Aerospace Engineering - Aerospace Technologies and Materials

Materiali Compositi - Formule utili e cenni di teoria

Collections of notes, exercises or exams

Formule Utili Materiali Compositi 1 Legame Costitutivo Ortotropo(a)Matrice di flessibilit`a ortotropa in assi lamina               ε xx εyy εzz γyz γzx γxy              =                  1E x−ν xyE y− ν xzE z0 0 0 −ν yxE x1E y−ν yzE z0 0 0 −ν zxE x−ν zyE y1E z0 0 0 0 0 01G yz0 0 0 0 0 01G zx0 0 0 0 0 01G xy                                σ xx σyy σzz τyz τzx τxy               Nota Bene: la matrice `e simmetrica, quindi le costanti indipendenti sono solo 9 e le altre (in particolare i coefficienti di Poisson rimanenti) si trovano per simmetria. (b)Matrice di flessibilit`a ortotropa in assi lamina perisotropia trasversale Si parla diisotropia trasversalequando la struttura del materiale non cambia per una rotazione del riferimento attorno a un asse (fibre di rinforzo). Le costanti ingegneristiche (E , ν, G) diventano uguali nelle due direzioni ortogonali alla direzione delle fibre di rinforzo (y e z).               ε xx εyy εzz γyz γzx γxy              =                  1E a− ν atE t− ν atE t0 0 0 −ν taE a1E t− ν tE t0 0 0 −ν taE a− ν tE t1E t0 0 0 0 0 02(1+ ν t)E t0 0 0 0 0 01G ta0 0 0 0 0 01G ta                                σ xx σyy σzz τyz τzx τxy               Nota Bene: questa forma del legame costitutivo `e applicabile solo agli unidirezionali. (c)Matrice di flessibilit`a ortotropa in assi lamina con ipotesi di sforzo piano   ε xx εyy γxy  =        1E x−ν xyE y0 −ν yxE x1E y0 0 01G xy          σ xx σyy τxy   1 (d) Matrice di rigidezza ortotropa in assi lamina con ipotesi di sforzo piano   σ xx σyy τxy  =      E x1 −ν xyν yxν yxE x1 −ν xyν yx0 νxyE y1 −ν xyν yxE y1 −ν xyν yx0 0 01G xy        ε xx εyy γxy   (e)Rotazione del sistema di riferimento per il tensore degli sforziDettiX, Y e Zgli assi laminato ruotati diθex, y e zgli assi lamina, vale la seguente relazione:   σ X X σX X τX Y  = T −1  σ xx σyy τxy   dove T = cos 2 θsin2 θ2 sinθcosθ sin2 θcos2 θ−2 sinθcosθ −sinθcosθsinθcosθcos2 θ−sin2 θ  e quindiT −1 = cos 2 θsin2 θ−2 sinθcosθ sin2 θcos2 θ2 sinθcosθ sinθcosθ−sinθcosθcos2 θ−sin2 θ  Sorge per`o una complicazione: il tensore di deformazione (a cui si deve applicare la rotazione con la matrice [T]) non `e definito conγma con la deformazione mista:ε xy= γ xy/ 2, serve quindi introdurre una matrice [R] di trasformazione daγ xya ε xycome segue:   ε xx εyy εxy  = R  ε xx εyy εxy  = 1 0 0 0 1 0 0 0 2   ε xx εyy γxy2    e tale definizione vale sia per assi lamina sia per assi laminato. (f )Definizione della matrice di rigidezza della lamina in assi laminato Detta [Q] la matrice di rigidezza della lamina in assi lamina, allora si ha:  σ X X σX X τX Y  = T −1  σ xx σyy τxy  = T −1 Q  ε xx εyy γxy   = T −1 Q  R  ε xx εyy εxy  = T −1 Q  R  T  ε X X εY Y εX Y   = T −1 Q  R  T  R −1  ε X X εY Y γX Y  = T −1 Q  T −T  ε X X εY Y εX Y   = ¯ Q  ε X X εY Y εX Y   dove [¯ Q] `e la matrice di rigidezza della lamina considerata in assi laminato. Analogamente si ottiene la nuova matrice di flessibilit`a: ¯ S = ¯ Q −1 = T T S  T 2 (g) Formule per l’applicazione dell’approccio micromeccanico Per applicare tali formule bisogna scegliere unelemento di volume rappresentativo(RVE), definito come la minima dimensione Ω per la quale le propriet`a (ad esempio le rigidezze) non variano pi`u all’aumentare del volume. •Frazioni volumetriche della fase fibra (f ) e della fase matrice (m)V f =Ω fΩ V m =Ω mΩ •RigidezzaE x(regola delle miscele in parallelo)E x= Vf Ef a+ Vm Em •RigidezzaE y(regola modello in serie)E y= VfE f t+ V mE m −1 =E f tEmE f tVm +Em Vf •RigidezzaG xy(regola modello in serie)G xy= VfG f ta+ V mG m −1 =G f taGmG f taVm +Gm Vf •Coefficiente di Poissonν yx(regola delle miscele in parallelo)ν yx= Vf νf ta+ Vm νm Osservazioni: La rigidezza nella direzione del rinforzo ( E x) `e dominata dalle propriet`a delle fibre di rinforzo, mentre la rigidezza trasversale e la rigidezza a taglio (E y, G yx) sono dominate dalle propriet`a dellamatrice. 