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Computer Engineering - Fisica

Full exam

Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. FISICA Appello del 13 giugno 2022 Proff. Bussetti, Contini, D'Andrea, Della Valle, Lucchini, Marangoni, Paternò, Petti, Polli, Ramponi, Spinelli, Stagira, Yivlialin 1. Un corpo puntiforme di massa m è appoggiato su un piano orizzontale avente un coefficiente di attrito statico µ s e dinamico µ d. Il corpo, supposto fermo, è collegato all’estremità di una molla di costante elastica k com- pressa di un tratto d. Calcolare: a) il valore minimo del coefficiente di attrito statico che permette alla massa di rimanere ferma; (4 punti) b) la velocità iniziale, diretta verso il punto di riposo della molla, che occorre imprimere al corpo affinché si fermi esattamente nella posizione in cui la molla risulta allungata di un tratto d, senza instaurare oscilla- zioni. (4 punti) 2. È dato un recipiente cilindrico di sezione S, rigido, adiabatico tranne una base diatermica (vedi figura). Il recipiente è diviso in due parti (A e B) da un pistone di massa m pure adiabatico, mobile senza attrito. In A sono contenute n moli di gas perfetto monoato- mico a temperatura T 0, mentre in B c’è il vuoto. Il sistema è inizialmente in equilibrio termodinamico. Tramite la base diatermica si fornisce al gas una quantità di calore Q, molto lentamente. A valle dell’avvenuta trasformazione, si calcoli: a) la temperatura finale del gas; (3 punti) b) il lavoro compiuto dal gas; (2 punti) c) la variazione dell’entropia del gas e dell’Universo. (3 punti) 3. Un proiettile di massa m = 10 g, in moto con velocità di modulo v lungo una direzione inclinata di un angolo α =30° rispetto all’orizzontale, si con- ficca in un blocco di ghiaccio di massa M = 1 kg che sta scivolando con velocità di modulo V = 3 m/s su un piano orizzontale liscio. Le direzioni e i versi dei vettori velocità sono indicati in figura. Si calcoli: a) la velocità v che deve avere il proiettile affinché il blocco di ghiaccio si fermi; (2 punti) b) la massa M’ di ghiaccio che si scioglie a causa dell’urto, nell’ipotesi del punto a), assumendo che il blocco di ghiaccio si trovi a una temperatura T = 0°C e trascurando la capacità termica del proiettile; (3 punti) c) l’impulso della reazione vincolare del piano al momento dell’urto. (3 punti) [Il calore latente di fusione del ghiaccio è λF = 335 J/g] 4. a) Si dia la definizione di lavoro, spiegando il significato di tutti i termini che si utilizzano (2 punti). b) Si enunci e si dimostri il teorema dell’energia cinetica, indicandone le condizioni di validità (3 punti). c) Si enunci il teorema dell’energia cinetica nel caso di un sistema di punti materiali, spiegando in maniera chiara i termini presenti (3 punti). Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. Soluzione 1. a) Inizialmente il corpo è in equilibrio, quindi deve risultare: ������������ ������������=������������ ������������ Sapendo che la forza elastica risulta ������������ ������������=������������������������ e che per l’attrito statico vale ������������ ������������≤ ������������ ������������������������������������ =������������ ������������������������������������, si ha: ������������������������≤ ������������ ������������������������������������ da cui: ������������ ������������≥������������������������ ������������������������ =������������ ������������min b) Dal bilancio di energia meccanica tra lo stato iniziale (molla compressa di un tratto d e corpo con velocità v 0) e quello finale (molla allungata dello stesso tratto, quindi con la stessa energia po- tenziale, e corpo fermo), si ottiene: 1 2������������������������2− �1 2 ������������ ( ������������ 0)2+1 2 ������������������������2� =−������������ ������������������������������������( 2 ������������) Da cui: ������������ 0= 2������������� ������������������������������������ 2. a) A causa del calore fornito molto lentamente il gas subisce un’espansione isobara reversibile alla pressione esercitata dalla forza peso del pistone: ������������=������������������������ ������������ La temperatura finale del gas ������������ 1 può essere calcolata tenendo conto del calore fornito. Deve risultare: ������������=������������������������ ������������Δ������������=5 2 ������������������������( ������������ 1− ������������ 0) dove abbiamo considerato ������������ ������������= 5/2������������ essendo il gas è monoatomico. Quindi: ������������ 1=������������ 0+2 ������������ 5������������ ������������ b) Il lavoro compiuto da gas può essere calcolato utilizzando il primo principio della termodina- mica: ℒ=������������ − Δ������������=������������ − ������������������������ ������������Δ������������ Utilizzando il risultato del punto precedente: ℒ=������������ −������������������������ ������������ ������������������������ ������������ ������������ =������������ ������������− ������������ ������������ ������������������������ ������������ =������������ ������������ ������������ ������������=2 5 ������������ Alternativamente il lavoro può essere calcolato tenedo conto che la trasformazione è isobara: ℒ=������������Δ������������=������������( ������������ 1− ������������ 0)=������������������������� ������������ ������������1 ������������ −������������������������ ������������0 ������������ � =������������ ������������ Δ������������=������������ ������������ ������������������������ ������������ ������������ =2 5 ������������ dove di nuovo abbiamo usato il risultato del punto precedente. c) Assumeremo di seguito che il calore venga ceduto al gas in modo reversibile (vedi nota finale). La variazione di entropia del gas può essere calcolata tenendo conto che il calore viene scambiato a pressione costante: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. Δ������������ ������������������������ ������������=�( ������������������������ )������������������������ ������������ ������������ 1 0 =������������������������� ������������������������������������ ������������ ������������1 ������������0 = 5 2 ������������������������ln������������ 1 ������������0 =5 2 ������������������������ ln � 1 +2 ������������ 5������������ ������������ ������������0 �> 0 La variazione di entropia dell’Universo, invece, risulta nulla avendo assunto la trasformazione reversibile. Nota: uno scambio di calore quasi statico (cioè che avviene molto lentamente lasciando che il sistema evolva per stati di equilibrio) non necessariamente risulta reversibile; tuttavia l’ipotesi di reversibilità è l’unica che consenta di risolvere il punto c) con i dati forniti dal problema. 3. a) Durante l’urto non agiscono forze impulsive orizzontali, quindi si conserva la componente oriz- zontale della quantità di moto totale: ������������ ������������( ������������) = ������������ ������������( ������������) co n ������������ ������������( ������������) = ������������������������−������������������������ cos������������ I noltre, poiché i due corpi sono fermi dopo l’urto, si ha: ������������ ������������( ������������) = 0 Q uindi: ������������������������−������������ ������������ cos������������= 0 da cui: ������������= ������������ ������������cos������������ ������������=346.4 m/s b) Durante l’urto perfettamente anelastico, l’energia cinetica iniziale dei due corpi si trasforma in calore che provoca lo scioglimento di parte del blocco di ghiaccio: ������������=������������ ������������( ������������) =1 2 ������������������������ 2+1 2 ������������ ������������2=1 2 ������������ ������������2� 1 + ������������ ������������cos 2������������� L a massa di ghiaccio che si scoglie risulta: ������������ ′= ������������ ������������ ������������ = ������������ ������������2 2������������������������ �1 + ������������ ������������ cos 2�������������= 1.8 g c) Applicando il teorema dell’impulso durante l’urto nella direzione ortogonale al piano (direzione di ������������ ������������) si ha: ������������ ������������( ������������) − ������������ ������������( ������������) = ������������ ������������ R isulta: ������������ ������������( ������������) = −������������������������ si n������������ ������������ ������������( ������������) = 0 e ������������ ������������=�( ������������ ������������−������������������������− ������������������������ )������������ ������������ ������������(������������) ������������(������������) =� ������������ ������������������������������������ ������������( ������������) ������������( ������������) − ( ������������+ ������������ )������������Δ������������≅ � ������������ ������������������������������������ ������������( ������������) ������������( ������������) Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. dove abbiamo trascurato l’impulso della forza peso, non impulsiva, di fronte all’impulso della reazione vincolare, unica forza esterna impulsiva. In pratica abbiamo assunto la durata dell’urto molto breve, cioè Δ