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Computer Engineering - Fisica

Teoremi e dimostrazioni

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Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 1 Teoremi e Dimostrazioni Fisica - Modulo 1 Dinamica punto materiale Accelerazione in componenti tangenziali e normali alla traiettoria Considerando l’accelerazione come la derivata del vettore velocità, che sappiamo essere tangente alla traiettoria otteniamo: �⃗= ��⃗ �� = � �� (���)= �� �� ��+ ���� �� = ����+ �|�� | �� 1 ���= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �2 � �� Considera ndo che la derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso con “ciclicità della mano destra”, che il versore �� ha modu lo unitario, che il seno di un angolo infinitesimale è approssimabile all’angolo stesso otteniamo e � come “raggio del cerchio osculatore” : |�� |= |��⃗|= �sin (|������� |)= �|������� |, ��� �� = 1 �� (|��|sin (������� ))= 1 �� ������� = 1 �� |�� | � Velocità nel piano polare Con siderando come v la derivata del vettore posizione otteniamo: �⃗= ��⃗ �� = � �� ���= �� �� ��+ ���� �� = ����+ �������� (��× ��)= ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �⃗ Dove, ricordando le considerazioni della dim. Precedente e che il versore �� ha modulo unitario : ��� �� = 1 �� ��sin (������� )�������= ������� �� (��× ��) Dove ������� �� ��= �, una nuova grandezza che definiamo come velocità angolare istantanea (variazione dell’angolo nel tempo). Accelerazione nel piano polare Considerando v come la derivata temporale del vettore velocità, dal risultato precedente abbiamo ottenuto che �⃗= ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �⃗ �⃗= ��⃗ �� = � �� (��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �⃗)= ���⃗⃗⃗⃗ �� + ��⃗⃗⃗ �� × �⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗ �� = ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗ �� × �⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× �⃗) Dove: ���⃗⃗⃗⃗ �� = ��� ����+ �� ��� �� = ����+ �� ������� �� �������= ����+ �� ������� �� (��× ��)= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗ E, come visto nei risultati precedenti : �⃗⃗⃗× ��⃗ �� = �⃗⃗⃗× (��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �⃗)= �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× �⃗) In conclusione: �⃗= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ 2(�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗)+ ��⃗⃗⃗ �� × �⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× �⃗)= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗⃗ Notiamo che anche qui abbiamo introdotto una nuova grandezza, l’accelerazione angolare: �⃗= �������⃗⃗⃗⃗ �� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 2 Teorema dell’impulso La variazione della quantità di moto di un punto materiale è pari all’impulso della risultante delle forze agenti su quel punto materiale. ∆�⃗(�1,�2)= ������⃗�⃗(�1,�2) DIM: Definiamo Impulso di una forza come l’integrale temporale della stessa ������⃗�⃗(�1,�2)= ∫ �⃗(�)�� �2�1 ne deriva che: �⃗(�)= ��⃗ �� , �⃗(�)�� = ��⃗, ∫ �⃗(�)�� �2 �1 = ∫ ��⃗ �2 �1 = �⃗(�2)− �⃗(�1)= ∆�⃗ �.�.