Aerospace Engineering - Dinamica di Sistemi Aerospaziali

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MECCANICA AEROSPAZIALE II TIANO RICCARDO A.A. 2024/25 MECCANICAAEROSPAZIALEI RipassoATBOAB = R +r=LCYIPer c=0:0=0;a = Qca AaEx ,y, z3 + FE*,Y, 23YXAz (B - a) = xBi + = = Li + (sind E = ci + Since(B - A) = XB = Loppure=sinxi-cosaAngoli : Ca' = caiRa = -(0 . a)= d= BiroVelocità :VB= d)=)== 1 dYBAccelerazione :EB=dt= ( + L=Datiinerziali :-ASTA-DISCOBaricentroGBaricentroBMassamMassaMBMomentodiinerziaJGMomentodiinerziaJBEC: B =M&GRx=m*G S 2D E #G = JGRy = micMG=JGcBilanciodipotenze : d = W conW= Ep .UpoppureW =Ca CINEMATICADEISISTEMIDIC.R.· Gradidilibertà/1cinelpiandi "Do 3into>3gdl=3coord. libere XXA· sistemediCR-ApplicodeivincoliXa=0;Ya=0XB=Xc;YB=YcgaeBCcerniereB=CBD6gde/novincoli)-2(erniera a terre) - 2 kern .interne)=2gal=geinterna&=>2cord. libere/es .acoord. libera(a) &YaInquesto cesodevotrovereillegamecinematicotraae B=P = B(c) A-2 ogde - iperstaticestrutture: gal =o-3gdl =-1SISTEMIDIC.R.Meccanismi: gal =1AT T E N Z I O N EavincoliridondantiomalpostiEs.XBgdl =3-1-1conC: gdl =0ma dalpitodivistodelmovimentoNonserve(ridondante(cost . ) < (B = cost)Es: struttureisostaticaStrutturebobileOgde(labilità)=>1gdeinpraticeSYImeccanismipossonoessereincatencinematicaaperta o chiusaAPERTACHIUSA:neglialtricasi -2-2-2 9gdl-8 =1 gal -2CRcollegatiinserie= ICRvincolatoa terreLegamicinematicineimeccanismiEsempio :1gdl B-26gdl-3 =1=1coord. libera(a) A&C 3k)B =~iBc = l -1-2 Xc(d)Jacobianoxc= Xc(a) = Xc[x(t)]↓ = ( =( = Cometrovoilegamicinematici?INFO·2corpirigidiBXB= XA +VcosX XB =Xa+lcsB Xv E 1 es E YL YB = YAtrsinaYB'= Yc+&sinB A· vincoli - cerniere e terreinA-cerniereinterneinB- correlloinCXA =0;YA =0XB=XB'iYB=YB'Yc =0· combinoleINFOXB =rcosXXB' = xc+1 cosB~cosx=xc+ I cosBSist . di2egz .con2incognite ES = E YB = rsina:YB = esinBUsinx= Isingnon-lineare Dalleeg .: sinB=sina=B(a) = arasin)sina)& :costo>prendo(+Delleeg :Xc= rcosa-looss ma cosB = 1-sinis =+ 1-(e)sina=>Xc=rcosa+12- (r/e)sinza= Xc(a)MetodoRAPIDopertrovarelegamicinematiciEequazionediCHIUSURAVETTORIALEINPOSIZIONEScrivoloposizionedi un pitodelmeccanismoutilizzando2percorsivettorialidiversi , chetenganocontodeiCre deivincolidelsistemaBB=B![XBDI l(B - A) = (c - A)+(B - c) vhB(x) v B ~ (cosa:+ sinxi) = xci+1(cosi + sinBI) -2&C&A-1OAC [] [yc = 0]Xc(a)I :rcosa=Xc+&cosBB = B(c) E => E I : usina = IsinBxc= Xc()Velocitàmetodonu.1/de non usure) :devivorispettoeltempolegamecinematicoX c= d(vcosa(t) + 1 z - (r(e)sin(t)] =..... 