Computer Engineering - Fisica

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Fisica - Appello del 11/01/21 - Soluzione commentata Appello svolto in modalita a distanza tramite MS FormsForm 1 - Domande a risposta chiusa [tot. 8 pt] 1.Un punto materiale in moto sul pianoxye soggetto alla forza costante di componenti Fx= 7 N, F y= 6 N. Determinare il modulo del momento di tale forza rispetto all'origine (x= 0,y= 0) quando il punto materiale transita per la posizionex= 3 m,y= 10 m. [1 pt] Il momento di una forza e de nito come: ~=~r~ F Ricordando la scrittura del prodotto vettoriale come determinante: ~= ~u x~u y~u z x y0 FxF y0 = ( x F y y F x) ~u z Da cui:j~j=jx F y y F xj =j3
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10jNm = 52 Nm 2.Due corpi si muovono di moto circolare uniforme descrivendo una circonferenza con lostesso raggio e velocita angolari pari a! 1= 2 ! 2. Quanto vale il rapporto tra le loro accelerazionia 1=a 2? [1 pt] Un punto materiale che compie un moto circolare uniforme (di raggioR) e soggetto a un'accelerazione puramente centripeta: a=a C= !2 R Si ricava percio: a1a 2= ! 2 1! 2 2= (2 ! 2)2! 2 2= 4 3.Una palla cade da ferma da un'altezza di 3 metri e nel rimbalzo perde meta della propriaenergia. Determinare l'altezza massima raggiunta dopo il rimbalzo.[1 pt] L'energia meccanica della palla nell'istante iniziale e: E0= mgh 0 conh 0= 3 m. Come speci cato nel testo, dopo il rimbalzo la palla dimezza la sua energia meccanica: E1=12 E 0 Nell'istante nale, quando la palla raggiunge la massima altezza, l'energia meccanica assume la forma:E1= mgh MAX 1  Percio: mghMAX= E 1=12 E 0=12 mgh 0 hMAX=12 h 0= 1 :5 m 4.Una valigia poggia sul pavimento di un vagone ferroviario in viaggio alla velocita di100 m/s. Il treno arresta la sua corsa con una decelerazione costante. Determinare il tempo minimo richiesto per la frenata del treno anche la valigia non scivoli lungo il pavimento del vagone (coeciente di attrito statico S= 0.4). [1 pt] Nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il vagone, la valigia (ferma rispetto al pavimento) e soggetta alle seguenti forze: {forza peso~ P=m~gdiretta verticalmente verso il basso; {reazione normale~ Rndiretta verticalmente verso l'alto in modo da bilanciare la forza peso; {forza apparente (di trascinamento)~ ft= m~ A, essendo~ Al'accelerazione del vagone; {forza di attrito statico~ Fa. Anche la valigia rimanga ferma, deve essere: j~ ftj =j~ Faj Il modulo della forza di attrito statico e limitato dalla legge: j~ Faj   S
j~ Rnj = Smg percio:mj~ Aj  Smg j~ Aj  Sg AMAX=  Sg Il tempo impiegato per fermarsi, considerando la massima decelerazione ammessa, e: t=v 0A MAX= v 0 Sg= 1000 :4
9:81m/s = 25 :5 m/s 5.Due corpi, di massam 1= 50 g ed m 2= 100 g, sono in quiete su di un piano orizzontale liscio (privo di attriti). Tra di essi viene inserita una molla di costante elasticak= 15 N/m compressa di un trattoL= 2 cm. Determinare la velocita (in modulo) con cui ciascun corpo si muove dopo l'espansione della molla.[1 pt] Il sistema delle due masse conserva la quantita di moto lungo la direzione orizzontale (non agendo forze impulsive) e l'energia meccanica (non agendo forze dissipative). La quantita di moto e inizialmente nulla (Q 0= 0) mentre l'energia meccanica ha solo un contributo di energia potenziale elastica (E 0=12 k
x2 ). Mettendo a sistema la conservazione della quantita di moto e dell'energia meccanica tra l'istante iniziale e un istante successivo all'urto, in cui le masse sono in moto con velocita v1e v 2, si ha: 8 < :0 = m 1v 1+ m 2v 2 12 k
x2 =12 m 1v2 1+12 m 2v2 2 2 8 > > < > > :v 2= m 1m 2v 1 12 k
x2 =12 m 1v2 1+12 m 2m 2 1m 2 2v 2 1 8 > < > :v 2= m 1m 2v 1 k
x2 =m 1m 2( m 1+ m 2) v2 1 da cui:jv 1j =
x
sm 2km 1( m 1+ m 2)=