�. Lavoro ed Energia Teorema Energia Cinetica In un sistema di riferimento inerziale, il lavoro compiuto dalla risultante di tutte le forze agenti su di un punto materiale quando esso si sposta dalla posizione A alla posizione B è pari alla variazione di energia cinetica del p unto materiale tra le posizioni A e B. ℒ�→�,� ��� = ��(�)− ��(�)= ∆��(�,�) DIM: Dal 2° principio di Newton otteniamo �⃗= ��⃗= � �������⃗⃗ ��, ma allora: �ℒ= �⃗��⃗= � ��⃗ �� ��⃗= � ��⃗��⃗ �� = �(��⃗∙�⃗)= � �(�⃗∙�⃗) 2 = �(1 2� �2)= �(��) Notando che �2= �(�⃗∙�⃗)= ��⃗∙�⃗+ �⃗∙��⃗= 2��⃗∙�⃗, scopriamo che, essendo definito come tale: ℒ�→�,� ��� = ∫ �ℒ � �,� = ∫ �(��) � �,� = ��(�)− ��(�)= ∆��(�,�) �.�.�. La forza elastica è conservativa La forza elastica, nonostante non sia costante, è co nservativa . �⃗= −��⃗ DIM: Una forza è conservativa se il lavoro corrispondente ad uno spostamento da A a B è sempre uguale alla variazione di Energia potenziale, cambiata di segno. ℒ�→�,�= ∫ �ℒ � �,� = ∫ �⃗��⃗ � �,� = ∫ −��⃗ ��⃗ � �,� = − 1 2�∫ �(�2) � �,� = −1 2���2+ 1 2���2= −∆��(�,�) �.�.�. Dove l’energia potenziale elastica è ��= 1 2��2 Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 3 Lavoro nelle Forze centrali In un campo di forze centrali a simmetria sferica si definisce la variazione di energia potenziale come il lavoro per effettuare uno spostamento da A a B. ℒ�→� = ∫ �⃗��⃗ � �,� = ∫ ����� �� � �,� = ∫ ��� � �,� = −∫ ��� � �,� = ��(�)− ��(�) Ma allora, considerando A come r generico e B come r0: ��(�)− ��(�0)= −∫ ��� � �0,� , ��(�)= ��(�0)− ∫ ��� � �0,� Nel caso della Energia potenziale gravitazionale ��(�)= ��(�0)− ∫ ��� � �0,� = −��� [− 1 �]�� � = − ��� � + ��� �0 , �0= ∞ Teorema di conservazione Energia Meccanica Si dice energia meccanica l’indice di stato E, somma dell’energia cinetica e di tutte le energie potenz iali. In presenza tutte e sole forze conservative, essa si conserva. � = �(�)= ��(�)+ ��(�)= ��(�)+ ��(�)= �(�) DIM: Per il teorema dell’energia cinetica sappiamo che: ℒ�→� ��� = ��(�)− ��(�)= ∆��(�,�) Trovandoci “immersi” in sole forze conservative, è possibile definire un’energia potenziale, la quale varia a causa di un lavoro, solo in base alle posizioni iniziali e finali quindi: ℒ�→� ��� = −��(�)+ ��(�)= −∆��(�,�) Ma allora : ℒ�→� ��� = ��(�)− ��(�)= −��(�)+ ��(�),��(�)+ ��(�)= ��(�)+ ��(�)= � �.�.� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 4 Cinematica Moti Relativi Studio dei moti in un SdR relativo r con origine o in un SdR assoluto a ��⃗⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗ Velocità ��⃗⃗⃗⃗⃗= ���⃗⃗⃗ �� + ���⃗⃗⃗⃗ �� = ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗, ��⃗⃗⃗⃗= �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗⃗ Essendo la posizione dell’origine espressa in base a versori fissi nel tempo : ���⃗⃗⃗⃗ �� = ��⃗⃗⃗⃗⃗ E, in quanto i versori del SdR relativi non sono fissi nel tempo e che la derivata di un versore ha direzione perpendicolare e verso che rispetta la regola ciclic a della mano destra : ���⃗⃗⃗ �� = �� �� ��+ ���� �� + ⋯ = ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗ ���� �� = � 1 �� (|��|sin (������� ))��= � 1 �� (1∙������� )��× ��= (�)�⃗⃗⃗× �� (�)�⃗⃗⃗× ��+ (�)�⃗⃗⃗× ��+ (�)�⃗⃗⃗× ��= �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗ Accelerazione ��⃗⃗⃗⃗⃗= ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� = ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� + ���⃗⃗⃗⃗ �� + � �� (�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗)= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗× ��⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗)+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗, ��⃗⃗⃗⃗⃗= 2�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗, ��⃗⃗⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗× ��⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗) Essendo, similmente