Aerospace Engineering - Tecnologie e Materiali Aerospaziali

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Soluzioni TDE 30/06/2021 Tecnologie e Materiali Aerospaziali Esercizio 1 Si consideri un’asta di lunghezzal= 1200mm. a)Dopo aver associato il tipo di lega (tra lega Al, lega Fe-C, lega Mg e legaTi) ai materiali rappresentati in tabella, si determini quello che permette di minimizzare la massa limitando la deformazione assiale dell’asta entro lo 0.01% allo stesso tempo evitando l’insorgere di fenomeni di instabilit`a, quando questa sia sollecitata a compressione con un caricoF= 1500N (Figura 1).Materiale E (GPa) σy (MPa)ρ(kg/m3 )A 210 1200 7800 B 105 850 4500 C 70 300 2700 D 45 200 1800b)Per il materiale selezionato al punto (a), determinare il raggio dell’asta. c)Supponendo che l’asta abbia raggio 10mme nell’ipotesi che sia applicato anche un momento torcenteM t= 35N m, verificare attraverso il criterio di Von Mises se il nuovo stato di sollecitazione permette al materiale di rimanere in campo elastico (Figura 2). Soluzione Punto a.I vari materiali si riconoscono dai moduli elastici e/o dalle densit`a presenti in tabella, ottenendo quindi le seguenti associazioni:Materiale E (GPa) σy (MPa)ρ(kg/m3 ) LegaA 210 1200 7800 Lega Fe-C B 105 850 4500 Lega Ti C 70 300 2700 Lega Al D 45 200 1800 Lega Mg1 Figure 1: Problema (a)Figure 2: Problema (c) Il problema di progetto si pone come un problema avincoli multipli e singolo obiettivo. I vincoli richiesti sono di rigidezza e di stabilit`a a compressione e si esprimono rispettivamente mediante le seguenti equazioni: ε≤¯ ε=⇒σE = FAE = FπR 2 E≤ ¯ ε(1) F≤N cr= kπ 2 E Jl 2dove k = 1e J=πR 44 (2) DoveJ`e il momento d’inerzia della sezione ek`e un parametro dipendente dal tipo di vincoli d’estremit`a dell’asta che permette di associare la lunghezza di quest’ultima alla lunghezza di libera inflessione. L’obiettivo, invece, consiste nella minimizzazione della massa ed `e descritto dalla seguente equazione: m=ρAl=ρπR2 l(3) Procediamo ora ricavando dalle equazioni 1 e 2 il quadrato del raggio che poi andr`a sostituito nell’equazione di vincolo per ottenere due espressioni della massa: R2 1=FπE ¯ ε R2 2=r4 F l2kπ 3 E 2 Sostituendo nell’equazione 3, otteniamo le seguenti espressioni: m1= ρFπE ¯ εl =ρF lE ¯ ε m2= ρπr4 F l2π 3 El = 2ρl2rF kπE Inserendo i dati forniti dal testo dell’esercizio, troviamo le seguenti coppie di masse possibili per ciascuna lega:m 1m 2A0.66861.0711 B0.77140.8739 C0.69430.6422 D0.72000.3708 Per ciascuna coppia scegliamo la massa maggiore tra le due (evidenziata inviola per comodit`a), in quanto sar`a quella in grado di soddisfare contemporaneamente entrambi i vincoli. Infine, tra quelle proposte scegliamo quella minore, in quanto rispetta l’obiettivo di minimizzazione della massa: dunque la lega pi`u adatta per l’applicazione considerata e la C, ovvero la lega di Alluminio. Punto b.Per trovare il raggio dell’asta, invertiamo l’equazione di vincolo e inseriamo la massa trovata al punto precedente: R=rm πρl = 8 .2590mm Punto c.Per risolvere il seguente punto, dobbiamo comporre il tensore degli sforzi associato al punto della sezione maggiormente sollecitato. Per quanto riguarda il momento torcente, esso genera uno sforzo tangenziale con andamento lineare che assume valore nullo nel baricentro della sezione e valore massimo sul bordo, dato da: τmax=2 M tπR 3= 22 .2817M P a Se non ci si ricorda a memoria tale formula (ma solitamente viene fornita), la si pu`o ricavare per integrazione mediante la definizione di momento torcente: M t=Z Aτ rdA =Z Aτ maxrR rdA =Z 2π 0Z R rτ maxr 3R drdθ =τ maxπR32 Dove si p assunto un modello lineare per l’andamento dello sforzo di taglio con valore massimo sul bordo, come detto in precedenza. Inoltre, a causa della 3 compressione, agisce anche uno sforzo normale sulla sezione in direzione dell’asse x (assunto coincidente con l’asse del cilindro): σx= −FA = −4.7746M P a Infine, per assemblare i tensore degli sforzi, ci serve una convenzione per il sistema di riferimento baricentrico della sezione. Supponiamo di scegliere il seguente sistema di riferimento: Tutti i