= 28:28 cm/s jv 2j =m 1m 2j v 1j =


= 14:14 cm/s 6.L'energia interna di un sistema termodinamico:[1 pt] (a)e funzione della sola temperatura per un gas ideale; (b)e funzione sia della temperatura che della pressione per un gas ideale;(c)e funzione della sola temperatura per qualunque sistema termodinamico; (d)e una grandezza sica la cui variazione dipende dalla trasformazione compiuta dalsistema. L'energia interna di un sistema termodinamico e una funzione di stato del sistema: questo signi ca che la sua variazionenondipende dalla trasformazione compiuta, ma solo da- gli stati iniziale e nale. Inoltre, in generale, essa puo dipendere da tutte le coordinate termodinamiche (non dalla sola temperatura). Un gas ideale e un particolare sistema termodinamico per cui l'energia interna dipende dalla sola temperatura (come provato sperimentalmente dalle esperienze di Joule). In conclusione, la risposta corretta e la (a). 7.Un bicchiere e riempito d'acqua no al bordo quando sulla super cie dell'acqua vienepoggiata una pallina da ping-pong di raggio 2 cm e massa trascurabile riempita per meta di acqua. Determinare la quantita (minima) di acqua che fuoriuscira dal bicchiere.[1 pt] Se la pallina e di massa trascurabile, essa raggiungera l'equilibrio quando il livello dell'ac- qua contenuta all'interno e allineato con il livello dell'acqua all'esterno. In tale condizione la spinta idrostatica dell'acqua circostante bilancia perfettamente il peso dell'acqua conte- nuta. In particolare, poiche la pallina e riempita per meta d'acqua, tale condizione avviene quando la pallina e immersa per meta del suo volume. Se il bicchiere e riempito d'acqua no al bordo, la pallina, sprofondando no a trova- re l'equilibrio di galleggiamento, provoca una fuoriuscita di acqua pari al volume nale immerso. Vf uoriuscito=12 V pallina=12 43 R 3 =23  (2 cm)3 = 16:76 cm3 8.Il momento angolare di un sistema di punti materiali:(a)si conserva sempre; 3 (b)dipende dalle sole forze interne al sistema; (c)si conserva sempre in presenza di forze esterne con risultante nulla. (d)si conserva se e solo se e nulla la risultante dei momenti delle forze esterne agenti sulsistema; Per la Seconda Equazione Cardinale della Meccanica, la derivata temporale del momento angolare di un sistema di punti e: d~ L dt = ~( e) dove~( e) e il momento risultante delle forze esterne al sistema. Si deduce che~ L non si conserva sempre e potrebbe non conservarsi anche in presenza di forze esterne con risultante nulla, qualora queste abbiano un momento risultante non nullo (ad esempio una coppia di forze). Forze interne al sistema non hanno in uenza su~ L e la risposta corretta e la (d).Form 2 - Domande a risposta chiusa [tot. 8 pt] 1.La velocita di fuga di un oggetto di massamposto inizialmente sulla super cie del pianeta Terra (massaM 0, raggio R 0) e: . . . [1 pt] Lavelocita di fugae la minima velocita che deve essere impressa a un punto materiale, soggetto all'attrazione gravitazionale di un corpo celeste e posto inizialmente sulla sua super cie, anche il moto segua un'orbita aperta. In altre parole, se al punto materiale viene impressa una velocita pari alla velocita di fuga, esso puo sfuggire all'attrazione del corpo celeste, potendo arrivare nel suo moto ad una distanza in nita da quest'ultimo (al limite, con velocita nulla). L'energia meccanica di un punto materiale di massamsoggetto unicamente all'interazione gravitazionale con la Terra e pari a: E=12 mv 2 GmM 0r essendovla velocita del punto materiale edrla distanza dal centro della Terra, in un dato istante. In assenza di altre interazioni, l'energia meccanica si conserva nel moto. Quando al punto materiale e impressa la velocita di fuga, puo arrivare adr!+1conv= 0, percio la sua energia meccanica e:E= 0 Nella condizione inizialev=v fe r=R 0e possiamo scrivere: 12 mv 2 f GmM 0R 0= E= 0 da cui:vf=r2 GM 0R 0 2.Un disco e osservato ad un certo istante ruotare attorno al proprio asse in senso orario convelocita angolare di modulo! 0= 10 rad/s e accelerazione angolare antioraria di modulo 0= 5 rad/s2 . Quanto tempo impiega a fermarsi?[1 pt] 4  Considerando che i versi della velocita angolare iniziale! 0e dell'accelerazione angolare 0sono opposti, la velocita angolare del disco a un istante tarbitrario puo essere scritta come:!(t) =! 0  0t Il disco si ferma per!(t) = 0: t=! 0 0= 2 s 3.Quale delle seguenti condizioni NON E VERA, nel caso di forze conservative?[1 pt] (a)il lavoro svolto dipende solo dal punto iniziale e nale della traiettoria; (b)il dierenziale del lavoro non e un dierenziale esatto;(c)il lavoro svolto si puo scrivere come
