Computer Engineering - Fisica

Full exam

Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA - FIRMARE l’elaborato - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente le formule utilizzate 13/9/2017 ora: 13:30 FISICA (secondo appello) Prof. Magni 1) Un punto materiale di massa m = 0.1 kg è in moto circolare su un piano orizzontale scabro, mantenuto a distanza R = 30 cm da un punto fisso, appartenente al piano, tramite una fune ideale. Inizialmente il modulo della velocità del punto è v 0 = 5 m/s. Sapendo che il corpo si ferma dopo n = 10 giri, si calcoli la tensione del filo dopo un giro. 2) a) Si dia la definizione di lavoro di una forza, precisando chiaramente il significato di tutti i simboli utilizzati. b) Si spieghi che cosa sono le forze conservative e la loro energia potenziale. c) Si consideri il campo di forze y x b a u u F    + = , dove a e b sono due costanti, e si dica, giustificando esplicitamente la risposta, se tale campo è conservativo. In caso affermativo se ne calcoli l’energia potenziale. d) Si consideri il campo di forze y axu F  = , dove a è una costante, e si dica, giustificando esplicitamente la risposta, se tale campo è conservativo. In caso affermativo se ne calcoli l’energia potenziale. 3) Un’asta omogenea di lunghezza L, massa M e spessore trascurabile è appoggiata nel centro in equilibrio sullo spigolo di un cuneo. Una pallina di massa m = M/6 cade da un’altezza h 0 su un’estremità dell’asta e rimbalza elasticamente. Si calcoli l’altezza raggiunta dalla pallina dopo l’urto. [Il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse ortogonale passante per il centro è I = ML 2/12] 4) Un gas perfetto (n moli) è contenuto in un cilindro munito di pistone che può scorrere verticalmente senza attrito. Il cilindro ed il pistone sono termicamente isolanti. Inizialmente il pistone si trova ad una altezza h dalla base del cilindro ed è in equilibrio sotto l’azione del proprio peso e della pressione atmosferica. Successivamente, una massa m viene appoggiata sul pistone e il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio. a) Si calcoli la variazione di temperatura del gas. b) Si dica, motivando adeguatamente la risposta, se la variazione d’entropia del gas è positiva, nega- tiva oppure zero. Esprimere il risultato in funzione di h, m, n e delle opportune costanti fisiche necessarie. h0 L h Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione 13/9/2017 FISICA (secondo appello) Prof. Magni SOLUZIONI 1) Per il secondo principio di Newton, in ogni istante la tensione è R mv T 2 = . Poiché la forza d’attrito dinamico (l’unica che compie lavoro) ha modulo costante, mg F d d µ= , e verso sempre opposto alla velocità, con il teorema dell’energia cinetica si ha: θR F L mv mv d − = = − 2 0 2 2 1 2 1 , dove θ è l’angolo percorso tra l’istante iniziale e quello in cui la velocità è v. Pertanto, dopo n giri, quando v = 0: n R F mv d π2 2 1 20= . Dalle equazioni precedenti si ricava:      − = − = n R mv F R mv T d π θ θ 2 1 2 20 20 , Dopo un giro, θ = 2π , la tensione è N5.7 1 1 20 =      − = n R mv T . 2) a), b) v. testi. c) È un campo uniforme e costante, quindi conservativo e dotato di energia potenziale la cui espressione è (v. testi) costante costante + − −= + ⋅ −= −= by ax L Ep r F ∆ . d) Il campo non è conservativo, perciò non ammette un’energia potenziale. Per provarlo basta calcolare il lavoro lungo due traiettorie diverse che collegano gli stessi due punti e verificare che è differente. Ad esempio, per segmento OA il lavoro è zero perché la forza è zero. Invece per la traiettoria OBCA il lavoro è 0 ) (≠ = ⋅ = = A B y B BC OBCAy kx y x L Lu F ∆ . 3) Durante l’urto sul sistema asta-pallina agiscono forze esterne: il peso e la reazione vincolare del cuneo. Non si conserva la q.d.m. del sistema perché la reazione vincolare ha carattere impulsivo. Invece, il momento angolare con polo nel punto di contatto asta cuneo si conserva perché il peso non è impulsivo e il momento della reazione vincolare rispetto a tale polo è zero. Indicate con v 0 e v 1 le componenti della velocità della pallina su un asse verticale orientato in basso, rispettivamente immediatamente prima e dopo l’urto e con ω 1 la velocità angolare dell’asta immediatamente dopo l’urto, la conservazione dell’energia e del momento angolare danno: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1ωI mv mv+ = , 1 1 0 2 2 ωI L mv L mv+ = . Con I = ML 2/12 e M = 6m si ha: 2 1 2 2 1 2 1 2 0ωL v v+ = , 1 1 0 ωL v v + = . Risolvendo il sistema si ricava: 30 1 v v −= , ) 3( 40 1 L v = ω . Prima e dopo l’urto la pallina segue un moto uniformemente accelerato, perciò 0 20 2gh v = e 1 2 1 2gh v= . In conclusione la quota raggiunta dopo l’urto è 9 0 1h h= . O A B C y x F Politecnico di Milano – Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione 4) a) Le pressioni del gas negli stati di equilibrio iniziale e finale sono: S Mg p p a+ = 0 , S mg p S g m M p p a + = + + = 0 1 ) ( , dove p a è la pressione atmosferica, M la massa del pistone e S la sua sezione. Le forze esterne che agiscono durante la trasformazione sono costanti, perciò il lavoro del gas è V p h g m M S p L L a est ∆ ∆1 ] ) ( [= + + = − = , dove Δh = ΔV/S è la variazione di quota del pistone e ΔV < 0 la variazione di volume. Il primo principio con Q = 0 dà: mgh nRT nRT VS mg p Vp V V p L T T ncV + + −= + + −= − −= −= − 0 1 0 0 11 0 1 1 0 1 ) ( ) ( ) ( ⇒ mgh T T nc T T R cn p V = − = − + ) ( ) )( ( 0 1 0 1 , ⇒ p nc mgh T T = − 0 1 . b) Essendo la trasformazione adiabatica e irreversibile la variazione d’entropia del gas è strettamente positiva, per il principio di accrescimento.