punti sul contorno della sezione sonoFigure 3: Convenzione per il sistema di riferimento punti di massima sollecitazione e sono sollecitati in ugual modo. Per comodit`a, scegliamo di metterci nel punto A indicato in figura, allora si avr`a che: σ=  σ x0 τ xz 0 0 0 τzx0 0  Doveτ xz= τ zx= τ max> 0 in quanto tale sforzo, come si vede in figura, `e allineato con il verso delle z positive secondo il nostro sistema di riferimento. Ora che abbiamo il tensore di sforzo, `e necessario calcolarne gli autovalori per sfruttare il criterio di Von Mises, che si basa sugli sforzi principali. Per fare ci`o, procediamo come al solito: det (λI− σ) = λ −σ x0 −τ xz 0λ0 −τ zx0 λ = 0 λ(λ2 −σ xλ −τ2 xz) = 0 4 Da cui si ricava infine che: σI=σ x−pσ 2 x+ 4 τ2 xz2 = −24.7965M P a σI I= 0 M P a σI I I=σ x+pσ 2 x+ 4 τ2 xz2 = 20 .0219M P a Infine possiamo finalmente applicare il criterio di Von Mises:qσ 2 I+ σ2 I I+ σ2 I I I− σ Iσ I I− σ I Iσ I I I− σ Iσ I I I≤ σy 38.8872M P a≤300M P a Dato che la disuguaglianza `e rispettata, il materiale rimane in campo elastico secondo Von Mises. Esercizio 2a)Indicare quali sono gli effetti dei seguenti requisiti sulla generica matricedi rigidezza del laminato: I)Disaccoppiamento tra azione assiale e taglio membranale. II)Disaccoppiamento tra azioni membranali (flessione e taglio) e flesso-torsionali. III)Disaccoppiamento tra azione flettente e torsione. b)Per ciascuna delle sequenze di laminazione proposte in tabella, indicarecon una X quale dei precedenti requisiti risultano soddisfatti:ID Materiale Sequenza I II III 1 CFRP UD [(0 /30) 2, (0/−45)] s 2CFRP Plain Weave [(0) 4, (90) 2] 3 GFRP UD (0,0,0,45,90,90,45,0,0,0) 4GFRP Twill Weave 2/2 (0 ,+30,−30,+60,−60,0) 5CFRP Twill Weave 3/3 [(0) 2, (+45) 2, (−45) 2, (0) 2] 6 CFRP UD (0,30,+45,−45,−30,0)c)Per i laminati 2, 4 e 5, indicare angolazioni alternative delle lamine che individuino la medesima sequenza di laminazione. 5 d)Indicare quale/quali elementi della matrice di flessibilit`a del laminato (sotto indicata) devono essere nulli affinch´e, a seguito di una sollecitazione assiale in direzione x applicata al laminato, non si manifestino defor- mazioni flessionali e torsionali.                     ε 0X ε0Y γ0X Y     κ X κY κX Y                    =          F A 11F A 12F A 13 F A21F A 22F A 23 F A31F A 32F A 33  F B 11F B 12F B 13 F B21F B 22F B 23 F B31F B 32F B 33   F B 11F B 12F B 13 F B21F B 22F B 23 F B31F B 32F B 33  F D 11F D 12F D 13 F D21F D 22F D 23 F D31F D 32F D 33                              N X NY NX Y     M X MY MX Y                     Soluzione Punto a.Innanzitutto scriviamo in forma completa la matrice di rigidezza del laminato secondo la teoria classica della laminazione:                  N X NY NX Y MX MY MX Y                  =          A 11A 12A 16 A21A 22A 26 A61A 62A 66  B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66   B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66  D 11D 12D 16 D21D 22D 26 D61D 62D 66                            ε 0X X ε0Y Y γ0X Y κX κY κX Y                   E ragioniamo sui vari termini considerando i casi proposti dall’esercizio.I)Il disaccoppiamento tra azione assiale e taglio membranale indica che ledeformazioni assiali del piano medioε 0Xe ε 0Ynon devono influenzare il taglioN X Ye che lo scorrimento nel piano medio γ 0X Ynon deve influenzare i flussi di forza assialiN Xe N Y(e viceversa). Tale effetto si ottiene quindi considerandoA 16= A 61= A 26= A 62= 0, ossia il laminato deve essere equilibrato. II)Il disaccoppiamento tra azioni membranali e azioni flesso-torsionali richiedeche le azioni/deformazioni fuori dal piano (le curvatureκ X, κ Ye κ X Y) non influenzino i flussi di forzaN X, N Ye N X Yche invece sono contenuti nel piano, e che le deformazioni nel piano (ε 0X, ε 0Y, γ 0X Y) non influenzino i flussi di momentoM X, M Ye M X Y. Ci`o avviene solo se la matrice di accoppiamento membranale-flessionale [B] ha unicamente elementi nulli (B ij= 0 ∀i, j), il che implica che il laminato deve essere simmetrico. III)Il disaccoppiamento flesso-torsionale richiede che i flussi di momento asso-ciati alla flessione (M X, M Y) siano indipendenti dalla curvatura torsionale (κ X Y) e che il flusso di momento torcente non sia influenzato dalle cur- vature flessionali (κ X, κ Y) e viceversa. Per far s`ı che ci`o avvenga si deve allora avere cheD 16= D 61= D 26= D 62= 0, ossia il laminato deve essere bilanciato (o antisimmetrico). 