Aerospace Engineering - Tecnologie e Materiali Aerospaziali

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Soluzioni TDE 02/02/2018 Tecnologie e Materiali Aerospaziali Esercizio 1 Si vuole effettuare un collegamento mediante giunzioni tra una lamiera in acciaio e la flangia di un longherone, come in figura 1. Determinare il numero di rivetti necessario a garantire l’integrit`a strutturale applicando una forza di trazione F pari a80 kN. Scegliendo gli opportuni valori degli sforzi ammissibili indicati in tabella 1, effettuare verifiche di: a)resistenza a trazione della lamiera forata b)resistenza a taglio dei rivettic)resistenza a bearing della lamiera d)resistenza a bearing del longherone e)resistenza a lacerazione della lamieraf )resistenza a lacerazione del longheroneFigure 1: Giunzione descritta dal problema. Si assumaK tc= 4eK so= 5rispettivamente per le concentrazioni di sforzo di trazione e di lacerazione (shear-out) della lamiera. Si consideri in prima approssimazione un comportamento elasto-plastico per il longherone, mentre la lamiera, che risulta completamente incrudita a seguito di una lavorazione plastica, sia assunta avere un comportamento elasto-fragile. 1 ComponenteDimensioni (mm)Resistenza aResistenza aResistenza aResistenza a a trazione (MPa)a compressione (MPa)a taglio (MPa)a bearing (MPa) σ ytσ ycτ yσ brLamieraspessore t lam= 1.7mm800880500σ yc /K brg)larghezza L 1= 450mm(con K brg= 3)Longheronespessore t long= 4mm440480260σ ycRivettidiametro gambo d=4mm14001500800- Table 1: Dati del problema. Soluzione Innanzitutto `e fondamentale notare che i coefficientiK tce K sodevono essere adoperatisolonei criteri di resistenza dellalamiera, in quanto ne modellano il comportamento elastofragile post-incrudimento con un certo margine di si- curezza, mentre il longherone ha comportamento elastoplastico. Inoltre siano blam= 15mmeb long= 10mmla distanza dell’asse del rivetto rispettivamente dal bordo della lamiera e da quello del longherone. Per trovare il numero min- imo e massimo di rivetti affinch´e siano soddisfatti tutti i criteri di resistenza, applichiamo questi ultimi uno alla volta: a) Resistenza a trazione della lamiera forata.Tale criterio considera come area resistente la sezione della lamiera a cui viene sottratto lo spazio occupato dai fori di rivettatura, ovvero: Ft lam( L 1− nd)≤σ yt lamK tc doven`e il numero di rivetti, la nostra incognita. Esplicitando pern, si trova il numero massimodi rivetti per cui `e soddisfatto il criterio: n≤L 1d − F K tcdt lamσyt lam= 53.67≈53 Si noti che, dato che si tratta del numero massimo di rivetti, bisognaapprossi- mare per difetto: infatti se prendessimon=54, il criterio non sarebbe sod- disfatto e la lamina forata cederebbe a trazione. b) Resistenza a taglio dei rivetti.Per questo criterio bisogna sfruttare lo sforzo di taglio ammissibile dei rivettiτy rive considerare come area resistente la sezione trasversale del gambo del rivetto1 : Fn πd 24 = 4 Fnπd 2≤ τy riv⇒ n≥4 Fπd 2 τy riv= 7.95≈8 In questo caso, dato che il criterio permette di individuare il numero minimo di rivetti, si dovr`a approssimare per difetto: se infatti scegliessimon=7, la disuguaglianza non risulterebbe rispettata.1 Se volessimo essere veramente rigorosi, per irivettidovremmo considerare come sezione resistente l’area di una corona circolare, in quanto il gambo dei rivetti `e tubolare e il monco che rimane al suo interno dopo la deformazione non ha funzioni strutturali. 