Computer Engineering - Analisi Matematica 2

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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. 29 luglio 2015COMPITO A 1. (Punti 10) - Siaf:AR2 !R, la funzione de nita daf(x; y) = log(xy1) +x2 1. (a) Determinare il dominioAdife disegnarlo nel pianoR2 ; (b) giusti care l' esistenza del piano tangente al gra co difnel punto~ P= (1;2; f(1;2)) e scriverne l' equazione; (c) stabilire se, in un intorno di (1;2), il gra co sta in uno dei due semispazi determinati dal piano tangente; (d) stabilire sefammette punti di massimo o minimo locale inA: in caso di risposta aermativa, determinarli. (e) (Facoltativo- punti 3) calcolare nel puntoP= (1;2) la derivata direzionale dif nella direzione della retta di equazioney=4x, orientata nel verso dellexcrescenti; determinare il versore per cui la derivata direzionale inPassume valore massimo. 2. (Punti 10) Assegnato, in dipendenza dal parametro2R, il campo vettoriale F( x; y) =x +yx 2 + 2y2i +x + 2yx 2 + 2y2j stabilire per quali valori diF e irrotazionale sul proprio dominio. Per tali valori dicalcolare il lavoro del campo sull' arco di curva di equazione polare=e con2[0;3 ]; sull'ellisse di equazionex 22 + y2 = 2. Su quali regioni del dominio si puo garantire che il campo sia conservativo? 3. (Punti 10) - Determinarne la soluzionedel problema di Cauchy ( y0 =xy1 x2 (1 + y) y(0) = 1 precisando qual e il piu grande intervallo su cuie soluzione. e l'unica soluzione del problema? (giusti care la risposta.)