Computer Engineering - Fisica

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. FISICA Appello del 30 Gennaio 20 2 4 – ore 8 .30 Proff. Bussetti , Contini, Crespi, D'Andrea, Della Valle , Lucchini , Marangoni, Paternò, Petti , Polli , Ramponi, Stagira, Yivlialin , Zucchetti 1 . Una guida è costituita da un tratto verticale rettilineo e da un arco di circonferenza di raggio R = 50 cm e centro C . La parte destra d ell’arco di circonferenza ha un’apertura (rispetto alla verticale) di 60°. Affiancato alla guida c'è un tratto retti- lineo orizzontale di lunghezza L = 3R (dal punto P al punto Q) posto alla quota h P rispetto al riferimento mostrato in figura . Un punto materiale di massa m viene lasciato libero (in quiete) a una quota iniziale h e scivola senza attrito lungo la guida fino ad essere proiettato (dopo un breve volo) sul tr atto orizzontale. a) Si enunci il principio di conservazione dell’energia meccanica . [2] b) Si determini il valore di h affinché il punto materiale cada nel punto Q . [3] c) la massima quota raggiunta dal punto materiale durante il suo volo nel caso di h = R . [3 ] . 2 . Un corpo puntiforme di massa m 1 , inizialmente fermo, è appoggiato su un piano inclinato scabro (con coefficiente di attrito dinamico μ d ed inclinato di un angolo a ) ad una altezza h. Il piano scabro non impedisce comunque al corpo di muoversi. Il piano scabro è poi seguito da un tratto orizzontale liscio. Alla base del piano inclinato è posto un corpo fermo di massa m 2 = m 1 attaccato ad un filo ideale di lunghezza h, come indicato in figura. Il corpo di massa m 1 scivola sul piano incli- nato e , una volta giunto sul tratto orizzontale, urta in modo perfettamente elastico il corpo di massa m 2 . Si calcoli: a) la velocità del corpo di massa m 1 un istante prima di urtare il cor p o di massa m 2 ;[2] b) la ma ssima altezza raggiunta dal corpo di massa m 2 dopo l’urto ; [3] c) quanto dovrebbe essere la velocità della massa m 1 , un istante prima dell’urto, a f finché il corpo di massa m 2 compia un giro completo. [3] 3. I blocchi B e C sono legati l’uno all’altro da una fune di massa trascurabile che passa su una puleggia, costituita da un disco omogeneo di massa M e raggio R , libero di ruotare intorno al proprio asse, come riportato in figura. L’attrito tra il blocco B ed il tavolo e l’attrito della puleg- gia sono trascurabili. Sotto l’ipotesi che la fune non slitti, determinare: a) i Z l modulo dell’accelerazione lineare dei blocchi; [3] b) le tensioni della fune tra la puleggia e i blocchi B e C. [3] c) come cambierebbero le tensioni della fune se la puleggia fosse ideale , cioè con momento di inerzia nullo . [2] Nota : Si esprimano le soluzioni in funzione di m B , m C (masse dei blocchi B e C, rispettivamente), M , R e g (accelerazione di gravità terrestre), ricordando che il momento d’inerzia di un disco omogeneo rispetto ad un asse baricentrico ortogonale al disco stesso è dato dall’espressione I = ½ M R 2 . 4. a) Si definisca la variazione di entropia per un gas perfetto commentando opportunamente i termini c he compaiono nella definizione. [2] b) Una mole di gas perfetto monoatomico compie il ciclo reversibile riportato in figura, dove le trasformazioni 2 - 3 e 4 - 1 sono adiabatiche e V 3 = 2 V 1 ; p 2 = 2 p 1 . Si valuti la varia- zione di entropia per le singole trasformazioni. [3] c) Si calc oli il rendimento del ciclo di cui al punto precedente . [3] Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. SOLUZIONI Quesito 1 a) Si vedano le dispense/note dell’insegnamento. b ) La velocità ! ! della massa nel punto P può essere calcolata usando la conservazione dell’energia meccanica e contando che essa parte da ferma alla quota h: "# ℎ = " # " ! ! # + "# ℎ $ (1) Questa equazione ci permette di calcolare l’altezza h che serve per far atterrare la massa in Q, una volta stabilita quale sia la velocità ! ! necessaria. A tal proposito notiamo che dal punto P la massa si muoverà di moto parabo- lico. Visti i 60° descritti al punto P nel centro della guida circolare, la velocità ! ! formerà un angolo di 30° con il tratto orizzontale della guida. Di conseguenza le sue componenti x e y valgono: ! ! % = ! ! cos 