2 c) Resistenza a bearing della lamiera. La lamiera cede a bearing (o rifol- lamento) quando il gambo del rivetto, premendo contro la semi-superficie del foro, comprime a tal punto il materiale da causarne il cedimento a compressione, comportando cos`ı un’ovalizzazione del foro. In questo caso si considera come area resistenze la proiezione piana della met`a (destra o sinistra) della superficie del foro (che quindi risulta essere un rettangolo) e si considera un coefficiente di sicurezzaK brgche invece tiene conto della reale conformazione del foro. Quindi: Fndt lam≤ σbr lam=σ yc lamK brg⇒ n≥F K brgdtσ yc lam= 40.11≈41 Anche in questo caso, dato che si tratta di un numero minimo di rivetti, bisogna approssimare per eccesso e non per difetto. d) Resistenza a bearing del longherone.Esattamente come nel caso prece- dente e con le medesime considerazioni circa le approssimazioni, si ha che: Fndt long≤ σbr long= σyc long⇒ n≥Fdtσ yc long= 10.42≈11 Dove in questo caso lo sforzo limite di bearing `e assunto pari a quello di com- pressione per quanto esplicitato nella tabella fornita dal testo dell’esercizio. e) Resistenza a lacerazione della lamiera.Questo tipo di resistenza con- siste nella resistenza a taglio della lamiera e si esprime come: F2 nb lamt lam≤ τ y lamK so⇒ n≥F K so2 b lamt lamτy lam= 15.68≈16 L’area resistente in questo caso `e quella che si forma ai due lati del rivetto in seguito a lacerazione di quest’ultimo attraverso la lamiera (e per questo compare il 2 a denominatore). f ) Resistenza a lacerazione del longherone.Esattamente come nel punto precedente, si ha che: F2 nb longt long≤ τy long⇒ n≥F2 b longt longτy long= 3.84≈4 Ora possiamo determinare l’intervallo entro cui il numero di longheroni dovr`a essere contenuto: il limite superiore `e fornito dal criterio di resistenza a trazione della lamiera forata (a), mentre il limite inferiore `e par al massimo numero restituito dai criteri (b)-(f ). In questo caso il criterio pi`u stringente per il limite inferiore `e dato dalla resistenza a bearing della lamiera (c), quindi si avr`a che: 41≤n≤53 Un qualunque numero di rivetti contenuto in questo intervallo soddisfa contem- poraneamente tutti i criteri illustrati. 3 Esercizio 2 Sia data la matrice di rigidezza[Q]di una lamina di materiale composito con rinforzo unidirezionale in fibra di vetro e matrice epossidica, con spessore pari a0.21 mm. Q=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣E x1 −ν xyν yxν yxE y1 −ν xyν yx0 νxyE x1 −ν xyν yxE y1 −ν xyν yx0 0 0G xy⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣48400 3535 0 3535 13760 00 0 3171⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦M P a a)Si determinino i valori dei moduli elasticiE xe E y. b)Si stimi il contenuto volumetrico delle fibre e della resina sapendo che ilmodulo longitudinale delle fibre `e pari a95 GPae quello della matrice `e 4.5 GPa. c)Si determinino gli elementi diagonali della matrice di rigidezza mem-branale[A]e[B]di un laminato cross-ply, con la seguente sequenza di laminazione:[(0○ /90○ )2/ 0○ ]s(indicare anche le unit`a di misura usate). Soluzionea)Innanzitutto calcoliamo i due coefficienti di Poissonν yxe ν xysfruttando gli elementi della matrice di rigidezza nel seguente modo: νyx=Q 12Q 22= 0.2569 νxy=Q 21Q 11= 0.07304 E ora possiamo ricavare dagli elementi diagonali della matrice di rigidezza i due moduli elasticiE xe E y: Ex= Q 11( 1−ν xyν yx) =47.4918GP a Ey= Q 22( 1−ν xyν yx) =13.5018GP a b)Per trovare le frazioni volumetricheVf eVm di fibra e matrice `e suffi- ciente risolvere il seguente sistema che include la regola delle miscele per il modulo elastico in direzione longitudinale e la relazione tra le frazioni