U, doveUe una funzione detta energia potenziale; (d)il lavoro svolto su una qualsiasi traiettoria chiusa e nullo. La conservativita di una forza implica diverse condizioni equivalenti, che coincidono con quelle espresse dalle risposte (a), (c) e (d). La condizione (c) implica a sua volta che il dierenziale del lavoroe un dierenziale esatto. Percio, l'unica aermazione non vera tra quelle elencate e la (b). 4.Due sfere identiche di massa 1 kg, sono collegate tra loro da un'asta rigida di massatrascurabile e lunghezza 2 m. L'asta e posta in rotazione attorno al proprio asse (assez perpendicolare all'asta e passante per il punto medio) con velocita angolare 0.5 rad/s in senso antiorario rispetto all'assez. Il vettore momento angolare del sistema e:[1 pt] Per un sistema di punti materiali il vettore momento angolare e: ~ L=X i~r i ~q i In questo caso abbiamo due soli punti materiali di massamin rotazione attorno all'assez, ciascuno dei quali compie un moto circolare uniforme con velocita angolare!~u z. Scegliamo l'origine degli assi nel punto medio tra i due punti e scriviamo: ~ri ~q i= ~r i m(!~u z ~r i) =m!~u z( ~r i
~r i) ~r i( ~r i
m!~u z) = mr2 i!~u z 0 dove abbiamo considerato che~r i? ~u z. Dal momento chej~r ij =r i= l=2 essendolla lunghezza dell'asta e che l'espressione di ~ri ~q icalcolata sopra vale per entrambi i punti materiali, si conclude che: ~ L= 2
m l2  2 !~uz=12 ml 2 !~uz Inserendo i valori numerici si ottiene: ~ L=12
1 kg
4 m2
0:5 rad/s~u z= 1 :0 kg m2 =s~u z 5 5.10 moli di gas ideale monoatomico subiscono prima una espansione isoterma reversibile alla temperatura di 500 K e poi una compressione adiabatica irreversibile che porta il gas alla temperatura di 700 K. Durante l'espansione isoterma il gas assorbe 10000 J di calore. Calcolare il lavoro scambiato dal gas durante la compressione adiabatica irreversibile, speci cando se e assorbito o ceduto dal gas.[1 pt] Applicando il Primo Principio della Termodinamica alla trasformazione adiabatica (in cui Q= 0 per de nizione) otteniamo: L=Q
U=
U La variazione di energia interna di un gas ideale e in ogni caso pari a:
U=n c V
T dove se il gas e monoatomicoc V=32 R . Ricordiamo inoltre che la prima trasformazione (isoterma) non fa variare la temperatura del sistema. Percio la compressione adiabatica avviene tra le temperature di 500 K e 700 K. Concludiamo: L=
U=32 n R
T=32
10 mol
8:31 J/(mol K)
(700500) K =24930 J Il segno negativo indica che il lavoro eassorbitodal gas. 6.Il rendimento di una macchina termica generica operante con le sorgenti di temperaturaT1< T 2, con cui scambia i calori Q 1e Q 2, e dato da: . . . [1 pt] Il rendimento di una macchina termica e: =LQ assorbito= Q assorbito+ Q cedutoQ assorbito Il calore scambiato con la sorgente piu fredda e ceduto, il calore scambiato con la sorgente piu calda e assorbito.Qceduto= Q 1Q assorbito= Q 2 Percio: =Q 2+ Q 1Q 2= 1 + Q 1Q 2 7.Per un gas omogeneo, rarefatto, prossimo alla super cie terrestre[1 pt] (a)non vale la legge di Stevino; (b)la sua pressione non e de nita; (c)la pressione si puo considerare costante in ogni punto del gas; (d)la sua temperatura non e de nita. Nelle condizioni menzionate non c'e nessuna ragione che faccia supporre che la legge di Stevino non valga, o che non siano de nite la pressione o la temperatura del gas. 6  La risposta corretta e la (c). In particolare, questa puo essere fatta derivare dalla Legge di Stevino: p=p 0+ (z)g dz considerando molto piccola la densitadel gas (essendorarefatto) e considerando che esso si estenda per un'altezza limitata (essendoprossimo al la super cie terrestre) per cui l'integrale e svolto su un intervallo dizlimitato. Infatti, in tali condizioni il valore dell'integrale e trascurabile ep'p 0. 