x2(0;1); t >0; u(0; t) =u(1; t) = 0t >0; u(x;0) = 6 sin( x)x2(0;1): Si consideri l'approssimazione di tale problema tramite il metodo delle dierenze nite centrate con passo di discretizzazione spazialeh= 0:5 e il metodo di Crank- Nicolson con passo di discretizzazione temporale
t= 0:1. Si calcoliu5 1, ovvero l'approssimazione diu(0:5;0:5). 0:0867 3 ESERCIZIO { 17 pt Si consideri il seguente problema dierenziale, che rappresenta un sistema massa- molla-smorzatore in condizioni di risonanza:8 > > > > > < > > > > > :d 2 xdt 2( t) + 4dxdt ( t) + 100x(t) = 200 cos(10t)t2(0;5); dxdt (0) = 50 ; x(0) = 0;(1) di cuix(t) : [0;5]!Re la soluzione. Punto 1) | 3 pt Si riscriva il problema (1) come un sistema di Equazioni Dierenziali Ordinarie del primo ordine nella forma 8 < :d ydt ( t) =Ay(t) +g(t)t2(0; t f) ; y(0) =y 0;(2) cony(t) = (w(t); x(t))T , dovew(t) =dxdt ( t) pert2(0; t f). Si riportino le espressioni diA2R2 2 ,g(t) : (0; t f) !R2 ,y 0e t f. A= [4;100; 1;0],g(t) = (200 cos(10t);0)T ,y 0= (50 ;0)T ,t f= 5 Spazio per risposta lunga Punto 2) | 2 pt Con riferimento a un generico sistema di Equazioni Dierenziali Ordinarie nella forma (2), si riporti la de nizione di zero-stabilita in relazione al metodo di Eulero in avanti. Si de nisca tutta la notazione utilizzata. Spazio per risposta lunga Punto 3) | 3 pt Si approssimi il problema (2) del Punto 1) tramite il metodo di Eulero in avanti usando opportunamente la funzione Matlabr euleroavantisistemi.m con passo h= 10 2 . Si riportino: i valori delle approssimazioniu 1e u N hrispettivamente di x(t 1) e x(t f), dove tn= n hpern= 0;1; : : : ; N h, h=t fN h; il valore minimou m= min n=0;:::;N hu ne il tempo discreto t m= argmin n=0;:::;N hu n corrispondente au m. u1= 0 :5000,u N h= 2:0510,u m= 6:6617,t m= 4 :8700 Spazio per risposta breve 4 Punto 4) | 2 pt Dopo aver risposto al Punto 3) e sapendo che la soluzione esatta del problema (1) ex(t) = 5 sin(10t); si calcolino gli erroriE h= ju N h x(t f) jottenuti con il metodo di Eulero in avanti e corrispondenti ai passih 1= 10 3 ,h 2= 5
10 4 ,h 3= 2 :5
10 4 eh 4= 1 :25
10 4 , essendou nl'approssimazione di x(t n). Si riportino i valori E h iper i= 1; : : : ;4. 0:0583;0:0288;0:0143;0:0071 Spazio per risposta breve Punto 5) | 2 pt Si utilizzino gli erroriE h iottenuti al Punto 4) per stimare algebricamente l'ordine di convergenzapdel metodo di Eulero in avanti. Si giusti chi la risposta data e la si motivi alla luce della teoria. p= 1:0042 Spazio per risposta lunga Punto 6) | 2 pt (***)No Multichance Con riferimento al sistema di Equazioni Dierenziali Ordinarie (2) del Punto 1) con g=0, per quali valori dih >0 il metodo di Eulero in avanti risulta assolutamente stabile? 0< h