a prima: ���⃗⃗⃗⃗ �� = ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗ � �� (�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗)= ��⃗⃗⃗ �� × ��⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗ �� = �⃗× ��⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗)= �⃗× ��⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗⃗⃗× ��⃗⃗⃗) 2° Teorema Cardine della Dinamica In un SdR inerziale, la derivata temporale del Momento angolare ��⃗⃗⃗⃗⃗ è pari al momento risultante delle forze �������⃗⃗⃗⃗. �������⃗⃗⃗⃗= ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� + ��⃗⃗⃗⃗× �⃗ DIM: ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� = � �� (�⃗× �⃗)= �(��⃗⃗⃗⃗⃗−��⃗⃗⃗⃗⃗) �� × �⃗+ �⃗× ��⃗ �� = ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� × �⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗ �� × �⃗+ �⃗× �⃗= �������⃗⃗⃗⃗− ��⃗⃗⃗⃗⃗× �⃗ �.�.� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 5 Leggi di Keplero 1. Ogni pianeta descrive un’orbita ellittica attorno al sole, il quale ne occupa un fuoco; 2. Il vettore posizione del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali; 3. Il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del s emiasse maggiore dell’orbita; DIM 2: Sia data ��= �� ��, “velocità aereolare” , notiamo che: �� = 1 2�⃗ (�⃗sin (������� ))= 1 2�⃗ �⃗������� = 1 2�2������� , ��= ��2� Ma allora: ��= �� �� = 1 �� 1 2�2������� = 1 2�2������� �� = 1 2�2� = �� 2� ����� ! �.�.� DIM 3: Considerato il caso particolare del moto circolare, dove il semiasse maggiore coincide col raggio R, sappiamo che: �⃗= ��⃗, �⃗= − ��� �2 ��, �⃗= −�2��� Ma allora: − ��� �2 ��= −�� 2���, �� = �2�3= 4�2 �2�3, �2= 4�2 �� �3 �.�.�. Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 6 Teoremi e Dimostrazioni Fisica – Modulo 2 Sistemi di punti Prima Equazione cardinale della dinamica dei sistemi In un SdR inerziale, la risultante delle forze esterne è pari alla derivata temporale della quantità di moto del sistema. ��⃗⃗⃗⃗⃗= ��⃗ �� DIM: � = ∑���+ ∑���= ∑���= ��= � �� ∑��= �� �� Teorema del centro di massa In un SdR inerziale, il centro di massa di un sistema di punti materiali si muove come un punto materiale di massa pari alla massa totale M del Sistema e soggetto alla risulta nte delle forze �� esterne agenti sul sistema. ��= ���� DIM: ��� = � �� ��� = � �� (� �� ��� )= � �� (� �� ∑ �� � ��)= 1 � � �� (∑ �� ��� �� )= 1 � � �� (∑ ����)= 1 � � �� (∑ ��) = 1 � �� �� = �� � ,�.�.� Seconda Equazione cardinale della dinamica dei sistemi In un SdR inerziale , il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema di punti materiale, �������, è pari alla derivata temporale del momento angolare del sistema rispetto allo stesso polo. �������= �� �� DIM: ������= �������= �������+ �������= ∑ �������= ∑ ��� �� = �� �� Primo teorema di Konig Il momento angolare di un sistema di punti materiali in un riferimento inerziale è pari alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa (cioè nel sistema di riferimento C). ��⃗⃗⃗⃗⃗= ����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ��� ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DIM: �⃗⃗= ∑ ��⃗⃗⃗× ����⃗⃗⃗⃗= ∑ (��′⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)× ��(��′⃗⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = ∑ ��′⃗⃗⃗⃗× ����′⃗⃗⃗⃗+ ∑ ��′⃗⃗⃗⃗× �����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ����′⃗⃗⃗⃗+ ∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× �����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ���′ + 0+ 0+ ���� Secondo teorema di Konig L’energia cinetica di un sistema di punti materiali rispetto ad un riferimento inerziale è pari alla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica del sistema di punti rispetto al centro di massa (cioè nel sistema di riferimento C). ��= 1 2����2 + ∑ 1 2����′2= ���� + ��′ DIM: Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 7 ��= ∑ 1 2����2= ∑ 1 2��(��′⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2= ∑ 1 2��(��′2+ 2��′⃗⃗⃗⃗���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ���2 ) = ∑ 1 2����′2+ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∑ ����′⃗⃗⃗⃗+ 1 2����2 = ∑ 1 2����′2+ 0+ 1 2����2 Teorema Forze Vive nei sistemi Se un sistema di punti passa da una configurazione(O) A ad una configurazione B, il lavoro compiuto da tutte le forze applicate (interne ed esterne) è pari alla variazione di energia cinetica totale del sistema tra le configurazioni A e B. ℒ�−�,�= ∆��(�,�) DIM: Il teorema delle forze vive vale per ciascuno dei punti del sistema, quindi: ℒ�������−�������,�������= ∫ ���� � ������� �������,������� = ∆��,�(��,��) Do ve ��= ���+ ���, sommando su i si ottiene: ℒ�−�,�= ∑ ℒ�������−�������,�������= ∑ ∆��,�(��,��)= ∑ ��,�(��)− ∑ ��,�(��)= ∆��(�,�) Energia Pr opria del sistema Se le forze interne sono tutte conservative, il lavoro delle forze esterne è uguale alla var iazione di energia propria del sistema . DIM: Definiamo il Lavoro Interno come la somma di tutti i lavor i compiut i dalle forze interne: ℒ�= ∑ ℒ���= ∑ ∫ ���⃗⃗⃗⃗⃗����⃗⃗⃗⃗ � � Se sono tutte conservative è possibile definire un’energia potenziale interna , la variazione della quale corrisponde al lavoro interno: ℒ�= ∑ ℒ���= ∑ ∫ ���⃗⃗⃗⃗⃗����⃗⃗⃗⃗ � � = ∑ ��,��(�)− ��,��(�)= −∆��� ���= 1 2∑ ��,��, �≠ � Considerando il teorema del l’energia cinetica possiamo dire: ℒ= ℒ�+ ℒ�, ℒ�= ∆��− ℒ�= ∆��+ ∆���= ∆� Definiamo quindi l’ Energia Propria � ≡ ��+ ��� Conservazione energia Meccanica L’energia meccanica totale di un sistema di punti materiali soggetto a sole forze conservative rimane costante nel tempo. DIM: In aggiunta a quanto visto prima per l’Energia Propria, se anche le forze esterne sono conservative si può definire un Energia Potenziale delle forze esterne tale che : ℒ�= − − ∆��� Definiamo quindi l’ Energia Meccanica Totale del Sistema come somma di tutte le energie trovate sin ora, le quali possono essere poi divise in Interne ed Esterne : � ≡ � + ���= ��+ ���+ ���= ���� + ��′+ ���+ ���= ���� + ���+ ���� Corpo Rigido Moto dei corpi rigidi Per descrivere il moto di un corpo rigido bisogna descrivere posizione e orientamento di un sistema di riferimento (S’) solidale con il corpo. Visto che il sistema S’ è solidale al corpo che è inoltre rigido, allora ogni Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 8 �� sarà fisso rispetto a S ’. Quindi basta descrivere il moto di S’ cioè posizione di O’ e orientazione di x’,y’ e z’ rispetto al sistema S. �⃗= �′⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗= �′⃗⃗⃗⃗+ ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �′⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× �′⃗⃗⃗= ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) Dove v è la velocità nel sistema S, v’ la velocità in S’ (che è 0 in quanto corpo rigido) , Vo la velocità dell’origine di S’ , � la velocità angolare e r’ la posizione in S’. Momento Angolare dei corpi