2 Teoria Classica della Laminazione (CLT)(a)Definizione delle deformazioni Per definire le deformazioni in un laminato di composito, si usa la teoria semplificata delle piastre di Kirchhoff in congiunzione con l’ipotesi di perfetta aderenza tra le lamine. Una volta applicate tale ipotesi, si ottengono le seguenti espressioni per le deformazioni di una lamina inflessa rispetto al piano medio (denotato dal pedice 0): εX X= ε 0X X+ κ X εY Y= ε 0Y Y+ κ Y γX Y= γ 0X Y+ κ X Y doveκ X, κ Ye κ X Ysono i cosiddetti parametri di curvaturae, detto w lo spostamento lungo l’asse z della lamina, si definiscono come: κX= −∂∂ X  ∂ w∂ X  =−∂ 2 w∂ X 2 κY= −∂∂ Y  ∂ w∂ Y  =−∂ 2 w∂ Y 2 κX Y= − ∂∂ Y  ∂ w∂ X  +∂∂ X  ∂ w∂ Y  =−2∂ 2 w∂ X ∂ Y 3 Tale formulazione per le deformazioni si pu`o riscrivere in maniera pi`u compatta come: {ε}={ε 0} +z{κ} (b)Sequenze di laminazione Come sistema di riferimento per la lamina si considera quello riportato in figura 1, in cui la somma su tutte le coordinatez irestituisce lo spessore del laminato: thi= Z i− Z i−1 T H=N X i=1th i Ad ogni lamina `e associato un angolo di rotazioneα ie di conseguenza una matrice di rigidezza (ruotata) [¯ Qi]. Sostituendo nel legame costitutivo della lamina in assi laminato, l’espressione del tensore delle deformazioni secondo Kirchhoff risulta:  σ X X σY Y τX Y  i= ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  i( {ε}={ε 0} +z i{ κ})Figure 1: Sistema di riferimento per le lamine del laminato Osservazione: c’`e continuit`a di deformazione tra le varie lamine, mentre non c’`e continuit`a degli sforzi in quanto le varie lamine sono orientate in modo diverso. (c)Sollecitazioni globali nel laminato Per ottenere lo stato di sollecitazione del laminato nel suo insieme dobbiamo calcolare le azioni risultanti nello spessore totale integrando nello spessore totale le componenti di sforzo nel piano delle lamine espresse in assi laminato e le stesse componenti di sforzo moltiplicate per la distanza dal piano medio/neutro: NX=Z T H/2 −T H/2σ X Xdz M X=Z T H/2 −T H/2σ X X· z dz NY=Z T H/2 −T H/2σ Y Ydz M Y=Z T H/2 −T H/2σ Y Y· z dz NX Y=Z T H/2 −T H/2τ X Ydz M X Y=Z T H/2 −T H/2τ X Y· z dz 4 Si ottengono cos`ı dei flussi di forzeN i(forze per unit`a di larghezza) e dei flussi di momentiM i(momenti per unit`a di larghezza). Il calcolo dell’integrale, sia per i flussi di forza sia per i flussi di momento, va spezzato in N porzioni di spessore: ZT H/2 −T H/2  σ X X σY Y τX Y  dz =N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  i( {ε 0} +z{κ})dz= = N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  idz {ε 0} + N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  izdz {κ} =⇒  N X NY NX Y  = A 11A 12A 16 A21A 22A 26 A61A 62A 66 {ε 0} + B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66 {κ} dove [A] `e lasottomatrice di rigidezza membranale, mentre [B] `e la sottomatrice di accoppiamento membranale-flessionale. I loro elementi si calcolano come: Ahk=N X i=1 ¯ Qhk
i( z i− z i−1) Bhk=12 N X i=1 ¯ Qhk
i z2 i− z2 i−1