60° = & ! # (2) ! ! ' = ! ! sin 60° = √ 3 & ! # (3) La quota del punto P si può calcolare da semplici considerazioni geometriche, considerando che la quota del punto C è R e tenendo conto dell’angolo di 60°. Si ottiene: ℎ ( = - ( 1 − sin 30° ) = ) # (4) Se consideriamo un moto parabolico che parte dal punto P, otteniamo dunque 5 6 ( 7 ) = ! ! % 7 8 ( 7 ) = ) # + ! ! ' 7 − " # # 7 # (5) 9 ! % = ! ! % ! ' = ! ! ' − #7 (6) Imponendo il passaggio per il punto Q (x,y) = (3R, R/2) nelle (5), otteniamo: : 7 = * ) & "# ) # = ) # + ! ! ' 7 − " # # 7 # (7) Sostituendo la prima nella seconda, si determina il valore per il modulo della velocità in P: ! ! % ! ! ' = # 3 - 2 → ! ! # sin ( 60° ) cos ( 60° ) = # 3 - 2 → ! ! # = # 3 - 2 sin ( 60° ) cos ( 60° ) = # 3 - sin ( 120° ) = 6 #- √ 3 Sostituendo nel la (1), otteniamo quindi : ℎ = ! ! # 2 # + ℎ + ≅ 112 @" . c) N el caso in cui h = R, dalla (1) ricaviamo la nuova velocità nel punto P come : "#- = " # " ! ′ ! # + ,-) # → ! ′ ! = C -# (8) La massima quota raggiunta dal punto materiale durante il suo volo parabolico si avrà nell’istante in cui la com- ponente verticale della sua velocità si annulla . Dalla seconda delle equazioni (6), questo avviene quando : Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. ! ' = ! ! ' − #7 → 7 = ! ′ ! ' # Conseguentemente la quota sarà: 8 ,.% = 1 2 - + ! ′ ! ' # ! ′ ! ' − 1 2 # D ! / ! ' # E # = - 2 + 1 2 ! ! ' /# # = - 2 + 1 2 ! ! /# sin # 60° # = - 2 + 1 2 ! ! /# # 3 4 , che, unita alla (8) , da: 8 ,.% = - 2 + 3 8 # #- = 7 8 - = 43 .7 @" Quesito 2 a) Applico il Teorema dell’energia cinetica al punto di massa m 1 tra il punto di massima altezza (A) ed il punto alla base del piano inclinato (B) un istante prima di urtare il corpo di massa m 2 J 0 ( K ) − J 0 ( L ) = M 23 244 d ove J 0 ( L ) è l’energia meccanica in A, J 0 ( K ) è l’energia meccanica in B e M 23 244 il lavoro della forza di at- trito tra A e B. Sostituendo: J 0 ( L ) = " " g h J 0 ( K ) = " # " " ! " 3 # M 23 244 = ∫ Q 244 R6 = − S 5 " " # ℎ @T7# ( U ) 6 ! Si ottiene: ! " 3 = C 2 # ℎ ( 1 − S 5 @T7# ( U ) ) b) Essendo l’urto elastico si ha la conservazione della quantità di moto e dell a energia cinetica. " " ! " 3 = " " ! " + " # ! # 1 2 " " ! " 3 # = 1 2 " " ! " # + 1 2 " # ! # # d ove ! " e ! # sono le velocit à dei due corpi un istante dopo l’urto. Risolvendo il sistema si ott iene : ! # = ! " 3 Utilizzando la conservazione dell’energia meccanica al punto di massa " # dopo l’urto: 1 2 " # ! # # = " # # ℎ # Si ottiene la massima altezza ℎ # raggiunta dal corpo di massa m 2 dopo l’urto: ℎ # = ! " 3 # 2 # Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. c) Affinché il corpo di massa m 2 compia un giro completo la tensione T della fune nel punto più alto (C) deve essere positivo. Scrivendo F = m a nell a direzione centripeta e applicando la conservazione della energia meccanica al cor p o di massa m 2 dopo l’urto : V + " # # = " # ! 7 # ℎ 1 2 " # ! # # = 1 2 " # ! 7 # + " # # 2ℎ si ottiene , s volgendo i conti: ! # # > 5 # ℎ Utilizzando la relazione trovata al punto (b) sull’urto s i ottien e che la velocità ! " 3 della massa " " un istante prima dell’urto deve essere : ! " 3 # > 5 # ℎ Quesito 3 Scegliamo un sistema di assi cartesiani con - x orizzontale, positiv o verso destra - y verticale, positivo verso l’ alto - z uscente dal foglio. Se assumiamo che la fune non slitti e che l’attrito sia trascurabile per ogni corpo, per effetto della forza peso su C, ci aspettiamo che la massa C si muova verso il basso , la B trasli sul piano verso sinistra, e la puleggia ruoti in senso antiorario. Inoltre, B e C si muoveranno con un’accelerazione comune in quanto collegati dalla fune ine- stensibile. a) Scriv iamo la prima equazione cardinale per i corpi B e C e la seconda per la puleggia. Nel sistema di riferi- mento prima definito, si ott iene : - B: o Lungo x: − V 3 = − " 3 Y 80 . o Lungo y: Z = " 3 # . Dove V 3 è la tensione della fune, Z la reazione vincolare del piano, Y 80 l’accelerazione del centro di m assa - C: se V 8 è la tensione della fune o V 8 − " 8 # = − " 8 Y 80 . - Puleggia: ricordando l’espressione del momento d’inerzia del disco, e sfruttando la relazione tra l’accelera- zione angolare e l’accelerazione del sistema Y 80 = U- o - ( V 8 − V 3 ) = [U = " # \ - # . $% ) = " # \- Y 80 . Risolvendo il sistema con le 3 equazioni (escludiamo l’equazione lungo y per il corpo B), si ottiene Y 80 = # , $ ( , $ : , & : " # ; 0 ) . Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. b) Utilizzando l’espressione di a ottenuta al punto precedente, si ricavano le due tensioni: o V 3 = # , & , $ ( , $ : , & : " # ; 0 ) . o V 8 = # , $ ( , & : " # ; 0 ) ( , $ : , & : " # ; 0 ) . c) Puleggia ideale significa M = 0 e quindi, I = 0 . Dalle espressioni per le tensioni ricavate al punto prece- dente è facile vedere che ne segue V 3 = V 8 = V = # , & , $ ( , $ : , & ) . Questa soluzione è la stessa che si ottiene scrivendo il secondo principio della dinamica per B e C nel caso di fune inestensibile (accelerazione uguale per entrambi i corpi) e che da come risultato o Y = # , $ ( , $ : , & ) , V = # , & , $ ( , $ : , & ) . Quesito 4 a) Si vedano le dispense/note dell’insegnamento. b) La variazione di entropia si avrà solo nelle isocore, dove il calore infinitesimo scambiato dal gas è esprimibile in funzione della variazione infinitesima di temperatura. Integrando pertanto fra temperatura iniziale e finale l’espressione di dS, si ott engono le due variazioni di entropia che devono essere uguali ed opposte per rendere nulla la variazione di entropia nel ciclo. In formule: Δ ^ "# = _ R` V = 3 2 -ab 2 c " d " c " d " # " = 8 .6 e f = − Δ ^ *= La variazione di entropia nelle adiabatiche reversibili è ovviamente nulla: Δ ^ #* = 0 = Δ ^ =" c ) Il rendimento del ciclo si ricava, noto il rapporto fra il calore ceduto (in modulo) e quello assorbito dal gas durante il ciclo stesso. Le quantità di calore scambiate dal gas lungo le isocore si ricavano dalla definizione di calore molare a volume costa nte. Poiché, come si può ricavare dall’equazione di stato dei gas perfetti e dalle relazioni assegnate fra volumi e pressioni, la temperatura dello stato 2 è maggiore della temperatura dello stato 1, il gas assorbirà calore nell’isocora 1 - 2 e ne cederà nel la 3 - 4 (le altre due trasformazioni sono adiabatiche). Le temperature degli stati 3 e 4 possono essere ricavate, in funzione dei parametri dello stato iniziale, dalle relazioni che regolano le trasformazioni adiabatiche reversibili nelle variabili p e V e dall’equazione dei gas perfetti. In formule: g = 1 − | ` 7>? | ` .@@ ` "# = _ @ A RV B ' B ( = 3 2 c " d " ` #* = 0 ` *= = _ @ A RV B ) B * = 3 2 ( c = − c * ) d * Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato. ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ c = = c " m d " d = n C = c " m d " 2 d " n C c * = c # m d " d * n C = 2 c " m d " 2 d " n C ` *= = 3 2 ( c = − c * ) d * = − 3 m 1 2 n D * c " d " ` =" = 0 Ne consegue che: g = 1 − 3 o 1 2 p D * c " d " 3 2 c " d " = 1 − 2 m 1 2 n D * = 37% Equivalentemente, il rendimento si può calcolare come g = ℒ 4E4 ` .@@ = ℒ #* + ℒ =" ` "# Dove si è sfruttato il fatto che nelle isocore il lavoro è nullo e che il calore viene assorbito solo nella trasforma- zione 1 - 2. Sfruttando il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche reversibili ` = 0 e che @ & = * # - , dal primo principio otteniamo: ℒ #* = − Δ s #* = b @ & ( V # − V * ) = b @ & m c # d " b- − c * d # b- n = 3 2 d " ( c # − c * ) ℒ =" = − Δ s =" = b @ & ( V = − V " ) = b @ & m c = d # b- − c " d " b- n = 3 2 d " ( c = − c " ) Nella isocora 1 - 2 invece ℒ "# = 0 e il primo principio ci dice che ` "# = Δ s "# = b @ & ( V # − V " ) = @ & m 2 c " d " b- − c " d " b- n = 3 2 c " d " Tenendo ora conto del fatto che, come visto, ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ c = = c " m d " d = n C = c " m d " 2 d " n C c * = c # m d " d * n C = 2 c " m d " 2 d " n C il lavoro totale sarà quindi dato da ℒ 4E4 = ℒ #* + ℒ =" = 3 2 c " d " t 1 − 2 m 1 2 n C u Dividendo per ` "# si ottiene infine il rendimento g = 1 − 2 m 1 2 n C = 1 − 2 m 1 2 n D * = 37% Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione _______________________________________________ Si ricorda di: - Scrivere in stampatello NOME, COGNOME e numero di MATRICOLA. FIRMARE ogni foglio utilizzato. - MOTIVARE e COMMENTARE adeguatamente ogni risultato.