8.Una particella percorre un'orbita circolare con un moto circolare con momento angolareL. Se la frequenza del moto raddoppia e l'energia cinetica viene dimezzata, il modulo del momento angolare diventa: . . .[1 pt] Il momento angolare della particella e in modulo: L=mR2 ! doveme la massa della particella,Re il raggio dell'orbita circolare,!la velocita angolare. L'energia cinetica e invece: E=12 mv 2 =12 m (!R)2 =12 mR 2 !2 da cui:L=2 E K! Se consideriamo, come scritto nel testo della domanda: !0 = 2! E0 K=12 E K allora:L0 =2 E0 K! =2
12 E K2 != 14
2 E0 K! = 14 LForm 3 - Domande a risposta aperta [tot. 8 pt] Una massam= 0.5 kg legata ad una fune ideale puo ruotare su un piano orizzontale privo di attrito descrivendo una circonferenza di raggioR= 10 cm. La massa viene posta in rotazione da ferma all'istantet= 0 con accelerazione angolare costante= 3 rad/s2 . 1.Sapendo che la fune puo sopportare una tensione massimaT MAX= 10 N prima di spezzarsi, si calcoli l'istante in cui la fune si spezza.[4 pt] In presenza di un'accelerazione angolarecostante e se!= 0 int= 0, la velocita angolare in funzione del tempo e descritta da: !(t) = t L'accelerazione centripeta della massame: aC= !2 R=2 t2 R 7  La tensioneTdella fune svolge il ruolo di forza centripeta: TF c= ma C= m2 t2 R La tensioneT MAXe raggiunta percio in un istante t rche soddisfa: TMAX= m2 t2 rR tr=1
rT MAXmR = 13
r10 0 :5
0:1s = 4 :71 s  E questo l'istante in cui la fune si spezza. 2.Si calcoli il modulo della velocita e dell'accelerazione in tale istante.[4 pt] Il modulo della velocita della massam, che sta compiendo un moto circolare, e: j~vj=j~!~rj=!(t r)
R=t r
R=
1
rT MAXmR
R j~vj=rT MAXRm =r10
0:10 :5m/s '1:4 m/s Per calcolare il modulo dell'accelerazione dobbiamo ricordare che, poiche la massa in moto non uniforme, il vettore accelerazione e la somma di una componente normale (centripeta) e di una componente tangenziale. L'accelerazione centripeta e stata calcolata al punto precedente e all'istantet rvale: aC= 2 t2 rR =2
T MAX 2 mR
R=T MAXm L'accelerazione tangenziale e pari a: aT= R Percio:j~aj=pj ~a Cj2 +j~a Tj2 =rT 2 MAXm 2+ 2 R2 j~aj=r10 20 :52+ 3 2
0:012 m/s2 '20 m/s2Form 4 - Domande a risposta aperta [tot. 8 pt] Una mole di gas perfetto monoatomico viene riscaldato a volume costante da uno stato iniziale di equilibrio (A) no alla temperaturaT(B) = 300 K. In seguito a tale trasformazione l'entropia del gas aumenta di
S= 0.5 J/K. Successivamente, tramite una trasformazione isoterma reversibile, il gas torna alla pressione inizialep(A) nello stato di equilibrio nale C. 1.Si calcoli la temperaturaT(A) dello stato iniziale A.[4 pt] La variazione di entropia nella trasformazione A!B puo essere calcolata come integrale di Clausius su una isocora reversibile che congiunga gli stessi stati iniziale e nale:
S= revQT = TB TAn c VdTT = TB TA32 nR dTT = 32 nR lnT BT A 8  Dall'equazione precedente si ricava percio: TBT A= e23

SnR TA= T B
e 23

SnR TA= 300 K
e 23
0 :51
8:31 '288 K 2.Si calcoli il lavoro compiuto dal gas durante l'espansione dallo stato B a quello nale C.[4 pt] Il lavoro termodinamico in una trasformazione quasistatica da B a C e pari a: L= VC VBp dV Orap=nRT =VdoveTe costante essendo la trasformazione isoterma: L= VC VBnRT dVV = nRTlnV CV B La temperatura a cui avviene l'isoterma e la temperatura dello stato B, cioeT=T B. Inoltre, dalla legge di Boyle,V C=V B= p B=p C. Possiamo scrivere percio: L=nRT Blnp Bp C Sappiamo poi che la pressione nello state nale C e uguale a quella dello stato iniziale A: L=nRT Blnp Bp A Applicando la legge di Gay-Lussac alla trasformazione isocora tra A e B: pBp A= T BT A da cui:L=nRT BlnT BT A Possiamo osservare dai passaggi svolti nel punto 1 che:
S=32 nR lnT BT A! lnT BT A= 23

SnR Concludiamo allora:L=nRT B
23

SnR = 23 T B
S L=23
300
0:5 J = 100 J 9