Analogamente per i flussi di momento si ha:ZT H/2 −T H/2  σ X X σY Y τX Y  zdz =N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  i z{ε 0} +z2 {κ}
dz= = N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  izdz {ε 0} + N X i=1Z Zi Zi−1 ¯ Q11¯ Q12¯ Q16 ¯ Q21¯ Q22¯ Q26 ¯ Q62¯ Q62¯ Q66  iz 2 dz {κ} =⇒  M X MY MX Y  = B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66 {ε 0} + D 11D 12D 16 D21D 22D 26 D61D 62D 66 {κ} dove [B] `e la stessa sottomatrice di accoppiamento membranale-flessionale ricavata precedentemente, men- tre [D] `e lasottomatrice di rigidezza flessionale, i cui elementi sono definiti come: Dhk=13 N X i=1 ¯ Qhk
i z3 i− z3 i−1
Osservazione: i flussi di forza e di momento sono le componenti generalizzate del lo stato di sol lecitazione, mentre le deformazioni nel piano medio e le curvature sono lecomponenti generalizzate del lo stato di deformazione. Il legame si pu`o riscrivere con un’unicamatrice di rigidezza del laminato a blocchi nella seguente forma:               N X NY NX Y MX MY MX Y              =          A 11A 12A 16 A21A 22A 26 A61A 62A 66  B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66   B 11B 12B 16 B21B 22B 26 B61B 62B 66  D 11D 12D 16 D21D 22D 26 D61D 62D 66                        ε 0X X ε0Y Y γ0X Y κX κY κX Y               o, in forma pi`u compatta: 5  {N} {M} = [A] [B] [B] [D]  {ε 0} {κ} (d)Tabella accoppiamenti speciali tra laminatiCondizioneDenominazioneMatrice di Rigidezza ∀ α a z i, ∃α a−z iLaminato Simmetrico[ B] = 0∀ α a z i, ∃ −αLaminato EquilibratoA 16= A 61= 0A 26= A 62= 0∀ α a z i, ∃ −α a−z iLaminato Bilanciato (o Antisimmetrico)D 16= D 61= 0D 26= D 62= 0Osservazione: Si osservi che la condizione di simmetria e bilanciamento sono in generale incompatibili (a meno di considerare solo lamine a [0] e a [90] o lamine di tessuto con rigidezze identiche in x e y, ruotati a [0], [90] e [45]). Osservazione: Si preferisce, in generale, ottenere la simmetria poich´e essa elimina anche l’accoppiamento fra contrazioni dovute al raffreddamento al termine del processo e flessioni. Osservazione (Laminati Quasi Isotropi): Laminati in cui la sottomatrice [A] `e invariante con la rotazione del sistema di riferimento si diconoquasi-isotropi. L’invarianza di [A] non comporta tuttavia l’invarianza di [D]. 3 Criteri di Resistenza per Laminati(a)Modalit`a di cedimento Senza considerare le delaminazioni (= focus solo sui cedimenti intra-laminari), raggruppiamo le modalit`a di cedimento per le lamine di un laminato in due tipologie a seconda della fase maggiormente sollecitata: •Meccanismi indotti da componenti di sforzoagenti nelle fibre=⇒rotture originate da trazione o comprezzionein direzione delle fibre; •Meccanismi indotti da componenti di sforzoagenti nella resina e all’interfaccia fibra/resina =⇒rotture originate da trazione o compressionein direzione trasversale alle fibre o da taglio in assi lamina. (b)Definizione degli ammissibili per stati di sforzo piano Essi rappresentano gli sforzi ultimi sopportabili dal materiale e per stati di sforzo piano sono cinque: •Resistenza a trazione in direzione delle fibre:X T •Resistenza a compressione in direzione delle fibre:X C •Resistenza a trazione in direzione trasversale alle fibre:Y T •Resistenza a compressione in direzione trasversale alle fibre:Y C •Resistenza a taglio nel piano delle lamine:S X Y (c)Classificazione dei criteri di resistenza nei compositi 1.Criteri limite o del primo ordine→ verifica in parallelo delle tre componenti di sforzo (o deformazione) →costituiti da pi`u disequazioni lineari, da cui la dicitura di ”criteri del primo ordine” 2.Criteri interattivi, tra cui i criteri del