6 Punto b. Consideriamo i singoli laminati uno ad uno: 1.Dato che compare il pedice s, il laminato `e sicuramente simmetrico. Tut-tavia, poich´e `e composto da lamine unidirezionali, non `e possibile esprimere gli angoli in altri modi equivalenti, quindi risulta soddisfatta solo la con- dizione di simmetria e dunque realizza (II). 2.Il seguente laminato `e composto da tessuti, quindi le direzioni a 0°e a -90° sono equivalenti e idem per quelle a 90°e 0°. Inoltre, come per tutti i laminati di qualunque genere, le direzioni -90°e +90°sono uguali1 . Quindi se si rimaneggiano un po’ i vari angoli della laminazione scrivendoli in maniera equivalente, si pu`o notare che esso `e sia simmetrico, sia equilibrato sia bilanciato e dunque realizza sia (I), sia (II), sia (III)2 . [0,0,0,0,90,90]⇒[0,0,90,90,0,0]⇒[0,0,−90,90,0,0] 3.Il laminato, essendo composto da lamine unidirezionali, non presenta parti-colari equivalenze tra le direzioni di deposizione delle fibre (qui -45°e +45° non coincidono proprio per l’unidirezionalit`a delle lamine, mentre -90°e +90°continua a valere). Quindi risulta verificata solo la simmetria, ovvero realizza solo (II). 4.Dato che il laminato considerato `e composto da tessuti, si ha che -30°=+60° e +30°=-60°(e viceversa). Quindi il laminato risulta sia simmetrico sia equilibrato (in quanto∀α@z i∃ − α@z qualunque). Dunque realizza (I) e (II). [0,+30,−30,+60,−60,0]⇒[0,+30,−30,−30,+30,0] 5.La sequenza proposta `e sicuramente bilanciata (o antisimmetrica) perch´e∀α@z i∃ − α@−z i. Quindi, dato che il laminato `e bilanciato, esso `e sicuramente anche equilibrato. Inoltre, per quanto gi`a detto circa itessuti, le direzioni a -45°e +45°coincidono e ci`o comporta che la sequenza sia anche simmetrica. Dunque tale laminato realizza (I), (II) e (III). [0,+45,+45,−45,−45,0]⇒[0,−45,−45,+45,+45,0] 6.Poich´e le lamine costituenti il laminato sono unidirezionali, non vi sonoparticolari equivalenze di direzione, quindi il laminato risulta solo bilanci- ato e di conseguenza anche equilibrato, ovvero realizza (I) e (III). Ora possiamo finalmente compilare la tabella del testo dell’esercizio:1 Si ricordi che per un(tessuto) , dato che `e composto da fibre intrecciate lungo le due direzioni ortogonali, due direzioni di segno opposto e i cui moduli, se sommati, danno 90°, sono equivalenti. Per esempio -30°e +60°, -45°e +45°, -70°e 20°e cos`ı via. 2Si ricordi che un laminato bilanciato `e anche equilibrato, ma non `e in generale vero il viceversa. 7 ID Materiale Sequenza I II III 1 CFRP UD [(0 /30) 2, (0/−45)] sX 2CFRP Plain Weave [(0) 4, (90) 2] X X X 3 GFRP UD (0,0,0,45,90,90,45,0,0,0) X 4GFRP Twill Weave 2/2 (0 ,+30,−30,+60,−60,0) X X 5CFRP Twill Weave 3/3 [(0) 2, (+45) 2, (−45) 2, (0) 2] X X X 6 CFRP UD (0,30,+45,−45,−30,0) X XPunto c. Come gi`a discusso in precedenza e in una apposita nota a pi`e di pagina, per un tessuto (e solo per questo tipo di lamina) le direzioni (i.e. gli angoli) la cui somma dei moduli restituisce 90°e che hanno segno opposto sono equivalenti (e.g. -22°e +68°, -80°e 10°, ecc.). Quindi per i vari casi possiamo scrivere le seguenti uguaglianze: 2. 0◦ = 90◦ =−90◦ ; 90◦ = 0◦ ; 90◦ =−90◦ 4. 0◦ = 90◦ =−90◦ ;−30◦ = +60◦ ; +30◦ =−60◦ e viceversa 5. 0◦ = 90◦ −90◦ ; 45◦ =−45◦ e viceversa. Punto d.La richiesta consiste nel trovare la condizione per cuiN Xe le curva- ture risultano disaccoppiate. Consideriamo quindi consideriamo solo la matrice di accoppiamento membranale-flessione:   κ X κY κX Y  = F B 11F B 12F B 13 F B21F B 22F B 23 F B31F B 32F B 33   N X NY NX Y   Come si pu`o vedere dagli elementi in rosso, il flusso di forza in direzione X `e accoppiato alle curvature flessionali e a quella torsionale mediante la primacolonna della sottomatrice di [FB], quindi risulta, per soddisfare la richiesta del problema, si deve avereF B 11= F B 21= F B 31= 0. 8