Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione ------------------------------------------------------------------------------------------ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato; - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate. 11/7/2018 ore 15:00 FISICA (appello 1) Proff. Bussetti, Crespi, D'Andrea, Della Valle, Lucchini, Magni, Nisoli, Petti, Pinotti 1. Un punto materiale compie un moto piano definito dalla seguente legge oraria, in coordinate cartesiane, x(t) = A cos (k t3), y(t) = A sin (k t3), con t ≥ 0, e A e k due costanti positive. Si determinino: (i) le unità di misura di A e k; (ii) la traiettoria del moto; (iii) la legge oraria (ascissa curvilinea in funzione del tempo); (iv) il modulo dell'accelerazione normale e tangenziale in funzione del tempo. 2. Un corpo puntiforme di massa m1 cade da una quota h scivolando lungo una guida liscia (vedi figura). Giunto in fondo alla guida, urta un secondo corpo puntiforme di massa m2 = 2 m1, inizialmente in quiete. Dopo l'urto, il secondo corpo si muove lungo un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dina-mico µd = 1/2, arrestandosi dopo un tratto di lunghezza L = (2/9) h. (i) Si calcoli la velocità del corpo di massa m2 dopo l'urto; (ii) si calcoli la velocità del corpo di massa m1 dopo l'urto; (iii) si dica, giustificando la risposta, se l'urto è elastico o meno. 3. (i) Si definisca la pressione in un fluido, spiegando il significato di tutti i simboli utilizzati. (ii) Si enunci e si dimostri l'equazione fondamentale della statica dei fluidi soggetti al proprio peso. 4. Una bombola contiene n moli di un gas ideale monoatomico a pressione p0 e volu-me V0. La bombola è collegata, tramite una valvola inizialmente chiusa, ad un ci-lindro vuoto munito di pistone scorrevole in orizzontale senza attrito e in equilibrio con l’aria esterna alla pressione atmosferica pa. La valvola viene aperta rapidamen-te ed il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio. Considerando il sistema adiaba-tico e assumendo p0 = 2 pa, si calcoli: (i) il volume finale del gas in funzione solo di V0; (ii) la variazione d’entropia del gas. h m1 m2 L p0, V 0 pa Fisica - Appello dell'11/07/18 - Traccia sintetica di soluzione Quesito 1 (i)nel Sistema Internazionale: [A] = m; [k] = rad
s 3 . (ii)la traiettoria del moto e una circonferenza di raggio A, centrata nell'origine. Infatti: x2 +y2 =A2  cos2 (kt3 ) +sin2 (kt3 ) =A2 ex2 +y2 =A2 e proprio l'equazione implicita di una circonferenza di raggio A con centro in O(0,0). (iii)Se indichiamo con=kt3 la fase del moto circolare, possiamo scrivere l'ascissa curvilinea in funzione del tempo come:s(t) =A
=A k t3 avendo posto l'origine disint= 0. (iv)In un moto circolare di raggioA, avente velocita angolare istantanea!(t) l'accelerazione tan- genziale ea t= Ad!dt e l'accelerazione normale a n= A!2 . In questo moto!=ddt = 3 kt2 , quindi:at= 6 Akt a n= 9 Ak2 t4 Quesito 2 (i)Per studiare il moto sul piano scabro, ssiamo un sistema di riferimento con assexparallelo al piano, avente l'origine all'inizio di esso. L'asseye verticale e orientato verso l'alto. Il corpo di massam 2e sottoposto alle seguenti forze: ~ P=m 2g~u yforza peso ~ Rn= ~ P=m 2g~u yreazione normale del piano di appoggio ~ Fa=  dj~ Rnj ~u x=  dm 2g~u xforza di attrito radente La forza risultante e dunque~ Fris=~ Fa=  dm 2g~u x. Applichiamo il teorema delle forze vive al moto del corpo di massam 2lungo il piano scabro, sapendo che esso si arresta dopo un tratto di lunghezzaL. DettaV 2la velocita del corpo di massam 2dopo l'urto avremo:  dm 2gL = 012 m 2V2 2 V2=p2  dgL Sostituendo d= 1 =2 eL= (2=9)hricaviamo:V 2=13 p2 gh(ii) Applichiamo la conservazione dell'energia al moto di discesa lungo la guida liscia (senza attrito): m1gh =12 m 1v2 1 v1=p2 gh avendo indicato conv 1la velocita del corpo di massa m 1prima dell'urto. 1  Applichiamo all'urto la conservazione della quantita di moto, ricordando che inizialmente il corpo di massam 2e fermo, dunque v 2= 0. m1v 1= m 1V 1+ m 2V 2 V1= v 1m 2m 1V 2 Ora,m 2=m 1= 2, v 1=p2 gheV 2=13 p2 gh. Si ricava dunque: V1=p2 gh23 p2 gh=13 p2 gh=V 2 (iii)PoicheV 2= V 1si deduce che i corpi procedono insieme dopo l'urto, rimanendo attaccati. L'urto e dunque perfettamente anelastico. Quesito 3 Si vedano le dispense relative alle lezioni del corso. Quesito 4 (i)Notiamo che la trasformazione e irreversibile. Dal Primo Principio della Termodinamica, applicato a una trasformazione adiabatica: L=
U Avendo un gas perfetto monoatomico
U=nc V
T=32 nR (T 1 T 0), quindi: L=32 ( nRT 0 nRT 1) Dall'equazione di stato dei gas perfetti (considerando chep 0= 2 p a): nRT0= p 0V 0= 2 p aV 0 nRT1= p aV 1 Percio, sostituendo: L=32 (2 p aV 0 p aV 1) = 3 p aV 032 p aV 1 Il lavoro di una trasformazione termodinamica e, per de nizione: L= pestdV in questo caso la pressione esterna e costantep est= p ae possiamo scrivere: L=p est( V 1 V 0) = p aV 1 p aV 0 Uguagliando con quanto ottenuto dal Primo Principio: paV 1 p aV 0= 3 p aV 032 p aV 1 52 p aV 1= 4 p aV 0V 1=85 V 02 (ii) La variazione di entropia di un gas perfetto che passa da uno stato (p 0, V 0) a uno stato ( p 1, V 1) e data da:
S=nc Vlnp 1p 0+ nc plnV 1V 0 In questo casoc V=32 R ,c p=52 R ,p 1= p a, quindi:
S=32 nR ln 2 +52 nR ln85 = 12 nR (5 ln 85 ln 53 ln 2) =12 nR (15 ln 25 ln 53 ln 2)
S=12 nR (12 ln 25 ln 5)3