rigidi Moto puramente traslatorio: ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ∭ �′⃗⃗⃗× �⃗�� = ∭ (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�� = ∭ �⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�� − ∭ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�� = (∭ �⃗�� )× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗− (���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)∭ �� = � 1 � (∭ �⃗�� )× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗− (���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)� = �(���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)− (���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)� = � Moto puramente rotatorio: ��⃗⃗⃗⃗⃗= ∭ �⃗× �⃗�� = ∭ �⃗× (�⃗⃗⃗× �⃗)�� = ∭ �⃗× [�� sin (������)�������⃗⃗⃗⃗⃗]�� = ∭ (���⃗⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗⃗)× (�� �������⃗⃗⃗⃗⃗)�� = ∭ ���⃗⃗⃗⃗⃗× (�� �������⃗⃗⃗⃗⃗)�� + ∭ ���⃗⃗⃗⃗⃗× (�� �������⃗⃗⃗⃗⃗)�� = ∭ �2�(��⃗⃗⃗⃗⃗× �������⃗⃗⃗⃗⃗)�� + ∭ ��� (��⃗⃗⃗⃗⃗× �������⃗⃗⃗⃗⃗)�� = ∭ �2���⃗⃗⃗⃗⃗�� + ∭ ��� (−��⃗⃗⃗⃗⃗)�� = � (∭ �2�� )��⃗⃗⃗⃗⃗− � (∭ ���� )��⃗⃗⃗⃗⃗= ��������⃗⃗⃗+ �⊥⃗⃗⃗⃗⃗= �∥⃗⃗⃗⃗+ �⊥⃗⃗⃗⃗⃗ Teorema di Huygens -Steiner In un corpo rigido, il momento di inerzia calcolato rispetto ad un asse passante per O è uguale al momento di inerzia cal colato rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa più la massa totale M del corpo moltiplicata per la distanza al quadrato tra i due assi paralleli . �������= �������� + �2� DIM: �′= �− �, �′= �, �′= �, �2= �2+ �2, �′2 = �′2+ �2 �������= ∭ �2�� = ∭ (�2+ �2)�� = ∭ [(�′+ �)2+ �2]�� = ∭ (�′2 + 2�′�+ �2+ �2)�� = ∭ (�′2 + 2�′�+ �2)�� = ∭ �′2�� + ∭ 2�� ′�� + ∭ �2�� = �������� + 2�� � ∭ �′�� + �2� = �������� + 2�� ∭ ��� ′�� + �2� = �������� + 0+ �2� Energia Cinetica di un corpo rigido �⃗= ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗), (�⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))2= (�⃗⃗⃗× �′⃗⃗⃗⃗)2= (��′sin (������)�������⃗⃗⃗⃗⃗)2= �2�′2 Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 9 ��= 1 2��2= 1 2∭ �� [���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)]2 = 1 2∭ �� [���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+ 2��� (�⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))+ (�⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))2] = 1 2∭ �� [���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+ 2��� (�⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))+ �2�′2] = 1 2���2 ∭ �� + 1 2�2∭ �′2�� + ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(�⃗⃗⃗× � � ∭ (�− ��� )�� ) = 1 2����2 + 1 2�������� �2+ 0 L’ultimo termine si annulla in quanto corrisponde alla posizione del centro di massa nel sistema di riferimento S’, che abbiamo scelto con origine nel centro di massa . Lavoro di un corpo rigido ���⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗�� = [���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)]�� �ℒ�= ∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗���⃗⃗⃗= ∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙[���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ �⃗⃗⃗× (�⃗�− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)]�� = (∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)�� + (∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙�⃗⃗⃗× (��⃗⃗⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗))�� = (∑ ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)�� + �⃗⃗⃗(∑ (��⃗⃗⃗− ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)× ���⃗⃗⃗⃗⃗⃗)�� = �����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�� + ��������� ∙�⃗⃗⃗�� = (�����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ��������� ∙�⃗⃗⃗)�� Per il teorema dell’energia cinetica: ���= �ℒ�, �(1 2����2 + 1 2�������� �2)= (�����⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙���⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ��������� ∙�⃗⃗⃗)�� Conservazione Energia Meccanica di un corpo rigido �� = 1 2����2 + 1 2�������� �2+ �� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 10 Fluidostatica Principio di Pascal La pressione di un fluido in equilibrio non soggetto a forze di volume è la stessa in tutti i suoi punti . ∇⃗⃗⃗�= �⃗ DIM: La massa infinitesimale dm sarà in equilibrio se tutte le forze di superficie e di volume si annullano: ���⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗+ ���⃗⃗⃗⃗+ ��⃗= 0 Di cui la forza di volume per definizione: ��⃗= �⃗(�,�,�)�� = �⃗������ E l a forza di super fice, per definizione di pressione, scrivibile come: ���⃗⃗⃗⃗= ��⃗⃗⃗⃗(�,�,�)− ��⃗⃗⃗⃗(�+ �� ,�,�)= �(�,�,�)���� ��⃗⃗⃗⃗⃗− �(�+ �� ,�,�)���� ��⃗⃗⃗⃗⃗ Moltiplicando e dividendo per dx , otteniamo la derivata parziale di p in dx : ���⃗⃗⃗⃗= −[�(�+ �� ,�,�)− �(�,�,�)] �� ������ ��⃗⃗⃗⃗⃗= − �� �� ������ ��⃗⃗⃗⃗⃗ Applicando lo stesso ragionamento a Fy ed Fz: − (�� �� ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �� �� ��⃗⃗⃗⃗⃗+ �� �� ��⃗⃗⃗⃗⃗)������ + �⃗������ = 0 −∇⃗⃗⃗�+ �⃗= 0 Legge di Stevino La differenza di pressione tra due punti di un fluido in equilibrio è data dalla pressione esercitata dalla colonna di fluido di altezza h uguale alla differenza di quota tra i due punti . �2− �1= �� ℎ DIM: Si consideri un fluido immerso nel campo gravitazionale terrestre: ∇⃗⃗⃗�= ��⃗= −�� ��⃗⃗⃗⃗⃗ Esplic itando le tre componenti dell’equazione precedente: �� �� = 0, �� �� = 0, �� �� = −�� Essendo immerso in un campo gravitazionale, la pressione varia con z, quindi integrando (e ipotizzando un fluido a densità � costante : �� = −���� , �2− �1= ∫ −���� �1 �2 = �� (�1− �2)= �� ℎ Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato , applicata al suo centro di massa . ��⃗⃗⃗⃗= −�� �⃗ DIM: In un corpo in equilibrio in un f luido, le forze agenti su di esso si annullano vicendevolmente, quindi : ��⃗⃗⃗⃗= −��⃗⃗⃗⃗= −��⃗= −�� �⃗ Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 11 Termodinamica Primo Principio della Termodinamica Un sistema termodinamico può scambiare energia con l’ambiente tramite lavoro o calore. La varicazione di energia interna tra due stati di equilibri o per una generica trasformazione dipende solo dagli stati iniziali e finali. ∆� = � − � In una trasformazione ciclica quindi: ∆� = 0, � = � DIM: Si consideri un sistema termodinamico adiabatico che passa da uno stato di equilibrio A ad uno stato di equilibrio B , in queste condizioni il lavoro non dipende dalla trasformazione ma solo dagli stati A e B . Si può defi nire una funzione di stato del sistema la quale differenza è legata al lavoro durante la trasformazione. ∆� = ��− ��= −������ Tipicamente, durante una trasformazione adiabatica T cambia, ciò significa che T è proporzionale al lavoro . SI immagini ora un secondo esperimento in cui ci sia solo interazione termica tra i medesimi stati A e B con il medesimo cambiamento di T, allora: ∆� = ��− ��= � Ma allora possiamo affermare l’equivalenza tra il calore e il lavoro come � = −������ Equazione di stato dei gas perfetti All’equilibrio termodinamico tutti i gas