Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. FISICA Appello del 8 Gennaio 20 2 4 – ore 8 .30 Proff. Bussetti , Contini, Crespi, D'Andrea, Della Valle , Lucchini , Marangoni, Paternò, Petti , Polli , Ramponi, Stagira, Yivlialin , Zucchetti 1. Cinematica /Dinamica a) Si descrivano i modelli di attrito radente statico e dinamico, precisando il significato di tutti i termini e le grandezze fisiche coinvolte. [2] Un oggetto puntiforme viene lanciato su un piano inclinato di un angolo α = 30° rispetto all’orizzontale , con velocità iniziale di modulo v 0 = 10 m/s parallela al piano e diretta verso l’alto. Il piano ha un coefficiente di attrito dinamico μ D = 0.3. Si calcoli no : b ) la massima quota H raggiunta dall’oggetto ; [3] c ) la velocità con cui esso ri torn a al punto di partenza assumendo che la forza di attrito statico non impedisca all’oggetto di scivolare nuovamente verso il basso una volta raggiunta la massima quota H . [2] 2 . Gravitazione e Dinamica dei Sistemi Un sistema isolato è composto da due oggetti di mass a m 1 ed m 2 che interagi- sc o no mediante una forza gravitazionale F . I due oggetti orbitano attorno ad un punto fisso O e seguendo moti circolari lungo orbite rispettivamente di raggi r 1 e d r 2 come in figura. a) Si enunci la prima equazione della dinamica dei sistemi e , ipotizzando che il centro di massa del sistema coincida con O, si derivi il legame tra i moduli del le rispettive velocità v 1 e v 2 delle due masse . [ 3 ] b) Si determini il rapporto r 1 /r 2 esclusivamente in funzione delle masse degli oggetti assumendo che essi si muovano di moto circolare uniforme rimanendo diametralmente opposti rispetto al punto O . [ 3 ] c) Si enunci la legge di gra vitazione universale e si calcoli il modulo v 1 della velocità di m 1 in funzione del raggio r 1 della sua orbita , delle masse dei due oggetti e della costante di gravitazione universale G . [2] 3. Corpo rigido a) Ricavare il momento d'inerzia di un'asta omogenea sottile di massa M e lunghezza L , rispetto ad un asse ortogonale ad essa e passante per il centro di massa. [3] b) Determinare il momento d'inerzia della stessa asta del punto a), rispetto a un asse ortogonale ad essa e passante per un estremo O . [2] c) Si consideri ora, con riferimento alla figura, un'asta libera di ruotare (senza attrit o ) nel piano verticale, incernierata nell’ estremo O, e che venga lasciata cadere a partire dalla posizione orizzontale. Si determini l’espressione della velocità angolare di ro- tazione raggiunta dell’asta nell’istante in cui essa transita per la verticale. [3] 4. Termodinamica a) Si definisca il lavoro termodinamico per un sistema costituito da un gas che esegua una generica trasforma- zione termodinamica e se ne dia poi l’espressione nel caso di una trasformazione quasi - statica . [3] b) Un cilindro adiabatico, chiuso da un pistone adiabatico di peso trascurabile che può scorrere senza attrito, contiene un a mole di gas ideale biatomico. Inizialmente il gas è a temperatura T i = 350 K ed il sistema è in equilibrio con la pressione esterna. Molto rapidamente la pressione esterna viene raddoppiata ed il sistema rag- giunge un nuovo stato di equilibrio. Si calcoli la temperatura finale del gas T f. [3] c) Si dica se la trasformazione è reversibile ed il perché. Successivamente, si calcoli la variazione di entropia del gas e si discuta se questa sia sufficiente per stabilire la reversibilità o meno della trasformazione. [3] LO90° Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. SOLUZIONI Quesito 1 a) Si vedano le dispense/note dell’insegnamento. b) D urante la salita lungo il piano inclinato scabro, il corpo è soggetto al proprio peso, alla reazione normale del piano e alla forza di attrito radente dinamico, tangenziale al piano. Delle due componenti della forza peso, normale e tangenziale al piano, solo quest’ultima compie lavoro. Essa ha modulo pari a !"