secondo ordine→ verificacontemporaneadelle tre componenti di sforzo interagenti tra loro →costituiti da un’unica espressione polinomiale di grado pari o superiore al secondo, da cui la dicitura di ”criteri del secondo ordine” 3.Criteri con distinzione della modalit`a di cedimento→ si distingue il cedimento della fase fibra da quello della fase matrice →possono prevedere o meno l’interazione 6 (d) Criteri limite del primo ordine Ogni singolo stato di sforzo o deformazione viene separatamente confrontato con un valore limite: •Criterio di massimo sforzo: XC< σ xx< X T YC< σ Y Y< Y T |τ X Y| < S X Y Nel caso off-axis, conθangolo di rotazione rispetto al sistema assi lamina: −X Ccos 2 θ≤ σ x≤X Tcos 2 θ −Y Csin 2 θ≤ σ x≤Y Tsin 2 θ |σ x| ≤S X Ysin θcosθ •Criterio di massima deformazione: XεC< ε xx< Y εT YεC< ε yy< Y εT |γ X Y| < S εxy Osservazione: Sono per loro natura NON conservativi in quanto non modellano alcuna interazione fra le componenti di sforzo. (e)Criteri interattivi del secondo ordine 1.Criterio di Tsai-Hil l Ipotesi•Stato di sforzo piano (σ zz= τ yz= τ zx= 0) •Isotropia trasversale (applicabile solo a unidirezionali)→implicaY C= Z Ce Y T= Z T σ2 xxX 2+σ 2 yyY 2−σ xxσ yyX 2+1S 2 xyτ 2 xy≤ 1dove        X =X cse σ xx< 0 X=X tse σ xx> 0 Y=Y cse σ yy< 0 Y=Y tse σ yy> 0 Osservazione: Essendo presenti solo termini quadratici, gli sforzi sono tutti elevati a potenza pari o moltiplicati tra loro, quindi il criterio non `e in grado di ”distinguere” tra trazione e compressione e prevede l’utilizzo degli ammissibili T o C a seconda dei valori corrispondenti diσ. Quindi il criterio non pu`o essere automatizzato. Osservazione: Il criterio `e abbastanza conservativo tranne nella trazione a bassi valori di θ. Osservazione: Il criterio completo richiede la valutazione di 6 parametri. 2.Criterio di Hoffman Ipotesi•Stato di sforzo piano (σ zz= τ yz= τ zx= 0) •Isotropia trasversale (applicabile solo a unidirezionali)→implicaY C= Z Ce Y T= Z T −σ 2 xxX TX C− σ 2 yyY TY C+ σ xxσ yyX TX C+ X T+ X CX TX Cσ xx+Y T+ Y CY TY Cσ yy+1S 2 xyτ 2 xy≤ 1 Osservazione: Il criterio di Hoffman ottiene buone correlazioni ed `e in generale abbastanza conser- vativo. Osservazione: Data la presenza dei termini lineari, gli ammissibili T o C sono gi`a esplicitati e quindi la funzionef`e la stessa sia per trazione che per compressione. Osservazione: Avendo considerato l’ipotesi di sforzo piano, il criterio di Hoffman `e solo 2D. 7 Osservazione: Si riconosce nel criterio di Hoffman quello di Tsai-Hill se si considerano uguali valori limite a trazione e compressione e dunque:X c= −X te Y c= −Y c. In tal caso, i termini quadratici diventano uguali e quelli lineari si annullano. Osservazione: Il criterio completo richiede la valutazione di 9 parametri. 3.Criterio di Tsai-Wu Ipotesi•Stato di sforzo piano (σ zz= τ yz= τ zx= 0) −1X TX Cσ 2 xx−1Y TT Cσ 2 yy+X T+ X CX TX Cσ xx+Y T+ Y CY TY Cσ yy+ 2 F 12σ xxσ yy+1S 2 xyτ 2 xy= 1 Il valore di F12. Il coefficienteF 12andrebbe determinato sperimentalmente con una prova di trazione biassiale, ma quest’ultima `e difficile da realizzare. Quindi in letteratura si trovano diversi valori per tale parametro, i quali partono dall’ipotesi secondo cui, per ottenere un inviluppo di resistenza ellittico chiuso nel piano degli sforzi (i.e. resistenza del laminato non infinita), bisogna avere: −pF 11F 22< F 120, mentre il modo fibra `e invariato. Modo fibra: σxxX  ≤1con( X=X Tse σ xx≥ 0 X=X Cse σ xx< 0 8 Modo matrice a trazione:  σyyY T 2 + τxyS xy 2 = 1 Modo matrice a compressione:σyyY C 2 + τxyS xy− µσ yy 2 = 1con0.4< µ