perfetti soddisfano la seguente equazione, derivandone che solo 2 variabili tra p, V e T sono ind ipendenti. �� = ��� DIM: Dalla legge di Boyle, durante una trasformazione isoterma: �� = �������� Dalla legge di Gay -Lussac per le isobare: � = ��(1+ �� ) Dalla legge di Gay -Lussac per le isocore: �= ��(1+ �� ) Con T espressa in Celsius, ma i n condizioni ideali �= � = 1 273 .15 °�−1, ma allora : � = ��(1+ ��°�)= ���(1 �+ �°�)= ���� �= ��(1+ ��°�)= ���(1 �+ �°�)= ���� Dove �°�= 1 �+ �°�. Per la legge di avogadro possiamo esprimere il volume in consizioni standard in base al numero di moli di gas, ��= �∙��. Applicando le leggi di Gay -Lussac possiamo dire che a un dato volume Vo (isocora) : ��= ���� , ����= ������ , ����= ���� Applicando la legge di Boyle possiamo dire allora: �� = ����= ����= �������� Ma allora, ripetendo le equazioni precedenti: �� = ����= ������ = �������= ��� Dove � = ����� = 8.31 � ��� ∗� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 12 Lavoro di un gas Un gas può compiere o subire lavoro dall’ambiente secondo la seguente relazione : ����� = ���� DIM: Prendiamo ad esempio un pistone che si sposta da uno stato di equilibrio ad un altro (da fermo a fermo) , applicando il teorema dell’energia cinetica possiamo dire che: ���= ����� + �⃗���⃗= 0, ����� + �⃗���⃗= 0, ����� = −�⃗���⃗ Possiamo scrivere la forza sul pistone in funzione della pressione esterna: �⃗��� = ���(−��⃗⃗⃗⃗⃗), ����� = −���(−��⃗⃗⃗⃗⃗)��⃗= ����� = ���� Perciò, se la trasformazione è isocora �� = 0,����� = ��∗0 . Se invece è reversibile, il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente quindi �= ��,����� = ��� . Energia Interna di un gas ideale L’energia interna di un gas perfetto è funzione della sola temperatura � = �(�) DIM: Consideriamo un’espansione libera nel vuoto in un contenitore adiabatico, il lavoro compiuto dal gas è nullo, il calore scambiato è anch’esso nullo e la temperatura iniziale e finale è uguale, dal p rimo principio abbiamo che: ∆� = � − �= 0, �� = �� − �� = 0 L’energia interna può dipendere da 2 delle 3 coordinate termodinamiche, in quanto la terza è legata dall’equazione di stato dei gas perfetti: � = �(�,�) �� = (�� �� )��� + (�� �� )��� Essendo �� = 0 � �� = 0, l’espressione diventa: 0= (�� �� )�∗0+ (�� �� )��� , (�� �� )��� = 0 Essendo �� ≠ 0, risulta che deve essere (�� �� )�= 0, ossia che il differenziale del’energia interna con temperatura costante è uguale a zero, che quindi mantenendo la temperatura costante l’energia non varia, il che vuol dire che l’energia interna è funzione della sola temperatura . In una trasformazione reversibile : �� = ���������� Calore durant e una trasformazione REVERSIBILE Si consideri una trasformazione reversibile: �� = �� − �� ���������� = �� − ��� , �� = ����� + ��� Isocora: �� = 0,(�� )�= ���������� Isobara: �� = 0,(�� )�= ���������� + ��� = ���������� + ���� = �(�������+ �)�� = ����� Isoterma : �� = 0,�� = �� = ��� = ��� � �� Adiabatica: �� = 0,�� = −�� Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 13 Lavoro durante una trasformazione REVERSIBILE Isoterma reversibile �= ∫ ��� ������������ ������������ = ��� ∫ �� � ������������ ������������ = ��� ln (�� ��) Isobara rever sibile �= ∫ ��� ������������ ������������ = �∫ �� ������������ ������������ = �(��− ��)= �(�� �� � − �� �� � )= �� (��− ��) Isocora �� = 0, �= ���� = 0 Adiabatica reversibile �� = 0, �� = −�� , ���������� = −��� ���������� = − ��� � �� , �� � = − � �������∗�� � , ln(ห