volumetriche, dove: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩E x= Vf Ef t+ Vm Em Vf +Vm =1⇒ Vf =E x− EmE f t− Em= 0.4750=47.50% 4 Dove Ef t`e il modulo elastico longitudinale delle fibre e Em quello della matrice (solitamente la matrice `e considerata isotropa). Si ricava imme- diatamente anche la frazione volumetrica di fibra: Vm =1−Vf =0.5250=52.50% c)La sequenza di laminazione completa `e esprimibile come:[0○ /90○ /0○ /90○ /0○ /0○ /90○ /0○ /90○ /0○ ] Come indicato gi`a dal pedices, il laminato considerato `e simmetrico e quindi la matrice di accoppiamento[B]ha solo elementi nulli:B ij= 0∀i, j. Gli elementi della matrice di rigidezza membranale[A], invece, sono definiti come: Ahk=N ∑ i=1( ¯ Qhk) i( z i− z i−i) doveN=10 `e il numero di lamine, mentre(¯ Qhk) i`e l’elemento di indici (h, k)della matrice di rigidezza dell’i-esima lamina in assi laminato. Per trovare tali elementi, scriviamo innanzitutto il tensore di rotazione per le lamine a 90○ 2 : [T]=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣cos 2 θsin2 θ2 cosθsinθ sin2 θcos2 θ−2 cosθsinθ −cosθsinθcosθsinθcos2 θ−sin2 θ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 1 0 1 0 0 0 0−1⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Si noti che perθ=±90○ si ha[T]=[T]− 1 =[T]=− T , da cui segue che la matrice di rigidezza in assi lamianto sar`a: [¯ Q]=⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 1 0 1 0 0 0 0−1⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣Q 11Q 12Q 16 Q21Q 22Q 26 Q61Q 62Q 66⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 1 0 1 0 0 0 0−1⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ =⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣Q 22Q 21− Q 26 Q12Q 11− Q 16 −Q 62− Q 61Q 66⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Possiamo ora procedere al calcolo degli elementi diagonali di[A], con- siderando chez i− z i−1= th∀i3 : A11= 6¯ Q0 ○ 11th +4¯ Q90 ○ 11th =(6Q 11+ 4Q 22) th=72542.4N/mm A22= 6¯ Q0 ○ 22th +4¯ Q90 ○ 22th =(6Q 22+ 4Q 11) th=57993.6N/mm A66= 6¯ Q0 ○ 66th +4¯ Q90 ○ 66th =10Q 66th =6659.1N/mm Dove i simboli barrati indicano gli elementi della matrice di rigidezza in assi laminato, quelli non barrati invece gli elementi della matrice di rigidezza originale fornita dal testo.2 Non lo scriviamo per le lamine a 0○ perch´e in tal caso risulterebbe una matrice diagonale, ovvero la matrice di rigidezza rimarrebbe quella del testo dell’esercizio senza modifiche.3Questo vale perch´e le lamine hanno tutte lo stesso spessore, altrimenti si potrebbe equiv- alentemente scriverez i− z i−1= th i∀ i 5 Esercizio 3 Il reparto di produzione deve realizzare dei fori di alleggerimento nelle centine di diametro12 cmcon una tolleranza ammessa di1.2 mm. Diversi pezzi sono rifiutati dal reparto di montaggio con una perdita media per pezzo prodotto di 45.00€. Lo strumento per realizzare i fori `e usurato e deve essere sostituito con un costo pari a2000.00€. Stabilire il numero di forature per cui il risparmio totale diventa inferiore al costo di sostituzione dello strumento. Le misure del diametro dei fori realizzati con lo strumento allo stato attuale sono: 12.12 12.15 11.83 12.15 11.80(cm) Dopo la sostituzione, `e noto che i fori realizzato avranno:media=12.04cm e varianza=σ2 =0.012cm2 SuggerimentoLa deviazione standard si pu`o calcolare secondo dueformule equivalenti: M DS≜1n ∑ ( y i− m)2 =(µ−m)2 +σ2 SoluzioneNon sono in grado di risolvere questo esercizio in quanto, nell’anno accademico 2021/2022, l’argomento a cui si fa riferimento non faceva parte del programma del corso di Tecnologie e Materiali Aerospaziali. Mi dispiace!/ 6