#$% ( ' ) ed è diretta lungo il piano e verso il fondo del piano stesso . La reazione normale del piano non compie lavoro, essendo ortogonale allo spostamento del corpo in ogni istante, ma consente al vincolo di essere rispettato, controbilanciando la componente normale del peso, il cui modulo è !")*# ( ' ) . La forza di attrito dinamico, il cui modulo ha in generale l’espressione + ! = - " . , con . la reazione normale del piano, risulta + ! = - " . = - " !")*# ( ' ) diretta lungo il piano e verso il fondo del piano stesso . Nota l’espressione di tutte le forze in gioco, conservative e non conservative, possiamo ricorrere al teorema delle forze vive: ∆ 0 # ( 1 , 3 ) = 0 # $ − 0 # % = 5 % → $ '(' All’inizio del suo moto, il corpo puntiforme possiede un’energia cinetica iniziale 0 # % = 1 2 ! 9 ) * . Nell’istante in cui il corpo raggiunge la massima quota, la sua velocità è nulla e così la sua energia cinetica, 0 # $ . La variazione di energia cinetica è quindi: ∆ 0 # = 0 # $ − 0 # % = 0 − 0 # % = − 1 2 ! 9 ) * . Il lavoro compiuto da tutte le forze, 5 % → $ '(' , sar à semplicemente la somma dei lavori della componente tangenziale del peso e della forza di attrito radente, lungo il tratto d percorso dal corpo sul piano inclinato prima di arrestarsi, cioè: 5 % → $ '(' = − - " !")*# ( ' ) < − !"#$% ( ' ) < Otteniamo quindi − 1 2 ! 9 ) * = − - " !")*# ( ' ) < − !"#$% ( ' ) < Osservando che la massima quota H è legata alla lunghezza d dalla relazione = = ( ' ) = + !"= , da cui 9 - * = [ 1 − - " )*> ( ' ) ] 2 "= , cioè 9 - = C [ 1 − - " )*> ( ' ) ] 2 "= . Sostituendo i valori numerici otteniamo v f = 5.6 2 m/s. Quesito 2 a) Poiché il sistema è isolato, il risultante delle forze esterne è nullo e per la prima equazione della dinamica dei sistemi risulta: < D = E ./' = 0 dunque la quantità di moto totale del sistema è costante nel tempo. Tuttavia il centro di massa del sistema coincid e con O, che è un punto fisso (quindi in quiete) per ipotesi ; pertanto la quantità di moto totale del sistema sarà pari a: ! + F + + ! * F * = D = ( ! + + ! * ) F ,0 = 0 ed il legame tra le velocità dei due oggetti sarà : F + = − ! * ! + F * . b) I due oggetti si muovono lungo orbite circolari aventi l’origine O in comune , che coincide anche col centro di massa. Dalla definizione di centro di massa si deduce che i due oggetti devono trovarsi costantemente in posizioni diametralmente opposte rispetto ad O e quindi la forza di interazione gravitazionale tra gli oggetti rimane costante nel tempo perché dipende solo dalla distanza che li separa . I moti sono quindi circolari uniformi e, tenendo conto del principio di azione e reazione, possiamo legare le velocità dei due oggetti secondo la relazione: + = ! + 9 + * G + = ! * 9 * * G * da cui otterremo: H 9 + 9 * I * = G + G * ! * ! + Sostituendo la relazione tra le velocità determinata al punto precedente, otteniamo poi : G + G * = ! * ! + Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. c) Esprimendo la forza agente sulla massa m 1 mediante la legge di gravitazione universale e tenendo conto che la distanza tra le masse è sempre pari a r 1 + r 2 otteniamo : + = J ! + ! * ( G + + G * ) * = ! + 9 + * G + e sostituendo l’espressione determinata al precedente punto, si ottiene : 9 + = ! * ! + + ! * K J ! * G + Quesito 3 a ) Sia detta S l’area della sezione trasversale dell’asta, ρ la sua densità e x un asse rettilineo diretto lungo l’asse dell’asta con origine nel baricentro dell’asta stessa, detto C. In base alla definizione di momento d’inerzia di un corpo rigido, ed essendo l’asta sottile, avremo M , = N O * PB che porta il gas nello stato finale ( 2 s ) , Q - , w - ) . La variazione di entropia A - >B è data quindi da Δ R %$ = Δ R %, + Δ R ,$ Dove per la trasformazione AC, sfruttando il fatto che il lavoro compiuto è nullo, possiamo scrivere: Δ R %, = N t w = % ) 6 N