Analisi Matematica 2

Synthetic program:

Eliminazione di Gauss. Il metodo di eliminazione di Gauss, risoluzione di sistemi lineari triangolari e quadrati.

Matrici. Matrici, operazioni tra matrici, matrice inversa. Determinante, complemento algebrico, formula di Laplace, matrice trasposta, matrice aggiunta.

Spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Spazi vettoriali (reali), vettori, combinazioni lineari, Span di k vettori, basi, dimensione. Prodotto scalare e norma, vettori ortogonali, basi ortonormali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare, rango di una applicazione lineare, teorema della dimensione.

Sistemi lineari. Matrici e sistemi lineari a scala. Tecniche di calcolo: per la risoluzione di sistemi lineari generali, per trovare il rango e una base dell'immagine di una matrice, per trovare il rango e una base del nucleo di una matrice, per trovare dimensione e base di un sottospazio generato da vettori assegnati.

Matrici e applicazioni lineari. Teorema di rappresentazione di una applicazione lineare, cambiamenti di base, matrici simili.

Autovalori, autovettori, forme quadratiche. Autovalori, autovettori, autospazi. Condizioni per la diagonalizzabilità di una matrice (e di un endomorfismo). Matrici ortogonali, matrici simmetriche, teorema spettrale. Forme quadratiche, matrice di rappresentazione, segno.

Funzioni reali di più variabili reali. Cenni di topologia, coordinate polari nel piano, curve nel piano e nello spazio. Insieme di definizione di una funzione di più variabili, insiemi di livello. Definizione e calcolo di limiti. Funzioni continue e loro proprietà. Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana, teorema di Schwarz, formula di Taylor con resto di Peano.

Massimi e minimi. Punti di massimo e di minimo relativo, punti critici, teorema di Fermat, punti di sella. Classificazione di punti critici con il criterio della matrice Hessiana e per indagine diretta. Funzioni definite implicitamente e teorema del Dini. Massimi e minimi vincolati su vincoli di uguaglianza, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo di massimi e minimi di funzioni continue su insiemi compatti. Insiemi e funzioni convesse, ottimizzazione per funzioni convesse. Problemi applicativi di ottimizzazione di interesse economico.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Insiemi normali (o semplici), funzioni integrabili secondo Riemann su insiemi normali (o semplici), integrali doppi, formule di riduzione per integrali doppi su insiemi normali. Funzioni di più variabili a valori vettoriali, matrice Jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli per fili e per strati.

Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, struttura dell'integrale generale, problema di Cauchy, formula risolutiva. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, problema di Cauchy, struttura dell'integrale generale. Integrale generale per equazioni omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale per equazioni non omogenee a coefficienti costanti con il metodo di somiglianza.