Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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Analisi Matematica 2 - 27 agosto 2019 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito B 1. (Punti 6) Si consideri la funzione f(x; y) =8 < :arctan( yx2 ) +x2 yx 2 +y2se ( x; y)6 = (0;0) 0 se (x; y) = (0;0): a) Stabilire se nell'origine (0,0) la funzionefe continua, derivabile in tutte le direzioni, dierenziabile. (Si consiglia di utilizzare l'uguaglianza arctant= tt 33 + o(t3 ) pert!0). b) Determinare, al variare diyinR, il segno dif(1; y). c) Determinare l'equazione del piano  tangente alla super cie di equazione z=f(x; y) nel punto (1;1; f(1;1)). Stabilire poi se  viene attraversato dalla super cie. 2. (Punti 5) CalcolareZ xy dx dy dove e la parte del cerchio di centroC= (0;1) e raggio 1 che giace nel semipiano dellexpositive. 3. (Punti 7) Risolvere i problemi di Cauchy(2y0 =yx 1y y(1) =2e( 2y0 =yx 1y y(e) = 2pe precisando il campo di esistenza delle soluzioni e la loro eventuale prolunga- bilita.