3 = Esin[(r/e)sina(t)]3[A]1 =b=A= A + bMetodonr.2:devivoeq.dichiusure rosc= Xc+&costd/dt - Vasinc=Xc-lBsinB EEI~ esin]] Se I usina= esinB~cosa = lBcost · sin Xc = -vsina+Sinc13Accelerazioni esinddtlcesin (as[ = [) ( EsempioEg . dichiusura :B- sbegliata-giusteB(a) BBC l&ld&~CvB HX[AXc(d) AzALXad dixi H (C - A) =c(cosi + sinti)(B - A) = (B - c) + (c -+ ) +(H- A)(B - A) = (B - c) + (c - A)I :rcost= lcoss+Xc E ~ (cosc: + sinc]) = l (cosBi + sinBj) + (c - 1)1 : usina = IsinB +d3incogniteI :cosa= loss + (cose2eqz .,2incogniteon E 2egz . I :usina= IsinB+Csinf NO Meccanismia1GDLPiùsemplici :- manovella - glifsMANOVELLISMOORDINARIOCENTRATOBA:menovelleE = x =2 (vrec =x+leß(espr . equivalente)I 2rlC BI :rcos=X+ I costIm E AXXC ↓:Usinx = IsingRebX=rosa+11 - (Esina) 2x= x(a)linearizzaX=Vcosa+ 1 1- (sina) 2 SE B = wresin(Esina)B = B(a)approssimabene se X1Motoapprossimeto :x=cosa+ l 2= itx(t)=vosat+l EE i = costante=>X(t) - vasinati =0 *()-visinit-racosatMANOVELLISMOORDINARIODEVIATOB v b AdC QUADRILATEROARTICOLATOmoneteorebiell ore telaioconfig.aperteconfig . incrociataQuadrilateroarticoletodiGRASHOFACB&CC za+ d = b+cAbSelaregola : IMIN+ImaxZaltriduelati=illotopiùcortopuòeffettuare J B XBunerotazionecomplete Id Quadrilater:NondiGrashofPossonopassaredeunaconfigurazionedimontaggioall'altraduranteilmoto/inversionegeometricaGLIFOOSCILLANTEDC (D - A) = (p - c) + (c - A)CDCACAAttuetorelineareincernieratoottuntore 5 C (c - A) = (C - B) + (B - A)ABtelaioEquazionicardinaliequilibridinamicif2[2 m, JG -&G E = Eli = Rx:+Ry] D - fa↑a=z(Pi - G)1fi+2i = MGC1=Ö - Eqz . cordineliB = meGRx = mXG S E AG = JaRy = mYGMG= JEquilibridinemici(principiodiD'Alembert)R+( - mec) = =&Einerzia = Q - ESAz+ ( - Jaz) = 2AG+[INERZIA =Q Eg . cordinaliEquilibridinemiciIs -D . Di Cambiodipoloperl'equazionedeimomentiles : dabaricentroGegenericopuntoa)G⑤ 8 Ma=(Pi - G) 1ti+Ci == (a - G)1 - Eti = tiMa =z(p :- a) i+2?(p : -G) = (Pi - a)+(a - c)da = z(pi - a) ti +z:+z(-G)ufi (a - G)15t = (G - a) EnDa=Ma+(G - a)EnquindiMatEn =2iAa + Enn + (G - a)1E ,n=0DINAMICADELMECCANISMI(1GDL) ssWaC ·Im9Metodi :- equilibriodiforze · eq . cordinali · equilibridinamicimetodienergetici · Th . energiocinetica . eq . diLagrange(p .L.v.)EQUILIBRIDINAMICIattive E R+E ,n= QNota : inEeMacisonosempre2tipologiediforzeesternereattive(vincoli)AG+[ IN =QNota: ricordersidelprincipiodiazione-reazione(vincoliinterni).NOTA: sistemadiNccorpinonvincolati3NcGDLaggiungo n gradidivincolocorrispondononreaz. Vincolariottengounsistema con (3Nc-n)EDLIntotale , leincognitesono:- (3Nc-n)eq . dimotoperlecoordinatelibere -N reazionivincolariQuindiintotaleho : (3Nc-n) +n= 3NcincogniteINFoadisposizione : 3Nc3equilibridiforzeperognicorporigido EsempioAB =rBss BC = lLis % 1 = +1 &AC=CEm9Notalaleggedimotoper a (t) , o LEGGEDICOULOMB1C- ITi) = fDIN/TDNTocoeff . diattritodinamico(Mp)F2 C Ingenerale,perlestessesuperfici : MDMS 2 Versoopposto a velocitàrelativaoppostoalmotoV12Informavettoriale : Is ,1=- fDIN)lzelversorediV12V12ID ,2=- [pr = /DIN)'WarlPOTENZAattritodinomico 2 VIV12 oID,1 ID NOT ,AT T R I T O= MutMe = Ide · Va+10 ,2· 12 = [d,r(X1 - (2) = [ ,1- V1 =2=- fDINIVaz = -foIN . IValoEsercizioEsempio)BICCHIERE9 MS– ir(relative)oruts , faFx ,XTOVAGLIA Obiettivo :trovareFchemipermettedistilarelatovagliesenzaforcodereilbicchiereY uts , fa DXTAV O L OlCasoA: tirolatovaglia , tuttotermo(casosteticaF-(Fun)E/F < fsINX =0 , tovaglioinquiete);io(bicchierefermse ·myFF+Ts =0* S TsN, Ni = mg+Mg CilTsK< fsINil = fs(mtM)gcondizionediaderenzeCasoB : bicchiereetovagliasimuovonoinsieme(v = a)F > FLIM↓so , 20iv =0, i =0(nomotorelativoMgMiTD, = /DINil ·mgF S mxA x >0 Ni = (m+M)gNiF - fD(m+M)gTD , F - (m+m) - fo(N i ) =0 X =m+MCi Verificol'ipotesidiv =0, medianteverificediaderenzetrobicchiereetovaglieMxMy SN2 = mgsostituisco:mim-fg < fsgFcg(m+n)(fo+ f) [2 Ts z = miTs 2N2VerificadiaderenzaTCaS2N2FITszl < fsINalmymyMicfsMg: < fsgCosoC: motorelativotrobicchiereetovagliaF > (m+n)z(fx++s) = F~o(necessarioperstilareletovaglie)Xo, 0 tovoglia:Inquesto coso leaccelerazioniperiduecorpi sono diversebicchiere:+iBICCHIERETOVAGLIAMMgr(conico)X,iN2 =MgN1-N2-my =oA EE TD2C2 fD(Nzl - M(x + i) =0 F -mx- fx(Nz) - fi(Nal =oN2N2TD2C2FCoX =F- (d(NztN2)F- fx((m+H)g + 49] = 5miamgTD2Nas( + i) = m Integroleequazionidimoto , applicandolecondizioniinizieliC.I. (tovoglia) :X=0, x =0, < = E(cost)x = 5 E X = et x= 25t2l X x(t)xB(t)I&C.I. (bicchieve) :XB=*,XB =0 EB = fD9sto vogliosetovaglietuttofuoridaltavoloXB = fogtbicchievexm= x + 2+bgt2CONDIZIONIdiADERENZAnelvincolodipuroNotolamento PVG= REI m,j=3mBG= RiGitaB =CirS d = π =- (p]) . (ri) + ( - Ck) . ( - ok) = coEc = 2mig + 15/01 = 2 (mi+3)82=(amrz)g2 dimjjMarc:C ma Verificadiaderenza(aposteriori) C 3g mBÖ PN=P E TsTs = mRö = INlis) < fsIN?1sistemaèipersmorzato↓/2= -hoIc h2 -aX(t)x =- ha+wh2 -e=- (ha)+(nw)2-22x1 =- q EE1 Xz =- ha - chi -1D 12 =- 32-tSOL. TEST : x(t) = CentINT. GENERALE : X(t) = Creditacceptcomb . linearediesponenzialidecrescent : (NONOSCILLANTE)CASOC:h=1A x212 =- hwewh2-z =-c /2redicicoincidentiX(t) = Geat + t(ze utstessoandamentodelcosoB,nonoscilleSMORZAMENTOnelleeg. diLagrange↓(DE) - GEV = Qxsmorzamentoforzaviscose&O)x(oltreforseF~FF =r la·di = X2-(al +0 ellungamentoX2X2lograngianaS = viesa-riesz = -vie(sxe-Sx) = -raesal(raesme ·iem= (-veile) SxSX1SX2GlQuindi : QXsmorz=-ValoxIntroducolfunzionedissipativaD : D=re2=rac = -AxsmorQuindiinLagrange : d) o ESEMPIO wm,J,REc=2mx2 + 2382=(m + p)x x= 10 K V = kae = Ek(-x)2 = 2kxgiD= vie = zr(2x)2=(pr)xApplicoLagrange (2) (m+=kx =prx # Ed .diMoto: (m) m*x+r* x +k*x=0k*KW=mpulsazioneinquesto caso:w=m+ 3/r2 v*Inh=2m+=2 (m + J/R3)wmotoforzato(puf0)E mx ++x+kx= f(t)int . generalex(t)C.I.X(t) = XoroGENEA(t)+X PARTICOLARE(t)OMOGENEA : matrx+X=0Xom. (t)PARTICOLARE : matri +kx= f(t)Xpart . (t)dipendedeltipodiforzenteFORZANTEARMONICAf(t) = Fosin(It)2: pulsazioneforza;w= puls . sistemamitri +kx= Fosin(et)metododisomiglianzex(t) = Xosin(et+4)(so2 . TEST)Xo , 9=?DIM:einst =cost+isinetf(t) = Fosinet = Im(Foeizet)mi + rx+x= Im(Forizat)vendocomplessol'eg . devisolveremi + rx+x= Foeirt=Ceiet: = Cialeint: = Cimeiet : -Creint con C = costcomplessosostituisco : [-zim + (i2)r+ ]Ceret = Focetericordo : w = *:h = In2mwh w (2 + i+ 1) i [1-( + i2h()]c= a = : rapportotrepulsazioniTo1 [(z - 22)+i(2ha)]c =n XSTATico = Toun Ci e dinamiceNOTA: Cècomplesso 1-248ICXo = XSt ·12 - 02/2+12he)2jton4 =1-22GRAFICOinfunzionedi a elvariaredih4Xo/XST .1a=r/w -- -188a=r/w10= 01 .1=1 ton4= 201 a28=1 H =2hZONAdiRISONANZA :0=1&wCmX(t) = Xoei9 . eint = Xoei(mt + 9)noivogliamolasol.perf(tt = Fosin(et)prendoporte imm. Xp(t) = Im[Xoei(++9)] = Xosin(ft+9)xo (h , a):G(h , 0)sempreco: sist . inritardorispettoallaforzaINT . GENERALE : (y(t) = Xo(t)+(t)C.I.XST . Seha : x(t)= ht[Asinwtcos(wt) 22 + (42)2sin(net + 9)x(t)particolare Sere ehat =0.02F=r. 6(n)costanteditempodelsistematransitorioregimeomogenesparticobre t particolareCasoparticolare : FORZAMENTOinRISONANZAv= w(a = 1)hpiccolo , htwa= 1-wirC.I. nulleXST . 4 = -x(t) =e- nat]Asin(it) + Bros(not)) + 12 . 22 + 12halt S II X(d) =0 x(0) =0x(x) =0= 2(0 + B)+o B =0X(t) =- hwehatAsin(wt)+Aeihatacos(wt)+cos(wt):x(0) =0= Aw + 2 A =- ex(t) = e hat[- sin(wt)]+ Esin(nt) = (n)sin (wt)(2 - enaut)x(t) I M Sttt _ 3 .Altreforzantecomune: F(t) = Fo = costantemx + ri + kx = FoapplicometododisomiglienzeX=C= costante;X =0;= =0FoFoCk = FoC=k= XSTXPART .= XST =Kx(t) = Xom .+XPART .= ehwt(Asin(wot)+Bos(wot)]+ EE C.I. x(t)t * -3XST u tXtransitorioregime(costente Vibrazioniattornoaposizionediequilibriostatico(Xsi)*spostamentorispettoeXsix= Xs+X= E "¥ =mx+ri+kx= Fom+r + k(xs+) = EKXs = Fom+v + k =0 ESEMPIO : forzamentodamassaeccentricerotanteEQ .DINAMICIE·G o(t)Accelerazioni D Co = *]G=cost.=G= =+or(k - d) - j2(G - d) = x] - r(cos8i + sin8) gKForzedovutaalDir. verticale :(M+m)x + rx+(x+xst) =-(M+m)g+.....+ meEsin(t)Xsi=(Mimgcomprostaticomollopeso(M + m)x + rx+kx= (m-2) sin(nt) = mz2centSol.TEST:X= Leirt: = Cireint: = -Creirtmerdipendonodaheda[-(m + H)22 + v(iz)+n]cei+t= (mad)eintC = [k - (m +H)+2] + i(vn)[m/(m+M)]E[m/(m+ m)]Ez w= minih= 2(mm)wic =C = (w2 - 22) + i(zham) = (2 -02)+ i(2ha)Xoe : 9XPart = Im(Ceirt) = Im(Xoe : Peiet) = To s i n ( e t +6)Xo = mind((2 + + + (2na(]XoIncumentoE *22 = 1 VibrazioninonlineeriSistemo non lineare : g(x , x , x , 1) =- CINEMATICAIntegrazionenumericex(t) - MATERIALE -AT T R I T ILinearizzazioneattornoadunaconfigurazionedelsistema -FORZEAERODINAMICHEECC. Integrazioneanaliticax(t)(validaperpiccoleoscillazioniESEMPIO : Pendole(non-linearitàcinematicall Emili SeVg = mgh = mg) - l cd S mdrymylsing m omg Ep .DiMoto: ml'Ö + mglsino =o(NON-LINEARE)+sing =o;Ötwsing =o (w = e)1)Cercounaconfig . delsistemaattorno acuilinearizzarel'eg . dimoteposizionediequilibriostaticoEmpongonell'eq . dimotounasoluzione : 0 = 00 , 0 = 0 =0Coppure2000 = o Ö+wsin8 =0w2sindo =0(EQ .DIEd . STATICO):sindo =o 00 =0(pendolostandard)80 = i(pendolorovesciol2)Linearizzol'eg . dimotoattornoed una posizionediequilibriostaticoCASO : Do =0 g(x)= g(x) + Ex = x con = = (x - Xo)singsindo+ (costo) con 80 =0EQ.DIMOTOLINEARIZZATA=(0-0)i0: = Ö:twsing =o +W25 =0AT T O R N OA00=0=Asin(wt+9)validoseopiccolo (c20d CASO :Do= Tsindsindo + (costosino-L' e q . dimotolinearizzateèdiversa : -c =o (rigidezzaequivalente : n = -waco)SOL.TEST: Ö = Aext;Ö = Ax 2 extg +OD (x2 - w2)text =o X- w ?=0ER. CARATTERISTICAX1/2=Ice=Azeit + Aze*t = Aset+Azeatt tooo :soluzionedivergente(ilpendolosiallontanadellaposizionediequilibriosol .m linearizzatasoluzionenonlineareESEmplo2:Molleprecaricate(NON-LINEARITÀCINEMATICA)-mLunghezzadellamollell(x) = d2 + xB X Felastica = K. 1li&l = l(x) - tolunghmollascarico *Sd= costante" X, X, S⑨ F = kal = k[l(x) - lo]loAlEQ .DiMoto(Lagrange) : Ec = Emx20) misalVn = 2kdl2=Kaloxial = 1 + x2 - 10% 2x x] = e = k(x 2+ d - lo) x 2 dEa .Dinoto: mitk[lk)-lobe = oimi+ (1 -)x =0Ea.dimotoNonLineare 1)Posizionediequilibriostatico(x =Xo, x = = = 0Esistono3pos , infetti :n (2-d) xo=to=0: Al = d-lo =S& lo 1- x3 +22=0Xo=1lo - &2CESISTEsoloSElo>d)e(x)Xo =+10 - d2 al(x) =oAnalogoperXo = -lo -d(maalcontroridd2)Linearizzoattorno a Xo =0D * =x-xo; = X;=DEVOLINEARIZZARE : n (n-2) x=0+n((n-) v+(2) . (2) . (x + (2) - 2 . 2x -x]xxoE=k(1 - 8)(n(d-ld)] = Kals losegnodipendedodEQ .DiMOTOLINEARIZZATAm+(1 - E)k =0 rigidezzaequivalent . locd : lomolloèinTRAZIONEmi+k =0 T*oscillaattorno oXo Ut XèpuntodiequilibriostabileB. 0 lo>dmi-In =0**èdivergentetF(x , x)MKgmi + ri+kx= F(x , x)puòdeveorigineadinamicainstabile1)pos.DiEquilibrio(es : posiz . costante)X=Xo= cost.;X =0;0 kxo = F(x0 , d)prob . elgebriconon-linearecanincognitato2)definiscolaVA R I A Z I O N EdiPOSIZIONEattorno aXox=xo+;x==3)LINEARizzoF(x , x)F(x , x)=F( , a)+ +min -4)sostituiscof(x , X)nell'eq . dimoto & r ~ mi+ri +kx= F(x0 , 0) - r-:mtrk = F(x , 0)--Em + (+r ) + G =0·ser*oeK*0 E(t)èlasoluzionesmorzate · sistemastabile ·se r*coeKo(smorzamentototelenegativor*=v+ rhcosempre o puòessereco · x(t) = entAsin(wst+4)INSTABILITÀDINAMICA ·se#co(rigidezzatotalenegativem+** =0 E = Aelt, = XAext tooI Xm+*=0iXx2 = 1=(t) = Aze/m++Aze11/mt* too INSTABILITÀSTATICAINSTABILITÀAEROELASTICA/dountoacompidiforzeaerodinamici)MLD = resistenzestelloD a L= portanzaC(2)(p(a)VietpressioneBx= angolod'attacco * ~D = EPVeeB((a)iL = EPVeeBG(a)iM= EPVeBca(a) ComesigenerailcampodiforzeF(x , x)?Vuel = UUcost2= 0z0=0 Vel = u + zYz a=- YitenY= VelgUP=0 Vel = v2+(eg) 2 VuelYztenY = 20 =- YCASOGENERALEVel = v" + (z + 10) 2 · z+ 10~ & tonY =4zVuello 2=0- 4ESEMPIO1GDLz, Z , L 2=- 4jMzY & 0=0= cost · teny =uVelzDVe l = u + z= r ER .DIMOTOmi + ri +kz== (cosY-DsinY = F(z) = EPVelBGlacosY-EPVeeB(p(a)sinY1)EQ.STATKozizo;z =0 ; =0;4 =0