Computer Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II Ing. Informatica e Ing. delle TelecomunicazioniPrima ParteProf. E. Maluta Cognome e Nome:Matricola:17 luglio 2017 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1.Stabilire se la curva inR3 di equazioner(t) = (t;2t+ 3;sint)cont2[0;4]è piana, se è chiusa, se è semplice. 2.SiaAun cerchio chiuso diR2 e siaf2C1 (A). Sef(x; y) = 0su@ Ae(x 0; y 0) è l'unico punto diAin cui rf(x; y) = (0;0), che cosa si può dire di(x 0; y 0) ? 3.Postof(x; y) = 3xy+y2 + sin(x2 y3 ), calcolare@ 2 f@ x@ y (0 ;0). 4.Siaa 02 +P +1 1( a ncos nx+b nsin nx)la serie di Fourier della funzionef(x) = cos2 xsin2 x. Determinare a1; a 2e b 1. 5.Calcolare la divergenza del campo vettorialeF(x; y; z) = (ex ; exy ; exyz ) 6.Determinare il minimo assoluto di f(x; y) =x2 +y2 xysulla rettaxy= 1 7.Determinare il raggio e il cerchio di convergenza di1 X n=1e n (z1)n3 n +1. 8.Determinare tutte le soluzioni dell'equazione dierenzialex00 +x=t. 9.Stabilire se il sistema di equazioni dierenzialiy0 =Ay, doveA= 3 1 01 , ammette soluzioni non identicamente nulletali chelim t!+1 (t) = 0. 10.Sapendo che 1e  2sono soluzioni rispettivamente delle equazioni dierenziali lineari y00 +a(t)y0 +b(t)y=t2 + 3tey00 +a(t)y0 +b(t)y=t, scrivere in funzione di 1e  2una soluzione dell'equazione y00 +a(t)y0 +b(t)y= 4t2 + 5t.